回復 17# weiye 的帖子
(1) \( z=1\)， \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0\)，不可能有解，因為\(x\)、\(y\)都是自然數。(2) \( z=2\)，\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{2}\)，可以討論出，\(x=4\)，\(y=4\)。
\((x,y,z) = (4,4,2) \vee (4,2,4) \vee (2,4,4)\) 3組
(3) \( z=3\)，\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{2}{3}\)，可以討論出，\(x=3\)，\(y=3\)。
\((x,y,z) = (3,3,3)\) 1組
漏了一組 \( (x,y,z) =(6,3,2)\) \(3!=6\)
6+3+1=10
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-4-21 06:05 PM 編輯 [/i]] [size=3]10. 空間中 10 個相異平面，最多能將空間分割成[u] [/u]個區域。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: 1+C(10,1)+C(10,2)+C(10,3)=176[/size]
[size=3][/size]
[size=3]關於上述公式，bugmens 老師在 "我的教甄準備之路" [url=https://math.pro/db/thread-661-2-1.html]https://math.pro/db/thread-661-2-1.html[/url] 有詳細的介紹。當中所聯結"科學教育月刊"的文章(作者: 阮圓真)，是以遞迴關係配合累加的方式證明。在此試用稍微不同的角度來考察，或可幫助進一步體會與記憶此公式。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]以下所提的組合數皆指"廣義二項係數"。故: 當 a<b 時，C(a,b) = 0。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]先由一維開始:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=green]* 直線上 n 個相異點，最多能將此直線分割成[u] [/u]個區域。[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]解: 由於多加入 1 點就多一區域，所求 = 1(初始狀態)+點數 = [color=red]1+n[/color][/size]
[size=3][color=#0000ff](即:[/color] [color=blue]"點、線的個數和")[/color][/size]
[size=3][color=#0000ff][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]接著考慮二維:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][size=3][color=green]* 平面上 n 條相異直線，最多能將此平面分割成[u] [/u]個區域。[/color][/size]
解: 考慮增加一條直線時，該直線被分割成的"段數"即平面增加的區域數，其等於 "1+新增的交點數" (可由一維情況推得)。可以把前述的 "1" 視為 "新增的直線數"，則所求 = [color=blue]1(初始狀態)+直線數+交點數[/color] = [color=red]1+C(n,1)+C(n,2)[/color][/size]
[size=3][color=blue](即: [/color][/size][size=3][color=blue]"點、線、面的個數和")[/color]
[/size]
[size=3]再來考慮三維:
[color=green]* 空間中 n 個相異平面，最多能將此空間分割成[u] [/u]個區域。[/color]
解: 考慮增加一個平面時，該平面被分割成的"平面區域數"即空間增加的區域數，其等於 "1+新增的交線數+新增的交點數" (可由二維情況推得)。可以把前述的 "1" 視為 "新增的平面數"，則所求 = [color=blue]1(初始狀態)+平面數+交線數+交點數[/color] = [color=red]1+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)[/color]
[color=#ff0000][/color][color=#0000ff](即: [/color][size=3][color=blue]"點、線、面、體的個數和")[/color][/size][/size]
[size=3][color=#0000ff][/color]
[color=black][/color][/size]
[size=3][color=black]比[/color][/size][size=3][color=black]較:[/color]
[color=green]* 在圓上任取 n 個點，兩兩相連所得的弦，最多將此圓內部分割成[u] [/u]個區域。[/color]
[color=#008000][/color]
[color=#000000]解: 考慮增加一條弦時，該弦被分割成的"段數"即圓內增加的區域數，其等於 "1+新增的圓內交點數"。可以把前述的 "1" 視為 "新增的弦數"，則所求 = [color=#0000ff]1(初始狀態)+[color=blue]弦[/color]數+[color=blue]圓內[/color]交點數[/color] = [color=red]1+C(n,2)+C(n,4)[/color][/color]
[color=#ff0000][/color]
[color=green]* 一個凸 n 邊形的所有對角線，最多將這個 n 邊形的內部分割成[u] [/u]個區域。[/color]
解: 易知上一題的答案減 n 即為所求 = [color=red]1-n+C(n,2)+C(n,4) [/color][color=black](另解可見上述 "我的教甄準備之路")[/color]
[color=#ff0000][/color]
[color=green]* 平面上 n 個圓，最多能將此平面分割成[u] [/u]個區域。[/color][color=green]若將圓分別改成橢圓及三角形，則其結果分別為何?[/color]
[color=black](105臺北市立大理高中 [url=https://math.pro/db/thread-2506-1-5.html]https://math.pro/db/thread-2506-1-5.html[/url])[/color][/size]
[size=3]
thepiano 老師已經在該帖提示了解法與答案，現把這題放在此做個比較。
解: (圓) 考慮增加一個圓時，該圓被分割成的"段數"即平面增加的區域數。而從第2個圓開始，新增圓被分割成的"段數" 等於 "新增的交點數" (與上述各題不同，本題討論的封閉曲線遞推式沒有 "1")。
因此從 "1個圓" 為初始狀態，所求 = [color=#0000ff]2(初始狀態)+交點數[/color] = [color=#ff0000]2+2*C(n,2)[/color]
[color=black][/color]
[color=black]同理，[color=#ff0000][color=#000000]橢圓 = [color=#ff0000]2+4*C(n,2)[color=#000000]，[/color][color=#000000]三角形 = [/color][color=#ff0000]2+6*C(n,2)[/color][/color][/color][/color][/color]
[/size]
