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八神庵 發表於 2011-6-30 20:22

100中壢高中二招

如附件
教甄已近尾聲
筆試功力仍需精進!
各位請享用!

bugmens 發表於 2011-6-30 20:39

1.
f(x)=x4−3x2−6x+13−x4−x2+1 的最大值為？10 
(1992大陸高中數學競賽，95基隆高中，高中數學101修訂版　P237)
[解答]
f(x)=(x2−2)2+(x−3)2−(x2−1)2+(x−0)2 
令P(x2x) 在y2=x上，A(23) ，B(10) 
f(x)=AP−BPAB=10 
即f(x)之最大值為10 


求函數f(x)=x4−3x2+4+x4−3x2−8x+20 的最小值？4
88高中數學能力競賽，95台中高農，96彰師附工，
97文華高中，[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781[/url]
99萬芳高中，[url]https://math.pro/db/thread-969-1-1.html[/url]
99鳳新高中，[url]https://math.pro/db/thread-1492-1-9.html[/url]

這麼多學校考過這兩題，答案你背起來了沒？


8.
△ABC中，a,b,c分別為頂點A,B,C的對邊，若cotCcotA+cotB=99，求c2a2+b2？
(95台中高農)

Let a,b,c be the three sides of a triangle, and let α,β,γ be the angles opposite them. If a2+b2=1989c2, find cotcot+cot
(1989AIME)

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-30 09:14 PM 編輯 [/i]]

mandy 發表於 2011-7-1 20:42

請問第2,3,5,6,9,10題  要怎麼做?

[[i] 本帖最後由 mandy 於 2011-7-1 08:54 PM 編輯 [/i]]

老王 發表於 2011-7-1 22:41

回復 3# mandy 的帖子

2.
有7個城鎮圍成一七邊形,，已知除了DE 外，任兩城鎮間皆恰有一條道路往來。某人從A出發經過每一城鎮一次後回到A，若相同路徑不得重複走, 則此人有[u]　　　[/u]種不同的走法。

[解答]
就是BCDEFG的直線排列，但是DE不能相鄰
6!-2*5!=4*5!=480


3.
在坐標平面上，不等式(3x2−y2)[log2(25−x2−y2)−3]0所表示的區域之面積為[u]　　　[/u]。
[解答]
圖中藍色區域
221[3217+3(25−17)]=14

老王 發表於 2011-7-1 22:55

回復 3# mandy 的帖子

5.
設121n是n次多項方程式xn+xn−1++x+1=0的n個根，試求：11−1+12−1+1n−1=[u]　　　[/u]。
[解答]
令f(x)=xn+xn−1++x+1
f(x)f(x)=1x−1+1x−2++1x−n
所求為
−f(1)f(1)=−n+121n(n+1)=−2n


6.
設R ，試求：(cos−)2+(sin−)2+(cos−+5)2+(sin−+15)2+2+2−24+18+225+2+2−60−20+1000 的最小值為[u]　　　[/u]。
[解答]
視為點 P() 到A(cossin) 、B(5+cos15+sin) 
還有C(12,-9)和D(30,10)的距離和
A在單位圓O上，B在圓M:(x−5)2+(y−15)2=1上，P到圓的最短距離會等於到圓心距離減去半徑，
所以所求可以看成P到O、M、C、D四點距離和的最小值再減2
最小值發生在四邊形OCDM對角線交點
所求為25+1010−2=23+1010 

老王 發表於 2011-7-1 23:13

回復 3# mandy 的帖子

9.
設橢圓曲線：x236+y227=1與直線L：x=12，若A0F的坐標分別為(60)(30) ，在曲線上另有11個點Ak，k=12311 使得∠A0FA1=∠A1FA2==∠A11FA0，令dk為Ak到L的距離，試求11k=01dk= [u]　　　[/u]。
[解答]
參考 圓錐曲線焦弦的性質
[url]http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122372-%E5%9C%93%E9%8C%90%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E7%84%A6%E5%BC%A6%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA[/url]
共有六組，離心率為21，所求為
6465421=34

老王 發表於 2011-7-1 23:18

回復 3# mandy 的帖子

10.
N為自然數，ABCD 為N的最小的四個相異正因數，且滿足N=A2+B2+C2+D2，試求N=[u]　　　[/u]。
[解答]
A=1
若N為奇數，右邊是偶數，不合，故N是偶數
B=2
此時不管C、D如何，平方和不會是4的倍數，所以N不是4的倍數
若C、D皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令C=pD=2p 
N=5+5p^2=5(1+p^2)
故p=5
N=130

JOE 發表於 2011-7-2 09:38

回復 6# 老王 的帖子

請問老王老師

第6題這樣的題目類型，有可能考到三點距離和為最小嗎

關於第9題

網頁中提到性質2可以改為 ：1/PF＋1/QF＝4/K。(K為正焦弦長)

這裡頭不是已經把離心率e用c/a替換了嗎

為什麼最後還需要乘上e=1/2

另外想請問  習題中提到  如何用解析方法證明性質2

感謝老師指導

mandy 發表於 2011-7-2 10:06

感謝以上所有老師 !!

