100苑裡高中
如題 請教一下填充4是否有較快的解法?[[i] 本帖最後由 gamaisme 於 2011-7-7 10:10 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]gamaisme[/i] 於 2011-7-7 09:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3961&ptid=1178][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教一下填充4是否有較快的解法? [/quote]
設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)？
改一下符號
假設4x^3+3x^2+2x+1=0的解為x=x1,x2,x3,求(1/x1)^5 +(1/x2)^5 +(1/x3)^5
令y=1/x ,及y1=1/x1,y2=1/x2,y3=1/x3
則4(1/y)^3 +3(1/y)^2+2(1/y)+1=0
=> y^3+2y^2+3y+4=0-------------(*)
y=y1,y2,y3為(*)的解
所求=(y1)^5+(y2)^5+(y3)^5
=[-2(y1)^4-3(y1)^3-4(y1)^2]+[-2(y2)^4-3(y2)^3-4(y2)^2]+[-2(y3)^4-3(y3)^3-4(y3)^2]
=-2[(y1)^4+(y2)^4+(y3)^4]-3[(y1)^3+(y2)^3+(y3)^3]-4[(y1)^2+(y2)^2+(y3)^2]
......(繼續降次方)
=5[y1+y2+y3]-12
=5*(-2)-12
=-22 1.
設\( x,y,z \in N \)且\( xy+yz+zx=xyz \)，則數對\( (x,y,z) \)之解有[u] [/u]組。
(1)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8} \)所有的正整數解；
(2)求\( \displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1 \)所以的正整數解。
(96南港高工日間部)
類似題
求\( \displaystyle \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1 \)的正整數解。
4.
設\( 4x^3+3x^2+2x+1=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \displaystyle \frac{1}{\alpha^5}+\frac{1}{\beta^5}+\frac{1}{\gamma^5} \)？
[提示]
令\( 4+3y+2y^2+y^3=0 \)三根為\( \displaystyle \frac{1}{\alpha},\frac{1}{\beta},\frac{1}{\gamma} \)
再用[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1019&page=1#pid2501[/url]方法下去算
設\( x^3+2x^2+3x+4=0 \)三根為\( \alpha,\beta,\gamma \)，則\( \alpha^5+\beta^5+\gamma^5 \)？
(99苗栗高中，[url]https://math.pro/db/thread-1019-1-1.html[/url])
令a,b,c為三次方程式\( x^3+5x+11=0 \)的根，求\( a^3+b^3+c^3 \)
(A)−33 (B)33 (C)22 (D)−22
(98金門縣國中聯招)
9.
已知正△ABC內一點P到三頂點A、B、C之距離分別5、12、13，則△ABC之邊長為？
設△ABC為正三角形，點P為其內部一點，若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \)，則△ABC之面積為？
(97中和高中)
若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)
9.
空間中10個相異平面，最多能將空間分割成個[u] [/u]區域？
這只是五分的填充題，請不要用遞迴關係解題
我提供一個速解法，包含驗算20秒就可以寫答案
[速解]
\( C_0^{10}+C_1^{10}+C_2^{10}+C_3^{10}=176 \)
100.11.19補充
用遞迴解題
[url]http://cplee8tcfsh.blogspot.com/2011/03/blog-post_14.html[/url]
14.
設\( (1+x)^n=C_0^{n}+C_1^n x+C_2^n x^2+C_3^n x^3+...+C_n^n x^n \)，
則\( C_1^n+2^2 C_2^n+3^2 C_3^n+4^2 C_4^n+...+n^2 C_n^n \)？
[公式]
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k C_k^n=n \times 2^{n-1} \)
\( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} k^2 C_k^n=n(n+1) 2^{n-2} \)
利用歸納法證明：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n k C_k^n=n 2^{n-1} \)。
(100家齊女中，[url]https://math.pro/db/thread-1122-1-3.html[/url])
計算證明題
2.
△ABC中，已知\( a=\overline{BC} \)，\( b=\overline{CA} \)，\( c=\overline{AB} \)，試證明：\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
Suppose a,b,c are the sides of a triangle. Prove that \( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
(IMO1964)
[解答]
Schur's inequality
\( a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b) \ge 0 \)
\( a(a-b)(a-c)=a(a^2-ac-ba+bc)=-a^2(b+c-a)+abc \)
\( b(b-c)(b-a)=b(b^2-ab-cb+ca)=-b^2(c+a-b)+abc \)
\( c(c-a)(c-b)=c(c^2-cb-ac+ab)=-c^2(a+b-c)+abc \)
三式相加得
\( a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\le 3abc \)
其他解法
[url]http://gbas2010.wordpress.com/2009/12/02/i-m-o-1964/[/url]
參考資料
http://en.wikipedia.org/wiki/Schur's_inequality
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=366834&p=2018835[/url]
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=265683&p=1441901[/url]
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=71110&p=414261[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-11-19 08:55 PM 編輯 [/i]]
回復 4# bugmens 的帖子
請教版主大大,第9題的速解用C是如何來的,謝謝 xy + yz + xz = xyz同除以 xyz得到1/x+1/y+1/z = 1
應該比較好討論 我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題 [quote]原帖由 [i]Herstein[/i] 於 2011-7-9 04:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3982&ptid=1178][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題 [/quote]
單選第一題
1.
