請問兩題有關三角函數的問題。
1.在三角形ABC中，若b^2*sin^2C-c^2*cos^2B=2bc*cosB*cosC，求三角形ABC的形狀為何？2.圓內接四邊形ABCD中，AB=12，BC=5，AC=13，角BAD=60度，則BD=？AD=？
請各位老師幫忙解答，謝謝！ [quote]原帖由 [i]PeiPie[/i] 於 2011-8-9 04:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4217&ptid=1212][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1.在三角形ABC中，若b^2*sin^2C-c^2*cos^2B=2bc*cosB*cosC，求三角形ABC的形狀為何？ [/quote]
\(b^2\sin^2C-c^2\cos^2B=2bc\cos B\cos C\)
\(\Rightarrow b^2(1-\cos^2C)+c^2\cos^2B=2bc\cos B\cos C\)
\(\Rightarrow b^2=b^2\cos^2C+2bc\cos B\cos C+c^2\cos^2B\)
\(\Rightarrow b^2=(b\cos C+c\cos B)^2\)
\(\Rightarrow b^2=a^2\)
\(\Rightarrow b=a\)
\(\triangle ABC\) 是等腰三角形
[quote]原帖由 [i]PeiPie[/i] 於 2011-8-9 04:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4217&ptid=1212][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
2.圓內接四邊形ABCD中，AB=12，BC=5，AC=13，角BAD=60度，則BD=？AD=？
請各位老師幫忙解答，謝謝！ ... [/quote]
因為 \(AB^2+BC^2=AC^2\)，所以 \(\angle ABC=90^\circ\)
\(\Rightarrow AC\) 為圓的直徑 \(\Rightarrow 2R=13\)
在 \(\triangle ABD\) 中，由正弦定理，
可得 \(\displaystyle \frac{BD}{\sin 60^\circ}=2R\Rightarrow BD=13\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13\sqrt{3}}{2}.\)
令 \(\angle BDA=\theta,\)
則 \(\angle BCA=\angle BDA=\theta\) 且 \(\angle DBA=180^\circ - 60^\circ-\theta=120^\circ-\theta\)
\(\displaystyle \cos\angle DBA=\cos(120^\circ-\theta)=\cos120^\circ\cos\theta+\sin120^\circ\sin\theta\)
\(\displaystyle =\frac{-1}{2}\cdot\frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{12}{13}\)
在 \(\triangle ABD\) 中，由餘弦定理，即可得 \(AD\) 之長。 謝謝老師，我理解了！
頁:
[1]