100中壢高中二招
如附件教甄已近尾聲
筆試功力仍需精進!
各位請享用! 1.
\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1} \)的最大值為？\( \sqrt{10} \)
(1992大陸高中數學競賽，95基隆高中，高中數學101修訂版 P237)
[解答]
\( f(x)=\sqrt{(x^2-2)^2+(x-3)^2}-\sqrt{(x^2-1)^2+(x-0)^2} \)
令\( P(x^2,x) \)在\( y^2=x \)上，\( A(2,3) \)，\( B(1,0) \)
\( f(x)=\overline{AP}-\overline{BP}\le \overline{AB}=\sqrt{10} \)
即\( f(x) \)之最大值為\( \sqrt{10} \)
求函數\( f(x)=\sqrt{x^4-3x^2+4}+\sqrt{x^4-3x^2-8x+20} \)的最小值？4
88高中數學能力競賽，95台中高農，96彰師附工，
97文華高中，[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47781[/url]
99萬芳高中，[url]https://math.pro/db/thread-969-1-1.html[/url]
99鳳新高中，[url]https://math.pro/db/thread-1492-1-9.html[/url]
這麼多學校考過這兩題，答案你背起來了沒？
8.
△ABC中，a,b,c分別為頂點A,B,C的對邊，若\( \displaystyle \frac{cotC}{cotA+cotB}=99 \)，求\( \displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2} \)？
(95台中高農)
Let a,b,c be the three sides of a triangle, and let α,β,γ be the angles opposite them. If \( a^2+b^2=1989c^2 \), find \( \displaystyle \frac{cot \gamma}{cot \alpha+cot \beta} \)
(1989AIME)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-30 09:14 PM 編輯 [/i]] 請問第2,3,5,6,9,10題 要怎麼做?
[[i] 本帖最後由 mandy 於 2011-7-1 08:54 PM 編輯 [/i]]
回復 3# mandy 的帖子
2.有7個城鎮圍成一七邊形,，已知除了\( D,E \)外，任兩城鎮間皆恰有一條道路往來。某人從\(A\)出發經過每一城鎮一次後回到\(A\)，若相同路徑不得重複走, 則此人有[u] [/u]種不同的走法。
[解答]
就是BCDEFG的直線排列，但是DE不能相鄰
6!-2*5!=4*5!=480
3.
在坐標平面上，不等式\( (3x^2-y^2)[log_2 (25-x^2-y^2)-3]\ge 0 \)所表示的區域之面積為[u] [/u]。
[解答]
圖中藍色區域
\(\displaystyle 2\times\frac{1}{2}[\frac{2\pi}{3}\times17+\frac{\pi}{3}(25-17)]=14\pi \)
回復 3# mandy 的帖子
5.設\( \alpha_1,\alpha_2 \ldots \alpha_1n \)是\(n\)次多項方程式\( x^n+x^{n-1}+\ldots+x+1=0 \)的\(n\)個根，試求：\( \displaystyle \frac{1}{\alpha_1-1}+\frac{1}{\alpha_2-1}+\frac{1}{\alpha_n-1}= \)[u] [/u]。
[解答]
令\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1 \)
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n} \)
所求為
\(\displaystyle -\frac{f'(1)}{f(1)}=-\frac{\frac{1}{2}n(n+1)}{n+1}=-\frac{n}{2} \)
6.
設\( \alpha,\beta,\gamma,\theta \in R \)，試求：\( \sqrt{(cos \theta-\alpha)^2+(sin \theta-\beta)^2}+\sqrt{(cos \gamma-\alpha+5)^2+(sin \gamma-\beta+15)^2}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-24\alpha+18\beta+225}+\sqrt{\alpha^2+\beta^2-60\alpha-20\beta+1000} \)的最小值為[u] [/u]。
[解答]
視為點 \( P(\alpha,\beta) \)到\( A(\cos\theta,\sin\theta) \)、\( B(5+\cos\gamma,15+\sin\gamma) \)
還有C(12,-9)和D(30,10)的距離和
A在單位圓O上，B在圓\( M : (x-5)^2+(y-15)^2=1 \)上，P到圓的最短距離會等於到圓心距離減去半徑，
所以所求可以看成P到O、M、C、D四點距離和的最小值再減2
最小值發生在四邊形OCDM對角線交點
所求為\( 25+10\sqrt{10}-2=23+10\sqrt{10} \)
回復 3# mandy 的帖子
9.設橢圓曲線\( \Gamma \)：\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1 \)與直線\(L\)：\( x=12 \)，若\( A_0,F \)的坐標分別為\( (6,0),(3,0) \)，在曲線\( \Gamma \)上另有11個點\(A_k\)，\( k=1,2,3,\ldots,11 \)使得\(∠A_0FA_1=∠A_1FA_2=\ldots=∠A_{11}FA_0\)，令\( d_k \)為\( A_k \)到\(L\)的距離，試求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{11}\frac{1}{d_k}= \)[u] [/u]。
[解答]
參考 圓錐曲線焦弦的性質
[url]http://lyingheart6174.pixnet.net/blog/post/5122372-%E5%9C%93%E9%8C%90%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E7%84%A6%E5%BC%A6%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA[/url]
共有六組，離心率為\( \frac{1}{2} \)，所求為
\(\displaystyle 6\times\frac{4}{\frac{54}{6}}\times\frac{1}{2}=\frac{4}{3} \)
回復 3# mandy 的帖子
10.\( N \)為自然數，\( A,B,C,D \)為\(N\)的最小的四個相異正因數，且滿足\( N=A^2+B^2+C^2+D^2 \)，試求\( N= \)[u] [/u]。
[解答]
\(A=1\)
若\(N\)為奇數，右邊是偶數，不合，故\(N\)是偶數
\(B=2\)
此時不管\(C、D\)如何，平方和不會是4的倍數，所以\(N\)不是4的倍數
若\(C、D\)皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令\(C=p,D=2p\)
\(N=5+5p^2=5(1+p^2)\)
故\(p=5\)
\(N=130\)
回復 6# 老王 的帖子
請問老王老師第6題這樣的題目類型，有可能考到三點距離和為最小嗎
關於第9題
網頁中提到性質2可以改為 ：1/PF＋1/QF＝4/K。(K為正焦弦長)
這裡頭不是已經把離心率e用c/a替換了嗎
為什麼最後還需要乘上e=1/2
另外想請問 習題中提到 如何用解析方法證明性質2
感謝老師指導 感謝以上所有老師 !!
