回復 17# 老王 的帖子
這一題的解法實在太精采有趣了，容我將它整理一遍 :[color=DarkRed]題目:
10. N 為自然數, A,B,C,D 為 N 的最小的四個相異正因數, 且滿足 , \( \displaystyle N=A^2+B^2+C^2+D^2 \)[/color][color=DarkRed]，試求 N =_________. 答: 130[/color]
老王的解答 (整理):
首先，可假設 A<B<C<D
則知道 A=1
再來，N一定是偶數 !
因為若 N 是奇數，則 A,B,C,D皆為奇數，
得到 \( \displaystyle N=A^2+B^2+C^2+D^2 \) 為偶數的矛盾。
故 N 是偶數，由此可知 B=2。且C,D不能同時為奇數或同時為偶數，否則 N不是偶數。
接著，很重要的，N 雖然是偶數，卻不是 4 的倍數!
因為 \( \displaystyle N=1^2+2^2+C^2+D^2=5+C^2+D^2 \) 其中
5=4+1 而 C,D中的奇數平方除以4必餘1，C,D中的偶數平方為4的倍數
所以 N 除以4 後餘數為 2，因此 N 不是4的倍數。
由此可知C,D中的偶數成員必型如: 2p = 2x3 或 2x5 或 2x7...等 (2x1已經用過，就是B。2x2是 4，不合)
而奇數成員恰好為p
所以 \( \displaystyle N=1^2+2^2+C^2+D^2=5+C^2+D^2=5+p^2+(2p)^2=5+5p^2=5(1+p^2) \)
又再得到 N是5的倍數，於是真象大白，C,D中的奇數成員(也就是p)等於5，故 \( \displaystyle N=5(1+p^2)=5(1+5^2)=130 \)
(此題 N=130 是唯一解，沒有其他的答案了! )
109.6.16補充
109建功高中國中部也考這題，[url]https://math.pro/db/thread-3348-1-1.html[/url] 謝謝各位老師~
回復 4# 老王 的帖子
不好意思,請教王老師,在計算第3題的圖形中,為什麼要乘1/2呢,有點不解,可否麻煩老師說明一下,謝謝!2 x 1/2 [(2π/3)x17+π/3x(25−17)]=14π
第9題 速解法
[quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2011-7-1 11:13 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3902&ptid=1170][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]9
參考
[url=http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl]http://tw.myblog.yahoo.com/oldbl[/url] ... ext=1940&l=f&fid=30
共有六組，離心率為\( \frac{1}{2} \)，所求為
\(\displaystyle 6\times\frac{4}{\frac{54}{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{3} \) ... [/quote]
[size=4]
本題為大陸考題< 是沒有點 放在 長軸端點上> [/size]
[color=Red]修正 成簡單點 [/color]
[size=4][color=Blue]將 d (F,L)=9 作倒數後,再乘以 12個 點[/color][/size]
1/9 *12 = 4/3
[[i] 本帖最後由 diow 於 2011-8-10 07:13 PM 編輯 [/i]] 這一題的解法實在太精采有趣了，容我將它整理一遍 :
感謝解法的分享,裡頭我有一個觀念想不太通,
為什麼C和D一個如果是2p,為什麼另一個就會是p呢?而不是p+2,p+4或者是其他奇數
謝謝
回復 6# 老王 的帖子
不好意思我想確定一件事……
這題只要給的線是橢圓的準線的話
不管離心率是幾
答案都是一樣的吧？
謝謝
回復 26# johncai 的帖子
其實有點不懂您的意思...準線、方程式、離心率，基本上互相關聯
或者，我這麼理解好了，本題的[color=Red]解法[/color]可以不需要透過離心率的[color=Red]值[/color]，而直接從準線[color=Red]計算，[/color]，也就是 #24 給的速解
至於答案，離心率不同或方程式不同，自然會有不同的答案
回復 25# pizza 的帖子
因為 C 和 D 一個奇數一個偶數第9題解法
利用直線與橢圓的交點解回復 6# 老王 的帖子
老師不好意思 連結好像失效了 想知道這題怎麼解謝謝!! 很好奇離心率是什麼!
[[i] 本帖最後由 subway 於 2014-7-20 04:52 PM 編輯 [/i]]
回復 30# subway 的帖子
原本的連結應該是這一篇 [url=http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122372-%E5%9C%93%E9%8C%90%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E7%84%A6%E5%BC%A6%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA]王的夢田－圓錐曲線焦弦的性質[/url] 的性質2離心率是什麼，可以自行 google
建議不要只是把結果背下來，該做的證明還是練練，證完了之後，它才會變成你的 想請問計算題第1題
試在坐標平面上描繪\( (x-|\;x|\;)^2+(y-|\;y|\;)^2=4 \)的圖形。
從題目所給方程式, x 用 -x 代、y 用 -y 代, 都會得到原方程式, 所以我覺得圖形應該對稱原點, 可是答案給的圖形卻沒有如此, 我想知道我是那裏想錯了...
回復 32# martinofncku 的帖子
\({{\left( x-\left| x \right| \right)}^{2}}\)中的x用-x代入是\({{\left( -x-\left| -x \right| \right)}^{2}}={{\left( -x-\left| x \right| \right)}^{2}}={{\left( x+\left| -x \right| \right)}^{2}}\)不會得到原方程
回復 25# pizza
雖然過超久了，但因為我一開始的問題跟你一樣，留下來給其他人參考先舉個例子：
對N來說，假設C，D之中偶數的因數為\(2\times5\)，則N必有一個奇數的因數也就是5
那這時候有沒有可能有另一個比5小或大的奇數因數在裡面，答案是不可能的，因為大小關係已定
設N還有奇數因數3，則A、B、C、D即為1、2、3、5 (不合)
或設N還有奇數因數7，則A、B、C、D即為1、2、5、7 (不合)
所以只有奇數因數5，則A、B、C、D即為1、2、5、10\(=2\times5\)
所以才有以下假設
對N來說，C，D之中有一偶數\(2\times p\)之因數，則奇數因數即為\(p\)
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