有一道題目：「設\(\displaystyle \omega=cos \frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}\)，\(n \in N\)，\(n>2\)，求\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n\)之值」。而阿煌在解這一題時，所用的步驟(A)至(E)如下：\(\omega \cdot \omega^2 \cdot \omega^3 \ldots \omega^n=\)，請問阿煌的作法，從哪一步驟開始錯誤？
(A)\(\displaystyle =\omega^{1+2+3+\ldots+n}\) (B)\(\displaystyle =\omega^{\frac{n(n+1)}{2}}\) (C)\(\displaystyle =(\omega^n)^{\frac{n+1}{2}}\) (D)\(\displaystyle =1^{\frac{n+1}{2}}\) (E)\(=1\)。
棣美弗定理
n(n+1)/2 要整個跟角度相乘
所求=cos[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]+i*sin[(2Pi/n)*(n*(n+1)/2)]
=cos[Pi(n+1)]+i*sin[Pi*(n+1)]
在(c)就錯了!
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-9 10:06 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]Herstein[/i] 於 2011-7-9 04:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3982&ptid=1178][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我想問一下 單選第一題 為什麼是 C另外還有填充第11題 [/quote]
#11
設橢圓\(\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1\)與雙曲線\(\displaystyle \frac{x^2}{A}+\frac{y^2}{B}=1\)有公共焦點。當以它們的「交點」為頂點的四邊形面積為最大時，則數對\((A,B)=\)[u] [/u]。
[解答]
假設雙曲線的焦距=c
則c^2=16-9=B-A (A<0)
B=7+A
解x^2/9 +y^2/16=1
x^2/A +y^2 /(A+7)=1
得第一象限交點P( (-9A/7)^0.5 ,(16(A+7)/7)^0.5)
所圍成矩形面積=4*[(-9A/7)^0.5 *16(A+7)/7)^0.5]
=(48/7)*[-A(A+7)]^0.5----------(*)
由配方法可知當A=-7/2時,(*)有最小值
此時B=7+(-7/2)=7/2
所求數對(A,B)=(-7/2,7/2)
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2011-7-11 01:54 PM 編輯 [/i]] 多謝Ellipse老師的指導~
回復 2# gamaisme 的帖子
請問填充第10與13怎麼做填充第十用遞迴怎麼看規律
回復 12# zero 的帖子
13.在正△內任取一點，向三邊做垂直線段，則此三垂直線段長可作為一△三邊長的機率為?答 : \(\displaystyle \frac{1}{4}\)
令正△ABC內一點 \(P\) 至 \(\overline{AB}\) 的距離為 \(h_c\) ，至 \(\overline{BC}\) 的距離為 \(h_a\)，至 \(\overline{CA}\) 的距離為 \(h_b\)
則 \(h_a,h_b,h_c\) 中任兩段的長度和必須大於第三段的長度
不妨先假設 \(h_a\) 最大，而且 \(h_a < h_b+h_c\)
考慮其極端狀況，以描述 \(P\) 點的可行區域的邊界，亦即 \(h_a=h_b+h_c\) 的情況
因為△ABC是正三角形(三邊長相等)，所以此時 △PBC面積是△ABC面積的一半
而得到 \(P\) 落在 \(\overline{AB}\) 與 \(\overline{AC}\) 的中點連線
由對稱性，可知 \(P\) 落在△ABC三邊的中點連線之中，其面積佔△ABC的 \(\frac{1}{4}\)
所以機率為 \(\frac{1}{4}\)
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-10 05:07 PM 編輯 [/i]]
回復 5# kittyyaya 的帖子
原本公式是n個相異平面,可以隔出1+n+(n-1)n(n+1)/6個平面其中1 = C(n , 0)
n = C(n , 1)
(n-1)n(n+1)/6 = C(n+1 , 3) = C(n , 2) + C(n , 3)
而n個相異直線分割平面也等於 : C(n , 0) + C(n , 1)+ C(n , 2)
回復 12# zero 的帖子
[color=DarkRed]10. 空間中10個相異平面，最多能將空間分割成幾個區域 ?[/color]答 : 176
採取遞迴想法時，可依序由一維二維三維來看這個問題 :
[color=Green]一維[/color] : \(n\) 個點最多可以將一直線分成幾段 (包含射線與線段) ? 以下用 \(a_n\) 表示
則有 \(a_1=2, a_2=3, a_3=4,...,a_n=a_{n-1}+1\)
