回復 24# pizza 的帖子
填充第 13 題\( n \)為四位數，且各位數字和恰為12，試求\( n \)有幾個？
[解答]
設此四位數的千、百、十、個位分別為 \(a,b,c,d\)
則 \(a+b+c+d=12\)
其中 \(1\leq a\leq 9,\, 0\leq b\leq 9,\, 0\leq c\leq 9,\, 0\leq d\leq 9\)
所求＝\(H_{11}^4-C^3_1 H_1^4 -C^1_1 H_2^4 = 342\)
（註：任意－\(b,c,d\)某個爆掉－\(a\)爆掉 ）
回復 25# weiye 的帖子
感謝weiye的解答,但是還是有一點小疑惑,b,c,d某個爆掉的時候,不用分狀況討論嗎?例如b=10,b=11都是不合理的情況,
這不用分開算嗎?為什麼只要乘上 \(H_1^4\)就好?
謝謝 [quote]原帖由 [i]pizza[/i] 於 2012-1-15 10:20 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4643&ptid=1186][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
感謝weiye的解答,但是還是有一點小疑惑,
b,c,d某個爆掉的時候,不用分狀況討論嗎?例如b=10,b=11都是不合理的情況,
這不用分開算嗎?為什麼只要乘上 \(H_1^4\)就好?
謝謝 ... [/quote]
幫weiye老師回答一下:
假設a'=a-1
當b=10時,a'+c+d=1,共有 H(3,1)組
當b=11時,a'+c+d=0,共有 H(3,0)組
而H(3,0)+H(3,1)=H(4,1)
你的疑問在這裡吧?
回復 26# pizza 的帖子
以 \(b\) 爆掉為例，若 \(b\geq10\) 就會爆掉，
此時 \(a+b+c+d=12\)，
其中 \(a\geq1, b\geq10, c\geq0, d\geq0\)，且 \(a,b,c,d\) 為整數，
滿足此條件的解共有 \(H^4_{12-1-10}=H^4_1\) 種情況。
且因為全部和也才 \(12\)，因此 \(b,c,d\) 不可能有兩個以上同時爆掉，
所以 "不用" 再加回來兩個以上同時爆掉的情況！ [quote]原帖由 [i]JOE[/i] 於 2011-7-17 07:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4082&ptid=1186][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
y是真數,y必須為正,只考慮x軸上方的面積 [/quote]
請問填充第11題答案是1 嗎? [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-1-20 02:29 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4682&ptid=1186][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問填充第11題答案是1 嗎? [/quote]
求不等式\(log_{(x+y)}\sqrt{1-x^2}>log_{(x+y)}y\)所形成的區域面積=[u] [/u]。
原本答案沒有錯
是(Pi+4)/8
請問填充第2,5 ,12題如何做?
請問填充第2,5 ,12題如何做?回復 31# mandy 的帖子
填充第2題設橢圓\( \displaystyle \Gamma：\frac{(x-3)^2}{98^2}+\frac{(y-16)^2}{2009^2}=1 \)，且其內部於第一、二、三、四象限內所圍區域面積依次為\( R_1、R_2、R_3、R_4 \)，則\( R_1-R_2+R_3-R_4= \)[u] [/u]。
[解答]
由圖形的對稱性可知，
\(R_1-R_2+R3-R4=\) 附圖的中間白色區域面積\(=4(3\times16)=192.\)
回復 31# mandy 的帖子
填充第 5 題若\( \displaystyle k=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{80}} \)，求\( \left[ k \right]= \)[u] [/u]。(\( \left[ \right] \)表高斯符號)
[解答]
很多學校有考過
[url]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url]
[url]https://math.pro/db/thread-1095-1-1.html[/url]
回復 33# weiye 的帖子
第 12 題：設\( P(4,3,1) \)，\( \displaystyle \Gamma：\cases{x^2+(y-1)^2+(z-5)^2=13 \cr x+2y+2z=3} \)，\( Q \)為\( \Gamma \)上的一動點，求\( \overline{PQ} \)的最小值=[u] [/u]。
[解答]
先求出球心 \(O(0,1,5)\) 在平面 \(x+2y+2z-3=0\) 上的投影點坐標 \(A(-1,-1,3)\)，\(A\) 點即 \(\Gamma\) 所表示的圓之圓心，
再求出 \(\Gamma\) 所表示的圓半徑 \(\displaystyle r=\sqrt{13-\left(\frac{|0+2+10-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}\right)^2}=2\)
然後，求出 \(P(4,3,1)\) 在平面 \(x+2y+2z-3=0\) 上的投影點坐標亦為 \(B(3,1,-1)\)，
且 \(P(4,3,1)\) 到平面 \(x+2y+2z-3=0\) 的距離為 \(\displaystyle \overline{PB}=\frac{|4+6+2-3|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=3\)
可得 \(\overline{AB}=6\)，
\(\overline{PQ}\) 的最小值為 \(\displaystyle \sqrt{\overline{PB}^2+\left(\overline{AB}-r\right)^2}=5.\)
註：這也是考古題，以前其他學校有出過（忘了哪幾所～）。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-1-24 10:51 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4691&ptid=1186][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 5 題
