Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 100鳳新高中代理

bugmens 發表於 2011-7-22 17:11

100鳳新高中代理

題目和答案請見附件


以下資料供以後的考生參考：

初試最低錄取分數 62分
1名代理教師，取8名參加複試
81,81,76,72,72,65,64,62

其他
61,57,55,54,54,49,39,缺考

共計16人

diow 發表於 2011-7-28 23:01

請教各位

第14題

weiye 發表於 2011-7-30 17:09

回復 2# diow 的帖子

第 14 題：
方程式\( x^3-19x+a=0 \)的三個根都是整數，求\( a= \)？
[解答]
設三整數根為 \(p,q,r\)

且不失一般性，可假設 \(|p|\geq |q|\geq |r|\)

則 \(p+q+r=0, pq+qr+pr=-19\)

由 \((p+q+r)^2 = p^2+q^2+r^2+2(pq+qr+pr)\)

可得 \(p^2+q^2+r^2=38\)

　　 \(\Rightarrow (|p|,|q|,|r|)=(6,1,1), (5,3,2), (4,4,2)\)

且由 \(p+q+r=0\)，可得 \((p,q,r)=(5,-3,-2) 或 (-5,3,2)\)

故，\(a=-pqr=-30\) 或 \(30.\)

阿光 發表於 2011-7-31 06:09

想請教 4和9題 謝謝

weiye 發表於 2011-7-31 10:32

回復 4# 阿光 的帖子

第 4 題
過\( P(-1,2,-5) \)之直線\( L \)，交\( L_1 \)：\( \displaystyle \frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{-2} \)於\( A \)點，交\( L_2 \)：\( \displaystyle \frac{x-2}{-3}=\frac{y+2}{4}=\frac{z}{1} \)於\( B \)點，試求出\( B \)點之坐標。
[解答]
設 \(A(-2+t,3+2t,-3-2t), B(2-3s, -2+4s,s)\)

因為 \(P,A,B\) 三點共線，

所以 向量 \(\vec{PA}\) 平行 向量\(\vec{PB},\)

　　 \(\displaystyle\frac{-1+t}{3-3s}=\frac{1+2t}{-4+4s}=\frac{2-2t}{5+s}\)

由分數的合分比性質，

可得 \(\displaystyle\frac{-1+t}{3-3s}=\frac{1+2t}{-4+4s}=\frac{2-2t}{5+s}\)


　　　　　　　　\(\displaystyle=\frac{2\cdot\left(-1+t\right)+1\cdot\left(1+2t\right)+2\cdot\left(2-2t\right)}{2\cdot\left(3-3s\right)+1\cdot\left(-4+4s\right)+2\cdot\left(5+s\right)}\)

　　　　　　　　 \(\displaystyle=\frac{3}{12}\)

　　 \(\Rightarrow \displaystyle\frac{-1+t}{3-3s}=\frac{1+2t}{-4+4s}=\frac{2-2t}{5+s}=\frac{1}{4}\)

　　解聯立方程式可得 \(\displaystyle t=\frac{1}{10}, s=\frac{11}{5}\)

　　故，\(B\) 點坐標為 \(\displaystyle(\frac{-23}{5},\frac{34}{5},\frac{11}{5}).\)




註：要找一組數 \((p,q,r)\) 使得 \((p,q,r)\cdot(1,2,-2)=0\) 且 \((p,q,r)\cdot(-3,4,1)=0\)

　　則利用外積，即可很快得到 \(p:q:r=10:5:10=2:1:2.\)

weiye 發表於 2011-7-31 12:13

回復 4# 阿光 的帖子

第 9 題
若\( i=\sqrt{-1} \)，試求出\( \displaystyle \sum_{n=1}^{20}(1+i^n)^n \)的虛部。
[解答]
對任意 \(k=0,1,2,3,4\)

當 \(n= 4k+1\)，則 \((1+i^n)^n=(1+i)^{4k+1}\)