老王 發表於 2011-7-2 11:51

回復 8# JOE 的帖子

因為計算的是1/PF+1/QF，但是此題要的是1/d(P,L)+1/d(Q,L)
也就是P、Q到準線距離的倒數和，而PF=e*d(P,L)，QF=e*d(Q,L)
1/d(P,L)+1/d(Q,L)=e/PF+e/QF
所以還要乘上離心率。
其實只要知道這個性質，那麼就直接用長軸兩頂點來算這定值就很快。

另外，通常作者不想算的東西，會留做習題。
應該就是把方程式寫出來，然後再利用PFQ共線的條件去導出來吧。

thankquestion 發表於 2011-7-3 18:13

想請教8~還是卡住了

另外想問第四題是找規律嗎..有其它作法嗎

[[i] 本帖最後由 thankquestion 於 2011-7-3 09:23 PM 編輯 [/i]]

mandy 發表於 2011-7-3 19:54

5
令 f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1
\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n}

請問以上式子如何來的?

thankquestion 發表於 2011-7-3 20:13

回復 12# mandy 的帖子

f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1=(x-\alpha_1) (x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)


取ln再去微分~

[[i] 本帖最後由 thankquestion 於 2011-7-3 11:09 PM 編輯 [/i]]

thankquestion 發表於 2011-7-3 23:19

回復 11# thankquestion 的帖子

想通了~謝謝不過想問第4題~

arend 發表於 2011-7-4 00:43

請問第七題
我是這樣想
右a,左b, 上c,下d
(a-b , c-d)=(1,2)
a+b+c+d=9
接下來我用分組討論
a+b=9 | 7 | 5 | 3 | 1
a-b= 1 | 1 | 1 | 1 |  1
得
a= 5| 4 | 3 | 2 | 1
b= 4 | 3 | 2 | 1 | 0
c=    | 2 | 3 | 4 | 5
d=    | 0 | 1 | 2 | 3
然後用不盡相異排列
橫排有126+35+10+3+1=175
縱排有56+15+4+1
可是答案是10584

請版上高手提示一下

或是有更快速的解法
謝謝

[[i] 本帖最後由 arend 於 2011-7-5 12:56 AM 編輯 [/i]]

arend 發表於 2011-7-4 01:02

[quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2011-7-1 11:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3903&ptid=1170][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
10
A=1
若N為奇數，右邊是偶數，不合，故N是偶數
B=2
此時不管C、D如何，平方和不會是4的倍數，所以N不是4的倍數
若C、D皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令C=p,D=2p
N=5+5p^2=5(1+p^2)
故p=5
N=130 ... [/quote]

請教王老師
A=1
若N為奇數，右邊是偶數，不合，故N是偶數
為何有邊是偶數?
另外
N=5+5p^2=5(1+p^2)
故p=5?

這兩處看不出來
可否解惑
謝謝

老王 發表於 2011-7-7 21:06

回復 16# arend 的帖子

不失一般性假設A<B<C<D

若N為奇數，那麼他的因數也都是奇數，平方當然還是奇數，
右邊就為四個奇數之和，為偶數。

N=5(1+p^2)
表示N是5的倍數
若N也是3的倍數
C=3,D=5
從上面的討論知道不合
所以p=5(此時C=5)

arend 發表於 2011-7-8 00:41

謝謝王老師

Joy091 發表於 2011-7-8 15:36

回復 15# arend 的帖子

7. 從坐標平面上的原點每次向上, 或向下, 或向左, 或向右跳ㄧ次(每次跳一個單位長), 經跳9次後,
跳到坐標 (1,2) 有__________種跳法.  答: 10584

參考解法:

最後跳到坐標 (1,2) 就是代表除了 ' 右上上 ' 之外，其餘6次必須上下左右互相抵消
將這6次分類如下:

左左左右右右   右上上
有 9! /2!3!4! =1260 種

上下左左右右   右上上
有 9! /3!2!3! =5040 種

上上下下左右   右上上
有 9! /4!2!2! =3780 種

上上上下下下   右上上
有 9! /5!3! =504 種

所以共有 1260+5040+3780+504=10584 種

Joy091 發表於 2011-7-8 16:14

回復 14# thankquestion 的帖子

4. 數列 \displaystyle <a_n> ,  a_1=1,a_2=\frac{1}{3},  若  \displaystyle a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}=2a_na_{n+2} ,  求  \displaystyle a_n= ?  答:  \displaystyle \frac{1}{2n-1}

參考解法:

等式兩邊同除以 \displaystyle a_na_{n+1}a_{n+2}  之後，就可以看出數列  \displaystyle <\frac{1}{a_n}>   是一個等差數列

\displaystyle \frac{a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}}{a_na_{n+1}a_{n+2}}=\frac{2a_na_{n+2}}{a_na_{n+1}a_{n+2}}

\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}+\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n+1}}

又因為  \displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{3},  所以數列  \displaystyle <\frac{1}{a_n}>   是一個公差為 2 的等差數列，即1,3,5,7,9...

故  \displaystyle <a_n>=1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{9},...

[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-7-8 05:32 PM 編輯 [/i]]

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