100文華高中代理
題目和答案請見附件以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 23分
2名代理教師，取10名參加複試
70,66,57,54,53,51,39,34,30,23
其他
20,19,2,缺考,缺考
共計15人 14.
從正立方體的8個頂點中選取3個作三角形，試問選到直角三角形的機率？
從一正立方體的8個頂點中任取三點可連成三角形，試問這些三角形中有幾個是正三角形？
[url]https://math.pro/db/thread-602-1-1.html[/url]
15.
求函數\( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \)，\( x \in R \)的值域？
(初中數學競賽教程P370)
Let \( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \), show that \( -1<f(x)<1 \) for every \( x \in R \).
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=81479[/url]
Find all possible values of \( \sqrt{a^2+a+1}-\sqrt{a^2-a+1} \) where \( a \in R \).
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=232758[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-26 10:31 PM 編輯 [/i]] 想請教填充第9，10，11，13題 謝謝
回復 3# 阿光 的帖子
[color=Sienna]9. 集合S ＝｛1、2、3、4、5、6、7、8、9｝，從S中取出四個不同的數字做成一個四位數，此四位數為99的倍數共有_________個。 [/color][color=Sienna]答 : 48[/color]
假設此四位數為abcd，且令A=a+c，B=b+d (不妨先假設A>=B)
則A-B=11或0，A+B=18或27
解聯立之後會發現只有一種可能 : A=B=9
(其餘解有的太大，有的不是整數)
9 = 1+8 = 2+7 = 3+6 = 4+5
因而找出以下6種可能 :
1287, 1386, 1485, 2376, 2475, 3465
再考慮a,c互換，b,d互換，A,B互換
推得共 6*2*2*2 = 48 個。
[color=Sienna]13. 甲乙丙丁4位同學代表班上參加為期2日的運動會，比賽項目有「100公尺短跑」「跳遠」「跳高」「趣味競賽」「馬拉松」，每位同學每日參加一項目的比賽，且2日參賽項目都不相同，若第1日不舉辦「趣味競賽」，第2日不舉辦「100公尺短跑」，其他項比賽每日皆舉辦1次且皆派1人代表參加，則有____________種參賽方法。 [/color]
[color=Sienna]答 : 264[/color]
假設比賽項目為A,B,C,D,E
第一天比 A,B,C,E，第二天比B,C,D,E
首先，第一天的比賽共有 4! 種參賽方法
為方便討論，假設第一天的A項目由甲參加
在第二天的時候，
case1.
若甲參加D項目，則乙丙丁又是參加B,C,E，所以是三封信的”錯排”，有2*1*1=2種方法
case2.
若甲不參加D項目 (還有3種可能B,C,E)，例如甲參加了B項目
則乙丙丁參加C,D,E，
必須再討論第一天參加B項目的人今天參加什麼項目 :
case2-a 參加D，則剩餘兩人只剩1種參賽方式
case2-b 參加C或E，則剩餘兩人也是只剩1種參賽方式
所以第二天有1*2+3*(1*1+2*1)=11 種。
故這兩天有4!*11=264 種參賽方法。
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-6 09:34 AM 編輯 [/i]]
回復 3# 阿光 的帖子
第 10 題：設此四位數字的千百十個位數分別為 \(a,b,c,d\)，則
\(a+b+c+d=9*m\) 且 \((a+c)-(b+d)=11*n\)
其中 \(m,n\) 為整數
更甚者，可得
\(a+b+c+d=9, 18,\) 或 \(27\)
且
\((a+c)-(b+d)=-11,0,\) 或 \(11\)
以上兩者解聯立方程式求 \(a+c\) 與 \(b+d\)，
共 \(3*3=9\) 組聯立方程式中，
只有 \(a+c+d+d=18, (a+c)-(b+d)=0\) 會有合理的解，
解得 \((a+c, b+d)=(9,9)\)
又 \(9=1+8=2+7=3+6=4+5\)
所以，
\((a,b,c,d)\) 有序數組的可能解有 \(4*3*2!*2!=48\) 個。
出處：臺中一中99資優鑑定數學科實作測驗試題
[url]http://www.tcfsh.tc.edu.tw/adm/exam/math/math99/M-2.pdf[/url]
回復 3# 阿光 的帖子
第 10 題令 \(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}, h(x)=\int_0^x \frac{t^2}{1+t^2+t^4}dt\)
則 \(f(x)=h(g(x))\)
\(\Rightarrow f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)\)
\(\Rightarrow f''(x)=h''(g(x))g'(x)\cdot g'(x)+h'(g(x))\cdot g''(x)\)
\(\Rightarrow f''(1)=h''(g(1))\cdot \left(g'(1)\right)^2+h'(g(1))g''(1)\)
（開始來找尋各個部分！）
\(\displaystyle g(x)=\sqrt{x}\Rightarrow g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\Rightarrow g''(x)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)
\(\displaystyle \Rightarrow g(1)=1, g'(1)=\frac{1}{2}, g''(1)=-\frac{1}{4}\)
而且，
\(\displaystyle h(x)=\int_0^x \frac{t^2}{1+t^2+t^4}dt \Rightarrow h'(x)=\frac{x^2}{1+x^2+x^4}\)
\(\displaystyle \Rightarrow h''(x)=\frac{2x^5-2x}{(1+x^2+x^4)^2}\)
\(\displaystyle \Rightarrow h'(g(1))=h'(1)=\frac{1}{3}, h''(g(1))=h''(1)=0\)
故，所求＝\(\displaystyle 0\times\left(\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{3}\times\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{12}.\)
回復 3# 阿光 的帖子
第 11 題：因為當 \(x\to4\) 時，分子分母都趨近於 \(0\)，
且 \(\displaystyle \lim_{x\to4} \frac{d}{dx}\left(x-4\right)=\lim_{x\to4} 1=1\)
且 \(\displaystyle \lim_{x\to4} \frac{d}{dx}\left(\int_4^x\frac{1}{t+\sqrt{t}}\right)=\lim_{x\to4}\frac{1}{x+\sqrt{x}}=\frac{1}{6}\)
所以，由 L'Hopital's Rule ，可得
所求＝\(\displaystyle \frac{\frac{1}{6}}{1}=\frac{1}{6}.\) 第9,10,11,13題,我都看懂了,非常感謝老師
請問第五題如何做?
