100香山高中
如題 想請問計算第二 感謝 計算2.設\(\displaystyle a_n=\left[\left(\frac{n+1}{n}\right)\left(\frac{n+2}{n}\right)\left(\frac{n+3}{n}\right)\ldots \left(\frac{n+n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}\)，試求\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}a_n\)。
[提示]
將 \( a_n\) 取 \( ln \) 以後，就變成 Riemann Sum。
回復 3# oscar 的帖子
\(a,b\in R\)，若\(ax+by=1\)與\(x^2+y^2=50\)僅有整數解，求數對\((a,b)\)有多少組？[u] [/u]。想請問填充七的做法
\(x^2+y^2=50\)圖形上找格子點共有12個
\(ax+by=1\)圖形為一直線,只通過上述12個格子點的直線共有\(C(12,2)+C(12,1)\)條
直線條數不是應該要等於數對\((a,b)\)組數?
但答案不對，請老師指正
回復 4# JOE 的帖子
要扣掉通過原點的，因為方程式中常數項為1。 想請教填充3.6.8 和 計算一, 謝謝!!回復 6# Herstein 的帖子
3主人宴客，刻意安排10個互不認識的客人一同圍坐一圓桌，希望客人能互相認識，不料席間每位客人都只與相鄰的人交談認識。飯局後主人從中隨意挑選四人，試求四人皆互不認識的機率？[u] [/u]
[解答]
第一個任取，接下來要在9個裡面取3個，但不得相鄰，就變成7個直線不相鄰，
用剩下4個去隔開，所以是
\(\displaystyle \frac{C_3^5}{C_3^9}=\frac{5}{42} \)
8
\(f(x)\)為整係數多項式，且領導係數為1，\(x=1-\root 3 \of 2-\root 3 \of 4\)為\(f(x)=0\)之一解，求次數最低之\(f(x)=\)[u] [/u]。
[解答]
令\(\displaystyle a=\sqrt[3]{2} \)
\(\displaystyle x=1-a-a^2 \)
老技巧，考慮\(\displaystyle (1+a)^3=3+3\sqrt[3]{2}+3\sqrt[3]{4}=3(1+a+a^2)=3(2-x) \)
\(\displaystyle (x-1)=-a-a^2=-a(1+a) \)
兩邊三方
\(\displaystyle x^3-3x^2+3x-1=-2*3(2-x) \)
\(\displaystyle x^3-3x^2-3x+11=0 \)
顯然這是最低次
6
先在橢圓蛋糕\(30cm\)的長軸與\(20cm\)的短軸上各切一刀,若欲將蛋糕八等份，且每一刀均切過橢圓中心，則下一刀與長軸所夾銳角為多少？[u] [/u]。
[解答]
將半徑15的圓作伸縮變換成橢圓
回復 5# 老王 的帖子
請教老王老師~第七題 ax+by=1圖形為一直線,只通過上述12個格子點的直線共有C(12,2)+C(12,1)條
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這個部份....為什麼一定可這樣取?
ex (1,7)是滿足x^2+y^2=50的整數點
代入 ax+by=1得 a+7b=1
那可令a=-6+7k
b=1-k k屬於R
又因為a.b屬於R
那麼這樣代出來不就有無限多組解@@?
請問我的想法哪裡出錯了...
謝謝您的回覆
請教計算第一題
請問計算第1題感覺上跟成淵高中的青蛙跳很像
只不過A不能直接跳到C
B不能直接跳到D
不過該如何把以上那兩種狀況去除呢?
懇請指點~
謝謝大家
回復 9# milkie1013 的帖子
計算題1.如下圖, \(O\)為正方形\(ABCD\)的中心。程式設定讓機器跳蚤在圖中諸點之間跳動﹐每次都可以跳到相鄰的任何一點﹐例如：由\(A\)點可跳到\(O\)﹑\(B\)﹑\(D\)中的任何一點﹐由\(O\) 點可跳到\(A\)﹑\(B\)﹑\(C\)﹑\(D\)中的任何一點。設從\(O\)點開始﹐經\(n\)次跳動返回 \(O\)點的路線有 \(\displaystyle a_n \)種﹐而經\(n\)次跳動到達\(A\) 點的路線有 \(\displaystyle b_n \)種 ，試求 \(\displaystyle a_6+b_6\) 。 答: 320+256=576種
A-----------------D
| |
| O |
| |
B-----------------C
參考解法: 考慮經 n 次跳動，落在角落(A,B,C,D)的方法數 \(\displaystyle k_n \)
首先， \(\displaystyle k_1=4, k_2=4*2=8 \)
\(\displaystyle k_3=2k_2+4k_1=32 \)
這是因為第 3 次跳到角落的方法數 \(\displaystyle k_3 \)有 2 個來源 :
1. 第 2 次就在角落，又跳到角落，有 \(\displaystyle 2k_2 \)種
2. 第 2 次在中心(即 O 點)，再跳到角落，有 \(\displaystyle k_1*1*4=4k_1 \) 種，
其中 \(\displaystyle k_1*1 \) 表示第 2 次在中心的方法數，由第 1 次在角落的方法數乘以1而來 !
