請問第四題及第十四題如何做?
請問第四題及第十四題如何做?其中第十四題: 我的做法是一個頂點可以找到四個直角三角形，所以八個可以找到32個直角三角形，可是答案是48個直角三角形
4.
設\(A(4,3,2)\)，\(B(2,1,4)\)，點\(P\)在平面\(E\)：\(x-2y-2z=-1\)上移動，則\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\)的最小値為[u] [/u]。
14.
從正立方體的8個頂點中選取3個作三角形，試問選到直角三角形的機率=[u] [/u]。
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填充題第 4 題：解一：
先求出 \(\overline{AB}\) 的中點 \(M(3,2,3)\)
在 \(\triangle ABP\) 中，因為 \(M\) 為中點，
所以由三角形的中線定理，可得 \(\displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PA}^2=2\left(\overline{AM}^2+\overline{PM}^2\right)\)
因為 \(\displaystyle \overline{AM}=\sqrt{3}\)
且 \(\overline{PM}\) 的最小值為 \(\displaystyle d(M,L)=\frac{\left|3-4-6+1\right|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+(-2)^2}}=2\)
因此 \(\overline{PA}^2+\overline{PA}^2\) 的最小值為 \(2\left(\left(\sqrt{3}\right)^2+2^2\right)=14.\)
解二：
令 \(P(2t+2s-1,t,s)\) 其中 \(t,s\) 皆為實數，
則 \(\displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PB}^2=\left(2t+2s-5\right)^2+\left(t-3\right)^2+\left(s-2\right)^2+\left(2t+2s-3\right)^2+\left(t-1\right)^2+\left(s-4\right)^2\)
\(=10t^2+16st-40t+10s^2-44s+64\)
\(\displaystyle =10\left(t+\frac{4s}{5}-2\right)^2+\frac{18}{5}\left(s-\frac{5}{3}\right)^2+14\geq14.\)
回復 21# mandy 的帖子
第 14 題分母＝\(C^8_3=56\)
為方便解說，設此正立方體的邊長為 \(1\)，
分子＝（邊長為\(1,1,\sqrt{2}\) 的直角三角形個數）＋（邊長為\(1,\sqrt{2},\sqrt{3}\) 的直角三角形個數）
\(=6\times4 + 6\times 4=48\)
所求＝\(\displaystyle \frac{48}{56}=\frac{6}{7}.\)
註：
[img]http://i.imgur.com/NqM0b.png[/img]
六面邊長為 \(1\) 的正方形，每面有四個直角三角形；
六面長、寬為 \(1,\sqrt{2}\)的長方形，每面有四個直角三角形。 5.
由\(1,2,3, \ldots,20\)挑出\(x_1,x_2,x_3\)三個數字，且\(x_1<x_2<x_3\)，求\(x_1\)與\(x_2\)至少差3，\(x_2\)與\(x_3\)至少差5的機率為[u] [/u]。
關於填充第五題,我全部把它列出來,為何算不出答案?
計算如下
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,4,9\to 20) \) 共12個
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,5,10\to 20) \) 共11個
...
\( (x_1,x_2,x_3)=(1,15,20) \) 共1個
\( (x_1,x_2,x_3)=(2,5,10\to 20) \) 共11個
\( (x_1,x_2,x_3)=(2,6,11\to 20) \) 共10個
...
\( (x_1,x_2,x_3)=(2,15,20) \) 共1個
一直到
\( (x_1,x_2,x_3)=(12,15,20) \) 共1個
所以一共有(12+11+...+1)+(11+10+...+1)+...+(2+1)+1=364個
為什麼會跟答案\(\frac{91}{285}=\frac{455}{C(20,3)} \)的分子差了91
很納悶少算了哪個?
回復 24# pizza 的帖子
你沒算錯， \(\displaystyle \frac{364}{C^{20}_3}=\frac{91}{285}.\)填充第 5 題：
題目：由 \(1, 2, 3, …, 20\)挑出 \(x_1, x_2, x_3\) 三個數字﹐且 \(x_1<x_2<x_3\) ，求 \(x_1\) 與 \(x_2\) 至少差 \(3\)， \(x_2\) 與 \(x_3\) 至少差 \(5\) 的機率為何？
解答：
將 1 至 20 這二十個號碼由左至右排成一列，
將被選到的號碼用符號◆來表示，
將沒有被選到的號碼用符號□來表示，
則這 3 個◆ 跟 17 個□到底會有怎樣的排列的情況呢？且讓我們看下去～
先將 ◆ ◆ ◆ 插入題目要求的 □ ～～如下圖：
◆ □□ ◆ □□□□ ◆
這樣就能保證被選出來的較小的兩個號碼之間相差至少 3 ，
被選出來的較大的兩個號碼之間相差至少 5 ，
可是～～～還有 11 個□還沒有排入呀！！！！
好吧～將這 11 個□排入由三個隔板～噢，是三個◆所區隔開來的四個區域中，
因此總共會有 \(H^4_{11}=C^{14}_{11}=364\) 種排列方法數，
每一種排列的方法數就對應到一種選出 \(x_1,x_2,x_3\) 三個號碼的方法。
分子＝\(364\)
分母＝\(C^{20}_3=1140\)
所求機率＝\(\displaystyle\frac{364}{1140}=\frac{91}{285}.\)
回復 25# weiye 的帖子
感謝weiye,原來錯在一個讓人覺得愚蠢的地方也謝謝你提供另一個方法^^ 想請教第15題????