[size=3][color=#008000][/color][/size][size=3][color=#008000]* 空間中的 n 個球面，最多能將此空間分割成[/color][u][color=#008000] [/color][/u][color=#008000]個區域。[/color][/size]
[size=3]解: 考慮增加一個[color=black]球面[/color]時，該球面被分割成的"球面區域數"即[color=black]空間[/color]增加的區域數。仿上一題([color=black]平面上 n 個圓[/color])的推論知，從第2個球面開始，新增球面被分割成的"球面區域數" 等於 "2+新增的交點數"。
因此從 "1個球面" 為初始狀態，所求 = [color=#0000ff]2(初始狀態)+2*[color=blue]增加的[/color]球面數+交點數[/color] = [color=#ff0000]2+2(n-1)+2*C(n,3) [color=black]=[/color] 2n+2*C(n,3)[/color]
[color=blue][ 即: 2*球面數+交點數 ][/color] *註: 每3個球面產生2個交點[/size]
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[size=3][/size]
[size=3]# 感謝 bugmens 老師在樓下的肯定。最近拜讀大作，似有感悟，不揣淺陋發文拋磚引玉，希望版上大大們亦不吝分享心得。
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[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2017-1-5 11:52 AM 編輯 [/i]] cefepime這篇文章太棒了，公式很容易就背起來
請教第14題
設\((1+x)^n=C_0^n+C_1^nx+C_2^nx^2+C_3^nx^3+\ldots+C_n^nx^n\)，則\(C_1^n+2^2C_2^n+3^2C_3^n+4^2C_4^n+\ldots+n^2C_n^n=\)[u] [/u]。請問版上老師第14題 用微分的方式要怎樣求出呢?
湊不出來阿!
回復 24# anyway13 的帖子
微分一次後，乘x再微分一次。[[i] 本帖最後由 koeagle 於 2018-9-4 02:58 編輯 [/i]]
回復 25#koeagle 的帖子
謝謝koeagle老師,清楚了 [b]回復 25# koeagle 的帖子[/b][size=3]14. n ∈ N，則 C(n,1) + 2² C(n,2) + 3² C(n,3) + ... + n² C(n,n) = ?[/size]
[size=3][/size]
[size=3]解四:[/size]
[size=3]想法: 為所求式構思一個計數的模型，再利用 double counting ("算兩次") 解之。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求式意義: 今有 n 個人，欲由若干人組隊參加益智問答比賽。該賽事有 2 題，每題限由 1 人回答，答題者可重複 ⇒ 隊伍陣容與答題者的組合數。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所求式是先考慮組隊方式，再考慮答題者。現改為: 先考慮答題者，再由其它人選出答題者的隊友，則方法數為[/size]
[size=3][/size]
[size=3]恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法[/size]
[size=3][/size]
[size=3]= [color=red]n*2ⁿ⁻¹ + n(n-1)*2ⁿ⁻²[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]理論上這個推論過程只適合於 n ≥ 2，故對於 n = 1 應另行說明。[/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]這個方法可以較易地推至更高次方，例如 n ∈ N，求[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue]C(n,1) + 2³ C(n,2) + 3³ C(n,3) + ... + n³ C(n,n)[/color] [/size]
[size=3][/size]
[size=3]= 恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法 + 恰 3 人答題的方法[/size]
[size=3][/size]
[size=3]=[color=blue] n*2ⁿ⁻¹ + 3n(n-1)*2ⁿ⁻² + n(n-1)(n-2)*2ⁿ⁻³[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][/size]
[size=3]當然，大家所熟悉的[/size]
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[size=3]C(n,1) + 2* C(n,2) + 3* C(n,3) + ... + n* C(n,n) = [color=black]n*2ⁿ⁻¹ [/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]也可以用這個想法得出。[/size]
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回復 27# cefepime 的帖子
謝謝cefepime老師，講解得很清楚而且很好記！想請問一下，答3題時的情況，恰2人答題的方法是不是\( n(n-1)*2^{n-2} \)？
還是前面的3倍有其他的意思呢？
[[i] 本帖最後由 koeagle 於 2018-9-5 01:35 編輯 [/i]] [b]回復 28# koeagle 的帖子[/b]
[size=3]在 27# 的方法中，每個題目是相異的。3 個題目，恰 2 人答題時，還要考慮答兩題的人是答哪兩題，故乘上 C(3, 2)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]又如: n ∈ N [/size]
[size=3][/size]
[size=3]C(n,1) + 2⁴ C(n,2) + 3⁴ C(n,3) + ... + n⁴ C(n,n)[/size]
[size=3] [/size]
[size=3]= 恰 1 人答題的方法 + 恰 2 人答題的方法 + 恰 3 人答題的方法 + 恰 4 人答題的方法
[size=3][/size]
[/size][size=3]= n*2ⁿ⁻¹ + [color=blue]7[/color]n(n-1)*2ⁿ⁻² + [color=red]6[/color]n(n-1)(n-2)*2ⁿ⁻³ + n(n-1)(n-2)(n-3)*2ⁿ⁻⁴[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=black]以上:[/color][/size]
[size=3][color=blue][/color][/size]
[size=3][color=blue]7[/color]: 分成 2人 答 2題+2題 與 3題+1題 ⇒ 3 + 4 = 7[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=red]6[/color]: 某2題由同1人回答 ⇒ C(4,2) = 6[/size]
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回復 29# cefepime 的帖子
謝謝cefepime老師的詳細說明。頁:
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