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不是因為困難所以我們才不敢,
而是因為我們不敢所以才困難。

JOE 發表於 2011-7-7 21:12

100苑裡高中

如題

gamaisme 發表於 2011-7-7 21:50

請教一下填充4是否有較快的解法?

[[i] 本帖最後由 gamaisme 於 2011-7-7 10:10 PM 編輯 [/i]]

Ellipse 發表於 2011-7-7 22:29

[quote]原帖由 [i]gamaisme[/i] 於 2011-7-7 09:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3961&ptid=1178][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教一下填充4是否有較快的解法? [/quote]
設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)?

改一下符號
假設4x^3+3x^2+2x+1=0的解為x=x1,x2,x3,求(1/x1)^5 +(1/x2)^5 +(1/x3)^5

令y=1/x ,及y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3
則4(1/y)^3 +3(1/y)^2+2(1/y)+1=0
=> y^3+2y^2+3y+4=0-------------(*)
y=y1,y2,y3為(*)的解

所求=(y1)^5+(y2)^5+(y3)^5

=[-2(y1)^4-3(y1)^3-4(y1)^2]+[-2(y2)^4-3(y2)^3-4(y2)^2]+[-2(y3)^4-3(y3)^3-4(y3)^2]

=-2[(y1)^4+(y2)^4+(y3)^4]-3[(y1)^3+(y2)^3+(y3)^3]-4[(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2]

......(繼續降次方)

=5[y1+y2+y3]-12

=5*(-2)-12

=-22

bugmens 發表於 2011-7-7 22:35

1.
設\( x,y,z \in N \)且\( xy+yz+zx=xyz \),則數對\( (x,y,z) \)之解有[u]  [/u]組。

(1)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8} \)所有的正整數解;
(2)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \)所以的正整數解。
(96南港高工日間部)

類似題
求\( \displaystyle \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1 \)的正整數解。


4.
設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)?
[提示]
令\( 4+3y+2y^2+y^3=0 \)三根為\( \displaystyle \frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma} \)
再用[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501[/url]方法下去算

設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \),則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)?
(99苗栗高中,[url]https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html[/url])

令a,b,c為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根,求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)−33 (B)33 (C)22 (D)−22
(98金門縣國中聯招)


9.
已知正△ABC內一點P到三頂點A、B、C之距離分別5、12、13,則△ABC之邊長為?

設△ABC為正三角形,點P為其內部一點,若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \),則△ABC之面積為?
(97中和高中)

若△ABC為一正三角形,且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \),\( \overline{BP}=4 \),\( \overline{CP}=5 \),試問此正三角形之邊長為何?
(2008TRML團體賽)


9.
空間中10個相異平面,最多能將空間分割成個[u]  [/u]區域?

這只是五分的填充題,請不要用遞迴關係解題
我提供一個速解法,包含驗算20秒就可以寫答案
[速解]
\( C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}=176 \)

100.11.19補充
用遞迴解題
[url]http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2011/03/blog-post_14.html[/url]

14.
設\( (1+x)^n=C_0^{n}+C_1^n x+C_2^n x^2+C_3^n x^3+...+C_n^n x^n \),
則\( C_1^n+2^2 C_2^n+3^2 C_3^n+4^2 C_4^n+...+n^2 C_n^n \)?
[公式]
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k C_k^n=n \times 2^{n-1} \)

\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 C_k^n=n(n+1) 2^{n-2} \)

利用歸納法證明:\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k C_k^n=n 2^{n-1} \)。
(100家齊女中,[url]https://math.pro/db/thread-1122-1-3.html[/url])


計算證明題
2.
△ABC中,已知\( a=\overline{BC} \),\( b=\overline{CA} \),\( c=\overline{AB} \),試證明:\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)

Suppose a,b,c are the sides of a triangle. Prove that \( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
(IMO1964)
[解答]
Schur's inequality
\( a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \ge 0 \)

\( a(a-b)(a-c)=a(a^2-ac-ba+bc)=-a^2(b+c-a)+abc \)
\( b(b-c)(b-a)=b(b^2-ab-cb+ca)=-b^2(c+a-b)+abc \)
\( c(c-a)(c-b)=c(c^2-cb-ac+ab)=-c^2(a+b-c)+abc \)
三式相加得
\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)

其他解法
[url]http://gbas2010.wordpress.com/2009/12/02/i-m-o-1964/[/url]

