2004 大陸競賽
1/ x ,y ,z 為實數 , 滿足 x+y+z=5 及 xy+yz+zx=3 求 z的最大值 ? <答: 3分之13>a b c 3根號3
2/ a>0,b>0,c>0 且 a^2 + b^2 + c^2 = 1 證明: --------- + --------- + --------- >= ------------
1-a^2 1-b^2 1-c^2 2 1.
到google用"x+y+z=5 xy+yz+zx=3"當關鍵字搜尋有一堆答案
2.
\( a>0,b>0,c>0 \)且\( a^2+b^2+c^2=1 \)證明：\( \displaystyle \frac{a}{1-a^2}+\frac{b}{1-b^2}+\frac{c}{1-c^2}\ge \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
[證明]
令\( a^2=x \)，\( b^2=y \)，\( c^2=z \)
題目改成\( 0<x,y,z<1 \)且\( x+y+z=1 \)證明\( \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x}+\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z}\ge \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
利用切線法(都問大陸的問題了，這是什麼你應該知道，假如不知道請自行google)
\( \displaystyle f(x)=\frac{\sqrt{x}}{1-x} \)，過點\( \displaystyle (\frac{1}{3},\frac{\sqrt{3}}{2}) \)的切線斜率為\( \displaystyle \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)，切線方程式為\( \displaystyle y=\frac{3 \sqrt{3}}{2}x \)
可證明\( \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x}\ge \frac{3 \sqrt{3}}{2}x \)
(這個留給你作)
\( \displaystyle \frac{\sqrt{x}}{1-x}+\frac{\sqrt{y}}{1-y}+\frac{\sqrt{z}}{1-z}\ge \frac{3 \sqrt{3}}{2}(x+y+z) \ge \frac{3 \sqrt{3}}{2} \)
感謝 您 ! bugmens 老師
小弟 ,近來 都在算大陸國高中試題麻煩大家,不吝指導 ! 真是 <揪....感心>
程度不好 , 請 各位 大大 見諒 了
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