當 \(n= 4k+2\)，則 \((1+i^n)^n=(1-1)^{4k+2}=0\)

當 \(n= 4k+3\)，則 \((1+i^n)^n=(1-i)^{4k+3}\)

當 \(n= 4k+4\)，則 \((1+i^n)^n=(1+1)^{4k}=2^{4k}\)


所以所求之虛部＝\((1+i)^1+(1+i)^5+(1+i)^9+(1+i)^{13}+(1+i)^{17}\)

　　　　　　　　\(+(1-i)^3+(1-i)^7+(1-i)^{11}+(1-i)^{15}+(1-i)^{19}\)

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　　＝\((1+i)\Big(1+(1+i)^4+(1+i)^8+(1+i)^{12}+(1+i)^{16}\Big)\)

　　　　　　　　\(+(1-i)\Big((1-i)^2+(1-i)^6+(1-i)^{10}+(1-i)^{14}+(1-i)^{18}\Big)\)

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　＝\((1+i)\Big(1+(2i)^2+(2i)^4+(2i)^6+(2i)^{8}\Big)\)

　　　　　　　　\(+(1-i)\Big((-2i)+(-2i)^3+(-2i)^5+(-2i)^7+(-2i)^9\Big)\)

　　　　　　　　的虛部

　　　　　　＝\(-205-205i\) 的虛部

　　　　　　＝\(-205.\)

阿光 發表於 2011-7-31 20:19

想再請教 12題 謝謝

12.
在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為\( (0,0,0) \)、\( (1,0,0) \)、\( (1,1,0) \)、\( (0,1,0) \)、\( (0,0,1) \)、\( (1,0,1) \)、\( (1,1,1) \)與\( (0,1,1) \)。若\( A \)、\( B \)分別為此正立方體兩相異稜邊的中點，則\( \overline{AB} \)共有幾種可能？

mrmath 發表於 2011-8-3 18:00

回復 2# diow 的帖子

哈囉 ,我也想請教14題 , 大致上解法即可,不用詳解, 請高手指教,謝謝^^

Joy091 發表於 2011-8-3 19:41

回復 7# 阿光 的帖子

12. 在坐標空間中，一正立方體的八個頂點分別為(0,0,0)、(1,0,0)、(1,1,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,0,1)、(1,1,1)與(0,1,1)。
若A、B分別為此正立方體兩相異稜邊的中點，則 \(\displaystyle \vec{AB}\) 共有幾種可能？

答 : 54

[color=Black]真的算算看 \(\displaystyle \vec{AB}\) [/color][color=Sienna][color=Black]後會發現只有 4 類 :

第一類 :  0,0,1 的排列並考慮正負號，有[/color][/color][color=Black] \(\displaystyle 3\times2=6\) 種[/color]
[color=Sienna][color=Black]
第二類 :  0,1/2,1/2 的排列[/color][/color][color=Sienna][color=Black]並考慮[/color][/color][color=Sienna][color=Black]正負號[/color][/color][color=Sienna][color=Black]，有[/color][/color][color=Black] \(\displaystyle 3\times2^2=12\) 種[/color]
[color=Sienna][color=Black]
第三類 :  0,1,1 的排列[/color][/color][color=Sienna][color=Black]並考慮[/color][/color][color=Sienna][color=Black]正負號[/color][/color][color=Sienna][color=Black]，有 [/color][/color][color=Black]\(\displaystyle 3\times2^2=12\) 種[/color]
[color=Sienna][color=Black]
第四類 :  1/2,1/2,1 的排列[/color][/color][color=Sienna][color=Black]並考慮[/color][/color][color=Sienna][color=Black]正負號[/color][/color][color=Sienna][color=Black]，有[/color][/color][color=Black] \(\displaystyle 3\times2^3=24\) 種