而得到 \(a_n=n+1, n=1,2,3,...\)
[color=Green]二維[/color] : \(n\) 條直線最多可以將一平面分成幾個區域? 以下用 \(b_n\) 表示
則有 \(b_1=2, b_2=4, b_3=b_2+a_2=7, b_4=b_3+a_3,..., b_n=b_{n-1}+a_{n-1}\)
因為每多1條線就可以與前面的 \(n-1\) 條線最多交於 \(n-1\) 點
而這 \(n-1\) 點可以將這條新加上去的直線最多切成 \(a_{n-1}\) 段，因此多了 \(a_{n-1}\) 個區域
最後由遞迴關係得到 \(b_n=\frac{n(n+1)}{2}+1, n=1,2,3,...\)
[color=Green]三維[/color] : \(n\) 個平面最多可以將一空間分成幾個區域(塊)? 以下用 \(c_n\) 表示
則有 \(c_1=2, c_2=4, c_3=c_2+b_2=8, c_4=c_3+b_3,..., c_n=c_{n-1}+b_{n-1}\)
因為每多1個平面就可以與前面的 \(n-1\) 個平面最多交於 \(n-1\) 條線
而這 \(n-1\) 條線可以將這個新加上去的平面最多切成 \(b_{n-1}\) 個區域，因此多了 \(b_{n-1}\) 個區塊
最後由遞迴關係得到 \(c_n=\frac{n(n^2+5)}{6}+1, n=1,2,3,...\)
所求即為 \(c_{10}=176\)
至於速算法可以畫圖一一對應說明! (但感覺用遞迴比較嚴謹)
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-8-11 04:20 PM 編輯 [/i]] 填充1的題型似乎很常見
但是小弟還是想不透
懇請板上高手賜教
感謝 想請教填充1,6,7及計算1
感謝
回復 17# money 的帖子
填充第 1 題：設\(x,y,z \in N\)且\(xy+yz+zx=xyz\)，則數對\((x,y,z)\)之解有[u] [/u]組。
[解答]
不失一般性，可先假設 \(x\geq y\geq z\)，然後搭配 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)，
先由 \(\displaystyle1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}\)
\(\Rightarrow z\leq3\)
條列 \(z=1,2,\) 或 \(3\) 之 \(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) 之值，然後找出所有可能的解。
回復 17# money 的帖子
填充第 7 題：\(\Delta ABC\)中，\(\overline{CD}\)交\(\overline{BE}\)於\(F\)，已知\(\Delta BDF\)面積為10，\(\Delta BCF\)面積為20，\(\Delta CEF\)面積為16，則四邊形區域\(ADFE\)之面積為[u] [/u]。
[解答]
令所求面積為 \(x\)，
則由孟氏定理，可得
\(\displaystyle\frac{BD}{DA}\cdot\frac{AC}{CE}\cdot\frac{EF}{FB}=1\)
\(\displaystyle\Rightarrow\frac{10+20}{x+16}\cdot\frac{10+20+x+16}{20+16}\cdot\frac{16}{20}=1\)
\(\Rightarrow x=44.\)
109.6.16補充
設\(D\)、\(E\)分別在\(\Delta ABC\)的\(\overline{AC}\)和\(\overline{AB}\)上，\(\displaystyle \frac{\overline{AE}}{\overline{EB}}=1\)、\(\displaystyle \frac{\overline{AD}}{\overline{DC}}=\frac{2}{3}\)，若\(\Delta ABC\)的面積為40，則四邊形\(AEFD\)的面積為[u] [/u]。
(109建功高中國中部，[url]https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html[/url])
回復 17# money 的帖子
填充第 6 題：求\(\displaystyle sin\frac{4\pi}{11}\cdot sin\frac{8\pi}{11}\cdot sin\frac{12\pi}{11}\cdot sin\frac{16\pi}{11}\cdot sin\frac{20\pi}{11}=\)[u] [/u]。
所求＝\(\displaystyle-\sin\frac{\pi}{11}\sin\frac{2\pi}{11}\sin\frac{3\pi}{11}\sin\frac{4\pi}{11}\sin\frac{5\pi}{11}\)
再利用 [url=https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1079&page=1#pid3543]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1079&page=1#pid3543[/url] 這裡＂註＂的第一項，就可以了！ 感謝weiye老師指導
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