很多學校有考過
[url=https://math.pro/db/thread-156-1-1.html]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url]
[url=https://math.pro/db/thread-1095-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1095-1-1.html[/url] [/quote]
按照公式計算 k=2*9-2-(1/9) , 所以[k]=15 , 為何答案是16
回復 35# mandy 的帖子
我知道哪裡有問題了, 如果背公式, 就會有錯, 正確作法是不能背公式 .回復 35# mandy 的帖子
因為小弟記憶力太弱～所以不太會背公式，又擔心背錯～常每次都用推導的～你上面回覆的公式是套用哪一個呢？（因為我看不太出來...＝＝）
如果是套用我之前寫的積分的方法～得到的是 \(2\left(\sqrt{81}-1\right)<k<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+2\left(\sqrt{80}-\sqrt{2}\right)\)
\(\Rightarrow 16<k<16.76...\Rightarrow [k]=16\)
如果是套用後面 bugmens 所提供的方法（較常見）～得到的是
\(1+2\left(\sqrt{81}-\sqrt{2}\right)<k<1+2\left(\sqrt{80}-\sqrt{1}\right)\)
\(\Rightarrow 16.17...<k<16.88...\Rightarrow [k]=16\)
不過，由於您的答案少 \(1\) ～我猜你是用後者～～
然後我猜你的錯誤點很有可能是～\(1\) 本身已是整數不需要處理～卻不小心也拿進去分項對消處理了！ [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2012-1-26 02:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4700&ptid=1186][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我知道哪裡有問題了, 如果背公式, 就會有錯, 正確作法是不能背公式 . [/quote]
我曾說這類題目5秒鐘就要寫出答案，我背的公式是\( 2(\sqrt{n+1}-1) \)
這公式是從weiye的積分方法所得到的，一來簡單明瞭，二來計算方便
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1123&page=1#pid3381[/url]
但這公式在某些情況是錯的
總和的小數部份離整數太近，導致公式算出來的答案落到前一個整數
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{9950} \frac{1}{\sqrt{k}}=198.044... \)，但\( 2(\sqrt{9951}-1)=197 \)
首項不是從1 開始，用了公式聰明反被聰明誤
97淡水商工從\( k=5 \)開始加
97台南女中還出成計算證明題，公式無用武之地
但情況一不會出現在考卷上，題目只是要你估計，不會出個刁鑽的數字讓你猜到底要不要多加1，狀況二就再把前面不要的減掉就可以了
我自己的話還滿喜歡發明速算法或公式，有時的確可以省下很多時間，但有時候條件已經改了卻沒察覺反而丟了分數，至於考試時用不用公式就看個人喜好 6
將半徑15的圓作伸縮變換成橢圓
有點看不大懂，謝謝。
原本是\(\displaystyle \frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{100}=1\)之圓… 3.
主人宴客，刻意安排10個互不認識的客人一同圍坐一圓桌，希望客人能互相認識，不料席間每位客人都只與相鄰的人交談認識。飯局後主人從中隨意挑選四人, 試求四人皆互不認識的機率？[u] [/u]。
[解答]
我再提供一種算法:看成1~10排成環狀，10和1相鄰，
那麼全部就是C(10,4)=210種。
要有不相鄰的，可以看成將10個人分成四個相鄰的部分，每個部分至少兩人，
那麼分法就只有4,2,2,2或是3,3,2,2,才可以。
4,2,2,2只要選好四人，剩下就固定，所以有10種；
3,3,2,2依順序又可分為3,3,2,2或是3,2,3,2這兩種來討論:
3,3,2,2也有10種；
3,2,3,2因為轉五個之後會一樣，例如(1,2,3)(4,5)(6,7,8)(9,10)和(6,7,8)(9,10)(1,2,3)(4,5)是一樣的，
所以只有5種。
於是總共就有25種。
所求就是25/210=5/42
想請教"填充9"
設數列\( <a_n> \)滿足\( a_n>0 \)，且\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2011}{2a_n} \)，假設此數列\( <a_n> \)收斂到某一實數，則此實數為何? [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2012-3-9 11:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4887&ptid=1186][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]設數列滿足a_n>0，且a_(n+1)=a_n/2+2011/(2a_n)，假設此數列收斂到某一實數，則此實數為何? [/quote]
9.
設數列\( <a_n> \)滿足\( a_n>0 \)，且\( \displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac{2011}{2a_n} \)，假設此數列\( <a_n> \)收斂到某一實數，則此實數為何?
[解答]
令此收斂值為t
則 t=t/2+2011/(2t)
t/2=2011/(2t)
t^2=2011
t=2011^0.5 (-2011^0.5不合)
再請教第10
\( f(x) \)為\( x \)的三次多項式，且\( f(2007)=2、f(2008)=0、f(2009)=1、f(2010)=1 \)，求f(2011)我用的是最基本的方式，設\( f(x)=a(x-2007)(x-2008)(x-2009)+b(x-2007)(x-2008)+c(x-2007)+2 \)去求abc
想請教的是...是否有另外的較快速的解法呢???感恩