[/color][color=Sienna][color=Black]所以共有[/color][/color][color=Black] \(\displaystyle 6+12+12+24=54\) 種[/color]。

沙士 發表於 2011-11-1 17:49

各位大師，想請教第13題要如何解？？感謝~~~

tsusy 發表於 2011-11-2 08:32

回復 10# 沙士 的帖子

13 題：
若\( P \)為雙曲線\( \displaystyle \frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1 \)上非頂點之一點，\( F_1 \)、\( F_2 \)為此雙曲線之兩焦點，求\( \Delta PF_1F_2 \)之內心的\( x \)坐標？
[提示]
類似題 98北縣高中職聯招計算 2
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=780&page=1#pid1423[/url]

看完之後，就有答案了

mathelimit 發表於 2014-10-19 21:46

我想請教11題，我會求出a值。但我比較在意的是，題目說，用"尺規作圖法"找到公垂線段，這要怎麼做?

11.
有一四面體\( OABC \)，它的一個底面\( ABC \)是邊長為4的正三角形，且知\( \overline{OA}=\overline{OB}=\overline{OC}=a \)；如果直線\( \overline{OA} \)與直線\( \overline{BC} \)間的公垂線段長(亦即此兩直線間的距離)是\( \sqrt{3} \)，請說明如何利用尺規作圖法, 找到「直線\( \overline{OA} \)與直線\( \overline{BC} \)間的公垂線段」，並求出\( a \)值。

thepiano 發表於 2014-10-20 09:18

回復 12# mathelimit 的帖子

取BC中點D，作DE垂直直線OA於E，則DE即為所求

mathelimit 發表於 2014-10-24 22:32

回復 13# thepiano 的帖子

謝謝，看來是我想太多了呀 XDDD

peter0210 發表於 2015-2-16 21:37

想請教瑋岳老師第四題
小弟有兩個疑問：
(1)不懂為何利用合分比性質時，分子分母要各別和其兩直線的法向量算外積？
(2)小弟是直接利用PA向量平行BP向量，但卻算出兩個S，分別為11/5 或 1，如果是11/5，則B(-23/5，34/5，11/5)，但如果是1，B(-1，2，1)，不過正確答案只有一組，要如何判斷出另一個是錯的呢?不能夠會有兩種直線嗎?

weiye 發表於 2015-2-17 00:22

回復 15# peter0210 的帖子

(1) 把合分比裡面分子與分母的 2,1,2 塗掉，試著自己把改 2,1,2 的位置改寫成 p,q,r ，然後再想看看「要怎樣取 p,q,r」 ，才可以讓分子跟分母的 s 與 t 消失呢？((你一定想得出來的))

(2) 試著把你覺得可以，但卻不存在的答案都寫開來，把對應的每個點都找出來，然後想看看有沒有哪裡不合理呢？(我沒有幫你檢查~或許檢查之後，發現一切合理~ 其實有兩個答案也說不定~ 那可能就要反過來想想，我那寫法哪裡可能會有不嚴謹的疏漏~ 導致漏掉另一個答案了呢？ )

liuo 發表於 2015-4-9 20:58

7.

很抱歉..我想第七題想了好久
請大大幫忙..謝謝大家了

thepiano 發表於 2015-4-9 21:49

回復 17# liuo 的帖子

第 7 題
已知\(G\)為\(\Delta ABC\)的重心，\( \overline{BC}=10 \)，\( \overline{AG}=4 \)，\(∠BGC=135^{\circ}\)，則\(\Delta ABC\)的面積為何？
[解答]
利用中線定理可求出 GB^2 + GC^2
再利用餘弦定理求出 GB * GC
進而求出 △GBC 之面積及 △ABC 之面積

liuo 發表於 2015-4-9 22:18

回復 18# thepiano 的帖子

感謝鋼琴大大..卡在沒用中線定理

mathca 發表於 2016-1-3 19:13

回復 1# bugmens 的帖子

請教第10題，感謝。

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