99桃園縣國中聯招
其中第 12 題頗有挑戰，與大家分享!12.
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\tan\frac{\theta}{2^n}=? \) 12 題，選項錯了四個選項都錯，理由： \( \theta = \pi/4 \) 帶入， 1-4 皆錯。
公布答案為 (C)，其正確選項應為 \( -2\cot2x+\frac{1}{x} \)
計算方法如下：
把其逐項積分得 \( -\log |\cos \frac{x}{2^n} |\) 之和。
對數相得變相乘 \( \prod \cos \frac{x}{2^n} \) 可用有限項乘上一個 sin 給它，求出有限項之和，
取極限 得 \( \prod \cos \frac{x}{2^n} = \frac{\sin2x}{2x}\)，當 \( x \neq 0\)
然後微分，微回來就會得到 \( -2\cot2x+\frac{1}{x} \)
中間涉及，微分和 sum 兩個極限的交換，需要均勻收斂之條件。
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