參考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=366834&p=2018835[/url]
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=265683&p=1441901[/url]
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=71110&p=414261[/url]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 08:55 PM 編輯 [/i]]

kittyyaya 發表於 2011-7-7 23:07

回復 4# bugmens 的帖子

請教版主大大,第9題的速解用C是如何來的,謝謝

gamaisme 發表於 2011-7-7 23:43

xy + yz + xz = xyz
同除以 xyz得到1/x+1/y+1/z = 1
應該比較好討論

Herstein 發表於 2011-7-9 16:19

我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題

Ellipse 發表於 2011-7-9 21:26

[quote]原帖由 [i]Herstein[/i] 於 2011-7-9 04:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3982&ptid=1178][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題 [/quote]

單選第一題
1.
有一道題目:「設\(\displaystyle \omega=cos \frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}\),\(n \in N\),\(n>2\),求\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n\)之值」。而阿煌在解這一題時,所用的步驟(A)至(E)如下:\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n=\),請問阿煌的作法,從哪一步驟開始錯誤?
(A)\(\displaystyle =\omega^{1+2+3+\ldots+n}\) (B)\(\displaystyle =\omega^{\frac{n(n+1)}{2}}\) (C)\(\displaystyle =(\omega^n)^{\frac{n+1}{2}}\) (D)\(\displaystyle =1^{\frac{n+1}{2}}\) (E)\(=1\)。

棣美弗定理
n(n+1)/2 要整個跟角度相乘
所求=cos[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]+i*sin[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]
=cos[Pi(n+1)]+i*sin[Pi*(n+1)]
在(c)就錯了!

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-9 10:06 PM 編輯 [/i]]

Ellipse 發表於 2011-7-9 22:35

[quote]原帖由 [i]Herstein[/i] 於 2011-7-9 04:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3982&ptid=1178][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]

我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題 [/quote]
#11
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\)與雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\)有公共焦點。當以它們的「交點」為頂點的四邊形面積為最大時,則數對\((A,B)=\)[u]   [/u]。
[解答]
假設雙曲線的焦距=c
則c^2=16-9=B-A (A<0)
B=7+A
解x^2/9 +y^2/16=1
x^2/A +y^2 /(A+7)=1
得第一象限交點P( (-9A/7)^0.5 ,(16(A+7)/7)^0.5)
所圍成矩形面積=4*[(-9A/7)^0.5 *16(A+7)/7)^0.5]
=(48/7)*[-A(A+7)]^0.5----------(*)
由配方法可知當A=-7/2時,(*)有最小值
此時B=7+(-7/2)=7/2
所求數對(A,B)=(-7/2,7/2)

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-11 01:54 PM 編輯 [/i]]

gamaisme 發表於 2011-7-12 00:07

多謝Ellipse老師的指導~

zero 發表於 2011-8-9 23:15

回復 2# gamaisme 的帖子

請問填充第10與13怎麼做

填充第十用遞迴怎麼看規律

Joy091 發表於 2011-8-10 12:44

回復 12# zero 的帖子

13.在正△內任取一點,向三邊做垂直線段,則此三垂直線段長可作為一△三邊長的機率為?

答 : \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

令正△ABC內一點 \(P\) 至 \(\overline{AB}\) 的距離為 \(h_c\) ,至 \(\overline{BC}\) 的距離為 \(h_a\),至 \(\overline{CA}\) 的距離為 \(h_b\)

則  \(h_a,h_b,h_c\)  中任兩段的長度和必須大於第三段的長度

不妨先假設 \(h_a\) 最大,而且 \(h_a < h_b+h_c\)

考慮其極端狀況,以描述 \(P\) 點的可行區域的邊界,亦即 \(h_a=h_b+h_c\) 的情況

因為△ABC是正三角形(三邊長相等),所以此時 △PBC面積是△ABC面積的一半

而得到 \(P\) 落在 \(\overline{AB}\) 與 \(\overline{AC}\) 的中點連線

由對稱性,可知 \(P\) 落在△ABC三邊的中點連線之中,其面積佔△ABC的 \(\frac{1}{4}\)

所以機率為 \(\frac{1}{4}\)

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-10 05:07 PM 編輯 [/i]]

bombwemg 發表於 2011-8-10 14:11

回復 5# kittyyaya 的帖子

原本公式是n個相異平面,可以隔出1+n+(n-1)n(n+1)/6個平面
其中1 = C(n , 0)
        n = C(n , 1)
        (n-1)n(n+1)/6 = C(n+1 , 3) = C(n , 2) + C(n , 3)

而n個相異直線分割平面也等於 : C(n , 0) + C(n , 1)+ C(n , 2)

Joy091 發表於 2011-8-11 15:53

回復 12# zero 的帖子

[color=DarkRed]10.  空間中10個相異平面,最多能將空間分割成幾個區域 ?[/color]

