Math Pro 數學補給站's Archiver

同樣的瓶子,你為什麼要裝毒藥呢?
同樣的心理,你為什麼要充滿著煩惱呢?

YAG 發表於 2011-8-7 08:57

100基隆高中二招

[size=6]這是我從美夢成真網站轉過來的檔案 答案是乎很完美 不過是錯的 請問錯在哪 這題的答案是 [color=#ff0000]2
那正解又如何
[/color][/size][size=6][color=#ff0000]
[/color][/size]
[size=6][color=#ff0000][attach]801[/attach]
[/color][/size]

100.8.7版主補充
我幫你更正文章標題及出處。
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2655[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-8-7 02:14 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2011-8-7 14:22

這個方法錯在不等式右邊要是個定值
才有當x=?,y=?時,最小值為?

這題可以用偏微分來做,當\( \displaystyle x=-\frac{7}{6},y=\frac{1}{2} \)時有最小值2

補充歷屆考題
設\( x,y \in R \),\( P=(x+y-1)^2+(2x-2y+1)^2+(-3x+y+5)^2 \),求P的最小值?
(96豐原高商)

weiye 發表於 2011-8-7 14:58

回復 1# YAG 的帖子

上面只有解到 \(f(x,y)\geq \sqrt{3}A,\)

但,沒有說明為何 \(\sqrt{3}A\) 的最小值~會是發生在當 \(A=B=C\) 時。

當 \(A=B=C\) 時,是當  \(f(x,y)\geq \sqrt{3}A\)

                ^^^^^^ 的等號成立時,

但該解法漏掉說明,何以 \(\sqrt{3}A\geq \sqrt{3}\times 2\)

              ^^^^^^^ 的等號會成立?





以下提供兩個做法~

解一:

  \(A=2x+2y+2\)

  \(B=x+3y+1\)

  \(C=2x+4y-1\)

  因為上面三個等號的右手邊只有兩個未知數,

  所以一定會滿足特定關係式(想想如何拼湊~以消掉 \(x,y\)),

  找出其關係式如下 \(A+2B-2C=6\)

  由柯西不等式,可得

    \((A^2+B^2+C^2)(1+2^2+(-2)^2)\geq(A+2B-2C)^2\)

    \(\Rightarrow (A^2+B^2+C^2)\cdot 9\geq 36\)

    \(\Rightarrow \sqrt{A^2+B^2+C^2}\geq 2\)

  且當等號成立時,

    \(\displaystyle \frac{2x+2y+2}{1}=\frac{x+3y+1}{2}=\frac{2x+4y-1}{-2}\)

  可解得 \(\displaystyle x=\frac{-7}{6}, y=\frac{1}{2}\)




解二:

  \((2x+2y+2)^2+(x+3y+1)^2+(2x+4y-1)^2\)

  \(=9x^2+30xy+29y^2+6x+6y+6\)

  \(=(3x+5y+1)^2+4y^2-4y+5\)

  \(=(3x+5y+1)^2+(2y-1)^2+4\)

  \(\geq 0+0+4=4\)

  所以,

  \(\sqrt{(2x+2y+2)^2+(x+3y+1)^2+(2x+4y-1)^2}\geq 2\)

  且當等號成立時,

    \(3x+5y+1=0\) 且 \(2y-1=0\)

  可解得 \(\displaystyle x=\frac{-7}{6}, y=\frac{1}{2}\)

  (還是有人不喜歡解二的配方,想改用微分也可以!)

YAG 發表於 2011-8-7 23:36

回復 3# weiye 的帖子

謝謝老師的說明!

Joy091 發表於 2011-8-8 10:24

回復 4# YAG 的帖子

另舉一例說明 :

已知 \(x\geq\frac{1}{2}  ,y=x^2+2\sqrt{x}\),試求 y 的最小值?

由算幾不等式 \(y=x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3\sqrt[3]{x^2\sqrt{x}\sqrt{x}}=3x\)

它告訴我們的[color=Red]只是[/color]圖形 \(y=x^2+2\sqrt{x}\)  恆在  \(y=3x\) 上方,

當等號成立時,解出 \(x=1,y=3\) 代表的是圖形 \(y=x^2+2\sqrt{x}\) 與 \(y=3x\) 的[color=Red]切點[/color],

而不一定是我們所要的[color=Red]  [/color]\(y=x^2+2\sqrt{x}\)  [color=Red] [color=Black]的[/color]最低點[/color]!


所以說,如果不等式的一端已經是定值,其實代表一條水平線,
此時若有切點,那就是我們要的最低(高)點了!

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-8 10:34 AM 編輯 [/i]]

cefepime 發表於 2016-9-12 16:23

[size=3]本題亦可考慮 "數形結合"。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法一: 視所求為 "空間中兩直線的距離"。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求即兩直線 {a = 2x, b = x, c = 2x} 與 {a = -2 - 2y, b = -1 - 3y, c = 1 - 4y} 的距離。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]空間中兩歪斜線的距離求法甚多,例如:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]兩直線方向向量外積 = (2, 4, -4) → 取 (1, 2, -2)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求即 (2, 1, -1) 在 (1, 2, -2) 的投影長 = |(2+2+2) / √9| = 2[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]想法二: 視所求為 "空間中點至平面的距離"。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]因 (2, 1, 2) 不平行 (2, 3, 4),故 (2x+2y+2, x+3y+1, 2x+4y-1) 可視為"平面的參數式",該平面為[/size]
[size=3][/size]
[size=3]E: a + 2b - 2c = 6  (係數可由 (2, 1, 2) x (2, 3, 4) 取得)[/size]

[size=3]所求即原點至 E 的距離 = 6 /√9 = 2[/size]
[size=3][/size]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2016-9-12 04:35 PM 編輯 [/i]]

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver   © 2001-2022 Comsenz Inc.