回復 27# man90244 的帖子
15.求函數\( f(x)=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \),\(x \in R\)的値域[u] [/u]。
[解答]
配方 \( f(x)=\sqrt{(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}}-\sqrt{(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}} \)
將其看成點 \( (x,\frac{\sqrt{3}}{2}) \) 到 \( (\pm\frac{1}{2},0) \) 的距離差
由三角不等式得 \( -1<f(x)<1 \)
而當 \( x \to \pm \infty \) 時 \( f(x) \to \pm 1\) 想請教第7題?????
7.
平面上有一橢圓，已知其焦點為\((2\sqrt{5},0)\)和\((-2\sqrt{5},0)\)，且\(x+2y=5\)為此橢圓的切線，求此橢圓方程式為[u] [/u]。
回復 29# man90244 的帖子
第 7 題：將兩焦點 \(F_1,F_2\) 其中的 \(F_1\) 對稱切線得 \(F_1'\)
\(\overline{F_1'F_2}\) 即為橢圓長軸長 \(2a\)（由光學性質即可知），
還有 \(2c=\overline{F_1F_2}\)，
可得 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)
橢圓中心點為 \(\displaystyle\frac{F_1+F_2}{2}\)
又橢圓為橫擺（\(F_1\) 與 \(F_2\) 有相同的 \(y\) 坐標），
可得橢圓方程式。
回復 29# man90244 的帖子
第七題，運用橢圓的光學性質。就是光從焦點打到橢圓上反射後通過另一焦點。
所以只要把焦點對切線做對稱後，和另一焦點的距離為長軸長 \( 2a \)
剩下的計算就不詳述了
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2012-3-30 06:25 PM 編輯 [/i]] 想請教一下
計算題第一題的答案???????
計算1.
過點\(P(1,2)\)作一直線\(L\)與拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{5}x^2\)交於\(A,B\)兩點，\(O\)表原點，若\(∠AOB\)為直角，求直線\(L\)的方程式[u] [/u]。 我算的答案是：3x+y-5=0 請問一下計算一是不是還有另外一個答案呢@_@?
[b]y=2x or y= -3x+5 [/b] ?
回復 34# hua77825 的帖子
\( y=2x \) 那像 A, B 有個點和 O 重合了，所以不合 想請教第7題詳細過程???我算的都跟答案不一樣阿!!!!!!!!! [quote]原帖由 [i]man90244[/i] 於 2012-4-5 10:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5025&ptid=1200][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教第7題詳細過程???
我算的都跟答案不一樣阿!!!!!!!!! [/quote]
假設F(2*5^0.5,0) ,F'(-2*5^0.5,0) ,c=2*5^0.5,c^2=20
將F以L:x+2y-5=0為對稱軸,對稱到L的另一邊,令此點為K
則K為((6*5^0.5+10)/5,(-8*5^0.5+20)/5),又設KF'與橢圓的交點為P
依橢圓的定義知PF+PF'=PK+PF'=KF'=2*21^0.5=2a
所以a=21^0.5 ,b^2=a^2-c^2=21-20=1 ,b=1
所求為:x^2/21+y^2/1=1
請問計算1
過點\(P(1,2)\)作一直線\(L\)與拋物線\(\displaystyle y=\frac{1}{5}x^2\)交於\(A,B\)兩點，\(O\)表原點，若\(∠AOB\)為直角，求直線\(L\)的方程式[u] [/u]。回復 38# Ling 的帖子
計算第1題請參考附件
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2015-10-3 09:49 PM 編輯 [/i]]
請教第15題
版上老師好!第15題若是將圖形想成是 (x,0) ,(-0.5, (根號3)/2) ,(0.5, -(根號3)/2)
則根據三角不等式可得 f<2 ( (-0.5, (根號3)/2) ,(0.5, -(根號3)/2)的距離是2)
想要請問的是,若是取到這樣的點而不是寸絲老師取的(x,(根號3)/2)),(0.5,0),(-0.5,0) 那這樣不是就找錯值域了?
有什麼觀念漏掉了嗎(已經注意取成(x,0) ,(-0.5, (根號3)/2) ,(0.5, -(根號3)/2)圖形的共線成立可達成)