5. 由1,2,3,.....,20挑出\(\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}\)三個數字, 且\(\displaystyle x_{1}\) <\(\displaystyle x_{2}\)<\(\displaystyle x_{3}\),求\(\displaystyle x_{1}與 x_{2}\)至少差3, \(\displaystyle x_{2}與 x_{3}\)至少差5的機率?
[[i] 本帖最後由 zero 於 2011-9-12 03:39 PM 編輯 [/i]]
回復 9# zero 的帖子
5. 由 1,2,3,.....,20 挑出 \(x_1,x_2,x_3\) 三個數字, 且 \(x_1 <x_2<x_3\),求 \(x_1\) 與 \(x_2\) 至少差 3, \(x_2\) 與 \(x_3\) 至少差 5 的機率? 答: \(\displaystyle \frac{91}{285}\)
所有可能為 : \(C^{20}_3\)
假設 \(x_1\) 之前有 \(a\) 個數字， \(x_1\) 與 \(x_2\) 之間有 \(b\) 個數字， \(x_2\) 與 \(x_3\) 之間有 \(c\) 個數字，\(x_3\) 之後有 \(d\) 個數字
則 \(a\geq0,b\geq2,c\geq4,d\geq0\) 且 \(a+b+c+d=17\)
因此題目要求的狀況 與 \(a+b'+c'+d=11\) 的非負整數解組數一樣多，為 \(C^{11+3}_3\)
故所求機率 = \(\displaystyle \frac{C^{14}_3}{C^{20}_3}=\frac{91}{285}\approx 0.318\)
使用 R 軟體模擬實驗，參考指令如下 :
n=10000
z=rep(0,n)
A=replicate(n,sample(1:20,3))
for(i in 1:n){
A[,i]=sort(A[,i])
if(A[3,i]-A[2,i]>=5 & A[2,i]-A[1,i]>=3) z[i]=1
}
sum(z)/n
詳見 https://math.pro/db/thread-51-1-1.html 的說明 !
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-9-13 11:25 AM 編輯 [/i]]
回復 10# Joy091 的帖子
感謝joy大大 把它化成非負整數解變得好簡單回復 6# weiye 的帖子
請問瑋岳老師，第10題中f'(x)=h'(g(x))‧g'(x)再微一次變成f"(x)=h"(g(x))‧g'(x)+h'(x)‧g"(x)
這步為何不是變成f"(x)=h"(g(x))‧[g'(x)]^2+h'(x)‧g"(x)？？
h"(g(x))裡的g(x)不用再微一次嗎？？
感謝解惑~~~~~~~
回復 12# 沙士 的帖子
要，是我筆誤了～：Ｐ的確是要用 chain rule ～哈
還好 \(h'(1)=0\) 所以沒有影響到答案，
馬上來修改～：Ｐ
請教填充6, 哪裡有誤呢?謝謝
6.試求30!的正因數個數?因為30!=(2)^26*(3)^14*(5)^7
所以正因數個數為(26+1)*(14+1)*(7+1)=3240
答案公佈是2332800
回復 14# maymay 的帖子
[img]http://i.imgur.com/RIqGV.png[/img]回復 15# weiye 的帖子
原來我是漏了30以下的質因數,謝謝瑋岳老師.新年快樂
請教~
8.設\(f(x)=ax^2+bx+c\)，(\(a,b,c \in R,a \ne 0,x \in R\))，已知\( -1\le f(1) \le 2 \),\( 2\le f(2)\le 4 \),\(-3 \le f(3)\le4\)，令\(f(4)\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則\(2M+m=\)[u] [/u]。
我怎麼算都算不出正解
12.