因此， \(\displaystyle k_n=2k_{n-1}+4k_{n-2},n=3,4,5,6,... \)
而且滿足 \(\displaystyle \frac{k_n}{4}=b_n \) (4個角落為對稱情形)， \(\displaystyle k_{n-1}=a_n \)
因為 \(\displaystyle <k_n>=4,8,32,96,320,1024,... \)
故 \(\displaystyle a_6+b_6=k_5+\frac{k_6}{4}=320+\frac{1024}{4}=320+256=576 \)
回復 10# Joy091 的帖子
感謝您詳細的說明^__^ [quote]原帖由 [i]milkie1013[/i] 於 2011-7-15 10:59 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4042&ptid=1186][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]請教老王老師~
第七題 ax+by=1圖形為一直線,只通過上述12個格子點的直線共有C(12,2)+C(12,1)條
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這個部份....為 ... [/quote]
我也有同樣的疑問...
另外還想請問填充第四 八面體塗八色的問題~ 填充第11題
求不等式\(log_{(x+y)}\sqrt{1-x^2}>log_{(x+y)}y\)所形成的區域面積=[u] [/u]。
我的算式是 pi/4 - 1/2 + 3/2 - pi/4 = 1
不知哪裡有錯 , 請高手賜教~
回復 13# dennisal2000 的帖子
y是真數,y必須為正,只考慮x軸上方的面積回復 12# dennisal2000 的帖子
聯立方程式的解,即為圖形交點,因為只有整數解,所以交點必為格子點又直線與圓若有交點,最多兩交點,且交點情形與直線,為一一對應.
所以討論交點的可能情形即可.
扣除六條過原點直線,是因為ax+by=1,顯然不過原點
正八面體塗色情況=8!*(1/4)*(1/6)=1680
~~~ ~~~
(1/4)=>以頂點A為最下方之頂點,若顏色相對位置相同,視作相同塗法,旋轉四次皆為同一種方法
(1/6)=>頂點ABCDEF皆可當最下方之頂點,翻轉六次皆為同一種方法
回復 15# JOE 的帖子
感謝 JOE 詳細的解說~~ 想請教填充7 謝謝回復 20# 阿光 的帖子
填充7.[color=DarkRed]\(\displaystyle a,b\in R \) ，若 \(\displaystyle ax+by=1 \) 與 \(\displaystyle x^2+y^2=50 \) 僅有整數解，求數對 \(\displaystyle (a,b) \) 有多少組？[/color]
答: \(\displaystyle 72=C^{12}_1+C^{12}_2-6 \)
首先，這個圓通過 \(\displaystyle (\pm1,\pm7),(\pm5,\pm5),(\pm7,\pm1) \) 共 4+4+4=12 個格子點
所以數對 \(\displaystyle (a,b) \) 必須使直線 \(\displaystyle ax+by=1 \) 經過這些點中的 1個 或 2個 (分別是圓的 切線 與 割線)
但是要小心直線 \(\displaystyle ax+by=1 \) 不經過原點!
所以數對 \(\displaystyle (a,b) \) 有 \(\displaystyle C^{12}_1+C^{12}_2-6=72 \) 組。
回復 7# 老王 的帖子
我還是看不懂填充6...可以再詳細一點點嗎
感謝~
回復 22# may513 的帖子
用到的是線性變換面積比的性質，即比為絕對值的 det先平分圓的問題，透過線性變換面積比的性質，
得知平分橢圓的問題。
記得以前高中的時候，做過一題：求直線和橢圓夾出的面積，亦是用此方法。
透過線性變換，轉換成「算直線與圓夾出的弓形面積」。
再乘上絕對值的 det。