答 : 176

採取遞迴想法時,可依序由一維二維三維來看這個問題 :

[color=Green]一維[/color] : \(n\) 個點最多可以將一直線分成幾段 (包含射線與線段) ?    以下用 \(a_n\) 表示

則有 \(a_1=2,  a_2=3, a_3=4,...,a_n=a_{n-1}+1\)

而得到 \(a_n=n+1, n=1,2,3,...\)


[color=Green]二維[/color] : \(n\) 條直線最多可以將一平面分成幾個區域?    以下用 \(b_n\) 表示

則有 \(b_1=2,  b_2=4,  b_3=b_2+a_2=7,  b_4=b_3+a_3,...,  b_n=b_{n-1}+a_{n-1}\)

因為每多1條線就可以與前面的  \(n-1\) 條線最多交於 \(n-1\) 點

而這 \(n-1\) 點可以將這條新加上去的直線最多切成 \(a_{n-1}\) 段,因此多了 \(a_{n-1}\) 個區域

最後由遞迴關係得到 \(b_n=\frac{n(n+1)}{2}+1, n=1,2,3,...\)


[color=Green]三維[/color] : \(n\) 個平面最多可以將一空間分成幾個區域(塊)?    以下用 \(c_n\) 表示

則有 \(c_1=2,  c_2=4,  c_3=c_2+b_2=8,  c_4=c_3+b_3,...,  c_n=c_{n-1}+b_{n-1}\)

因為每多1個平面就可以與前面的  \(n-1\) 個平面最多交於 \(n-1\) 條線

而這 \(n-1\) 條線可以將這個新加上去的平面最多切成 \(b_{n-1}\) 個區域,因此多了 \(b_{n-1}\) 個區塊

最後由遞迴關係得到 \(c_n=\frac{n(n^2+5)}{6}+1, n=1,2,3,...\)


所求即為 \(c_{10}=176\)



至於速算法可以畫圖一一對應說明!  (但感覺用遞迴比較嚴謹)

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-11 04:20 PM 編輯 [/i]]

money 發表於 2011-8-16 16:58

填充1的題型似乎很常見
但是小弟還是想不透
懇請板上高手賜教
感謝

money 發表於 2011-8-18 15:42

想請教填充1,6,7及計算1
感謝

weiye 發表於 2011-8-19 00:01

回復 17# money 的帖子

填充第 1 題:
設\(x,y,z \in N\)且\(xy+yz+zx=xyz\),則數對\((x,y,z)\)之解有[u]   [/u]組。
[解答]

  不失一般性,可先假設 \(x\geq y\geq z\),然後搭配 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\),

  先由 \(\displaystyle1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}\)

     \(\Rightarrow z\leq3\)

  條列 \(z=1,2,\) 或 \(3\) 之 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) 之值,然後找出所有可能的解。

weiye 發表於 2011-8-19 00:12

回復 17# money 的帖子

填充第 7 題:
\(\Delta ABC\)中,\(\overline{CD}\)交\(\overline{BE}\)於\(F\),已知\(\Delta BDF\)面積為10,\(\Delta BCF\)面積為20,\(\Delta CEF\)面積為16,則四邊形區域\(ADFE\)之面積為[u]   [/u]。
[解答]
令所求面積為 \(x\),

則由孟氏定理,可得

\(\displaystyle\frac{BD}{DA}\cdot\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EF}{FB}=1\)

\(\displaystyle\Rightarrow\frac{10+20}{x+16}\cdot\frac{10+20+x+16}{20+16}\cdot\frac{16}{20}=1\)

\(\Rightarrow x=44.\)

109.6.16補充
設\(D\)、\(E\)分別在\(\Delta ABC\)的\(\overline{AC}\)和\(\overline{AB}\)上,\(\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=1\)、\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DC}}=\frac{2}{3}\),若\(\Delta ABC\)的面積為40,則四邊形\(AEFD\)的面積為[u]   [/u]。
(109建功高中國中部,[url]https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html[/url])

weiye 發表於 2011-8-19 00:19

回復 17# money 的帖子

填充第 6 題:
求\(\displaystyle sin\frac{4\pi}{11}\cdot sin\frac{8\pi}{11}\cdot sin\frac{12\pi}{11}\cdot sin\frac{16\pi}{11}\cdot sin\frac{20\pi}{11}=\)[u]   [/u]。

所求=\(\displaystyle-\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\)

再利用 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1079&page=1#pid3543]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1079&page=1#pid3543[/url] 這裡"註"的第一項,就可以了!

money 發表於 2011-8-19 09:34

感謝weiye老師指導

頁: [1] 2

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