試求\( \displaystyle C_0^{21}+\frac{1}{2}C_1^{21}+\frac{1}{3}C_2^{21}+\frac{1}{4}C_3^{21}+\ldots+\frac{1}{22}C_{21}^{21}= \)[u] [/u]。
我用積分算答案是11分之2的21次方，不知道盲點在哪
請教各位 先謝謝大家了!!
回復 17# WAYNE10000 的帖子
填充第 8 題：偷懶一下，令 \(f(1)=x, f(2)=y, f(3)=z\)
由 \(x=a+b+c, y=4a+2b+c, z=9a+3b+c\)
可得 \(\displaystyle a=\frac{x-2y+z}{2},b=-\frac{5x-8y+3z}{2},c=3x-3y+z\)
\(\displaystyle \Rightarrow f(4)=16\cdot\frac{x-2y+z}{2}+4\cdot\left(-\frac{5x-8y+3z}{2}\right)+3x-3y+z=x-3y+3z\)
已知 \(-1\leq x\leq 2\)
因為 \(2\leq y\leq4\)，所以 \(-12\leq -3y\leq-6\)
因為 \(-3\leq z\leq4\)，所以 \(-9\leq 3z\leq 12\)
由上三式可得 \((-1)+(-12)+(-9)\leq x-3y+3z\leq 2+(-6)+12\Rightarrow -22\leq f(4)\leq8\)
所以，\(f(4)\) 的最大值 \(M=8\)，最小值 \(m=-22\Rightarrow 2M+m=-6\)
註：有興趣的話，還可以解出當 \(f(4)\) 有最大值（或最小值）時，對應的 \(f(1),f(2),f(3)\) 及 \(a,b,c\) 的值。
110.8.15補充
若二次實係數多項式函數\(f(x)\)滿足\(\cases{-1\le f(1)\le 3 \cr 6 \le f(2)\le 10 \cr 2 \le f(4) \le 24}\)，則\(f(7)\)的最大值？
(110竹東高中，[url]https://math.pro/db/thread-3533-1-1.html[/url])
回復 17# WAYNE10000 的帖子
第 12 題解一：
對任意 \(k=0,1,2,\cdots, 21\)
\(\displaystyle \frac{1}{k+1}C^{21}_k=\frac{1}{k+1}\cdot\frac{21!}{k!(21-k)!}=\frac{1}{22}\cdot\frac{22!}{(k+1)!(21-k)!}=\frac{1}{22}C^{22}_{k+1}\)
因此，
所求＝\(\displaystyle \frac{1}{22}\left(C^{22}_1+C^{22}_2+C^{22}_3\cdots+C^{22}_{22}\right)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{22}\left(2^{22}-1\right)=\frac{4194303}{22}\)
註：\(2^{22}=2^{10}\cdot2^{10}\cdot4=1024\times1024\times4\)
解二：
因為 \((1+x)^{21}=C^{21}_0+C^{21}_1x+C^{21}_2 x^2+\cdots+C^{21}_{21}x^{21}\)
等號的左右兩邊同時對 \(x\) 積分，
可得 \(\displaystyle \frac{1}{22}(1+x)^{22}=C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}+k\)
其中 \(k\) 為常數，
將 \(x=0\) 帶入，可解得 \(\displaystyle k=\frac{1}{22}\)
因此，\(\displaystyle \frac{1}{22}(1+x)^{22}=C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}+\frac{1}{22}\)
\(\displaystyle \Rightarrow C^{21}_0x+\frac{1}{2}C^{21}_1x^2+\frac{1}{3}C^{21}_2 x^3+\cdots+\frac{1}{22}C^{21}_{21}x^{22}=\frac{1}{22}\left(\left(1+x\right)^{22}-1\right)\)
將 \(x=1\) 帶入上式，即可得所求＝\(\displaystyle \frac{1}{22}\left(2^{22}-1\right)=\frac{4194303}{22}\)
110.8.15補充
求滿足\(\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{31}{n+1}\)的正整數\(n\)。
[url]https://math.pro/db/thread-3224-1-1.html[/url]
設\(n\)為自然數，若\(\displaystyle C_0^n+\frac{1}{2}C_1^n+\frac{1}{3}C_2^n+\ldots+\frac{1}{n+1}C_n^n=\frac{4095}{n+1}\)，則\(n=\)[u] [/u]。
(110桃園高中，[url]https://math.pro/db/thread-3512-1-1.html[/url]) 第9題:S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}，從S中選出四個不同數字組成四位數，此四位數為99的倍數共有幾個??
我們學習11的倍數的判別法則都是奇數位和減去偶數位和，或甚至三位一節去做加減(同7,13的判別法)；
但是獨特的還有另外一種，就是很容易證明
\(\displaystyle \underline{abcd} \equiv \underline{ab}+\underline{cd} \)
於是我們只要兩位一節，然後相加即可。
用在本題，馬上可以知道必須是
\(\displaystyle \underline{ab}+\underline{cd}=99 \)
以及
\(\displaystyle a+c=9,b+d=9 \)
就可解出