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為錢做事,容易累;
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為興趣做事,則永不倦怠。

老王 發表於 2012-3-18 18:33

這幾天在做台大數學推甄考古題,正好96年第一部分第3題就是這個問題
參考
h ttp://www.math.ntu.edu.tw/prospective/recruit.php?Sn=32(連結已失效)
96年度第一部分第三題
設\(\displaystyle K=\left [ \begin{array}{clr}
a_1  a_2  b_1  b_2  \\
a_3  a_4  b_3  b_4  \\
c_1  c_2  d_1  d_2  \\
c_3  c_4  d_3  d_4  
\end{array} \right ] \)為一4階方陣。若
(1) K中每一行皆為1,2,3,4的排列,   (2) K中每一列皆為1,2,3,4的排列,
(3) \( a_1,a_2,a_3,a_4 \)為1,2,3,4的排列, (4) \( b_1,b_2,b_3,b_4 \) 為1,2,3,4的排列,
(5) \( c_1,c_2,c_3,c_4 \) 為1,2,3,4的排列, (6) \( d_1,d_2,d_3,d_4 \) 為1,2,3,4的排列,
則稱K為一4階數獨。
(I) 試問有多少個4階數獨K使得\( a_1=1,a_2=2,a_3=3,a_4=4,b_1=3,b_2=4,c_1=2,c_3=4 \)。
(II) 試問有多少個4階數獨。

給的提示比較簡單
第一小題的答案只有3種
所以總共有
24*2*2*3=288種

艾瑞卡 發表於 2013-5-8 12:08

請教填充第7題目,是不是少了這個條件:「B、C、T三點共線」?

(因為我使用題目給條件,算不出來.....,後來我自行加了「B、C、T三點共線」就可算出答案了)

lyingheart 發表於 2013-5-8 12:44

回復 22# 艾瑞卡 的帖子

這......
由 \(\displaystyle \vec{AT}=m\vec{AB}+(1-m)\vec{AC} \)
其中的 \( m+(1-m)=1 \)
知道TBC共線。

艾瑞卡 發表於 2013-5-8 14:31

回復 23# lyingheart 的帖子

謝謝你~是我耍笨....:P

艾瑞卡 發表於 2013-5-8 15:05

請問第16題及第18題,
第16題是考科西不等式嗎?
因為 1/2(3x+4y+5z)=6
所以 3x+4y+5z =12
但排不出來科西不等式:[ (√3x)^2 +(y+z)^2 + z^2 ] [ (√3)^2 + 1^2 +1^2 ] ≧ (3x + y +2z )^2
不知道如何把 3x+4y+5z =12 調整為 3x + y +2z ?或是有其他解法嗎?

第18題:從題目條件,我們得知拋物線通過 (2,0)、(1,2),且在(1,2)的切線斜率 f ' (1) = 4,接下來該怎麼寫下去呢?

感恩感恩唷~~~~~

lyingheart 發表於 2013-5-8 17:01

回復 25# 艾瑞卡 的帖子

16
\(\Delta ABC\)中,\(\overline{AB}=3,\overline{BC}=4,\overline{CA}=5\),若\(P\)點在\(\Delta ABC\)內,\(P\)點至\(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CA}\)距離分別為\(x,y,z\),求\(3x^2+y^2+2yz+2z^2\)之最小值是多少[u]   [/u]。
[解答]
通常這樣湊
\(\displaystyle [(\sqrt{3}x)^2+(y+z)^2+z^2][a^2+b^2+c^2] \ge (\sqrt{3}ax+by+(b+c)z)^2 \)

然後讓 \(\displaystyle \sqrt{3}a : b : (b+c)=3 : 4 : 5  \)

就可以找到 \(\displaystyle a=\sqrt{3},b=4,c=1 \)

也可以這樣
令\(\displaystyle p=\sqrt{3}x,q=y+z,r=z \)

得到 \(\displaystyle x=\frac{p}{\sqrt{3}},y=q-r,z=r \)

代入關係式得到\(\displaystyle \sqrt{3}p+4q+r=12 \)
然後再用柯西。

18
拋物線\(\Gamma\):\(y=P(x)\)的對稱軸平行於\(y\)軸,且\(\Gamma\)與\(x\)軸交於點\((2,0)\),並在\(x=1\)時與函數\(y=x^4+1\)的圖形相切,試求\(P(x)=\)[u]   [/u]。
[提示]
假設\(\displaystyle f(x)=ax^2+bx+c \) 硬做就行了吧

艾瑞卡 發表於 2013-5-9 08:05

回復 26# lyingheart 的帖子

感謝您詳細的解說 ^_^

hinetsndb 發表於 2013-5-23 21:14

想請教填充第五題    想好久還是解不出來...

謝謝大家。

thepiano 發表於 2013-5-23 22:35

填充第 5 題
\(\Delta ABC\)中,\(\angle A,\angle B,\angle C\)之對邊為\(a,b,c\)三數成等差,\(\angle B=30^{\circ}\),\(\Delta ABC\)面積為\(\displaystyle \frac{3}{2}\),試求\(b=\)[u]   [/u]。
[解答]
令 a = b - d,c = b + d
(1/2)ac * sin30 = 3/2
b^2 - d^2 = 6

b^2 = a^2 + c^2 - 2accos30
b^2 + 2d^2 = 6√3

b = 1 + √3

hinetsndb 發表於 2013-5-24 10:44

回復 29# thepiano 的帖子

懂了   謝謝鋼琴老師~~~

Jacob 發表於 2014-12-14 08:08

回復 18# weiye 的帖子

請問瑋岳老師,那對於「用四種顏色各塗四個方格、每個顏色都不能同行同列」的問題中,答案到底是288 還是576?
假如288是對的,那到底哪裡重複算了呢? 煩請說明一下,感謝!

tsusy 發表於 2014-12-14 08:26

回復 31# Jacob 的帖子

#19 樓之後的討論是不同的題目,所以答案不一樣

Jacob 發表於 2014-12-14 08:46

原來是這樣,感謝寸絲大的指導!

Ivan 發表於 2024-7-4 10:56

回覆 18# weiye 的帖子

請教一下老師,最近正在思考這題的思路,
我比較想知道的是老師文中的4!x4!的過程當中,有沒有重複的可能性呢?
因為我想說如果這一題把題目縮小至2x2的方格內用兩種顏色塗的話,
依照老師的邏輯來看的話,那就會是2!x2!=4種,但其實答案只會有兩種,不知道是我哪裡思慮不周,還煩請老師題點一下,感謝!
還有最後一個問題,就是這可不可以推廣至nxn方格裡用n種顏色塗的方法數呢?感謝!

tsusy 發表於 2024-7-4 14:39

回覆 34# Ivan 的帖子

2色,2x2 是四種

無 1
2 無

無 2
1 無

1 無
無 2

2 無
無 1

Ivan 發表於 2024-7-5 12:22

回覆 35# tsusy 的帖子

感謝老師回覆!

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