回復 8# JOE 的帖子
因為計算的是1/PF+1/QF，但是此題要的是1/d(P,L)+1/d(Q,L)也就是P、Q到準線距離的倒數和，而PF=e*d(P,L)，QF=e*d(Q,L)
1/d(P,L)+1/d(Q,L)=e/PF+e/QF
所以還要乘上離心率。
其實只要知道這個性質，那麼就直接用長軸兩頂點來算這定值就很快。
另外，通常作者不想算的東西，會留做習題。
應該就是把方程式寫出來，然後再利用PFQ共線的條件去導出來吧。 想請教8~還是卡住了
另外想問第四題是找規律嗎..有其它作法嗎
[[i] 本帖最後由 thankquestion 於 2011-7-3 09:23 PM 編輯 [/i]] 5
令\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1 \)
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-\alpha_1}+\frac{1}{x-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{x-\alpha_n} \)
請問以上式子如何來的?
回復 12# mandy 的帖子
\( f(x)=x^n+x^{n-1}+\cdots+x+1=(x-\alpha_1) (x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)\)取ln再去微分~
[[i] 本帖最後由 thankquestion 於 2011-7-3 11:09 PM 編輯 [/i]]
回復 11# thankquestion 的帖子
想通了~謝謝不過想問第4題~ 請問第七題我是這樣想
右a,左b, 上c,下d
(a-b , c-d)=(1,2)
a+b+c+d=9
接下來我用分組討論
a+b=9 | 7 | 5 | 3 | 1
a-b= 1 | 1 | 1 | 1 | 1
得
a= 5| 4 | 3 | 2 | 1
b= 4 | 3 | 2 | 1 | 0
c= | 2 | 3 | 4 | 5
d= | 0 | 1 | 2 | 3
然後用不盡相異排列
橫排有126+35+10+3+1=175
縱排有56+15+4+1
可是答案是10584
請版上高手提示一下
或是有更快速的解法
謝謝
[[i] 本帖最後由 arend 於 2011-7-5 12:56 AM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2011-7-1 11:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3903&ptid=1170][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
10
A=1
若N為奇數，右邊是偶數，不合，故N是偶數
B=2
此時不管C、D如何，平方和不會是4的倍數，所以N不是4的倍數
若C、D皆為奇數，右邊為奇數，不合
故令C=p,D=2p
N=5+5p^2=5(1+p^2)
故p=5
N=130 ... [/quote]
請教王老師
A=1
若N為奇數，右邊是偶數，不合，故N是偶數
為何有邊是偶數?
另外
N=5+5p^2=5(1+p^2)
故p=5?
這兩處看不出來
可否解惑
謝謝
回復 16# arend 的帖子
不失一般性假設A<B<C<D若N為奇數，那麼他的因數也都是奇數，平方當然還是奇數，
右邊就為四個奇數之和，為偶數。
N=5(1+p^2)
表示N是5的倍數
若N也是3的倍數
C=3,D=5
從上面的討論知道不合
所以p=5(此時C=5) 謝謝王老師
回復 15# arend 的帖子
7. 從坐標平面上的原點每次向上, 或向下, 或向左, 或向右跳ㄧ次(每次跳一個單位長), 經跳9次後,跳到坐標 (1,2) 有__________種跳法. 答: 10584
參考解法:
最後跳到坐標 (1,2) 就是代表除了 ' 右上上 ' 之外，其餘6次必須上下左右互相抵消
將這6次分類如下:
左左左右右右 右上上
有 9! /2!3!4! =1260 種
上下左左右右 右上上
有 9! /3!2!3! =5040 種
上上下下左右 右上上
有 9! /4!2!2! =3780 種
上上上下下下 右上上
有 9! /5!3! =504 種
所以共有 1260+5040+3780+504=10584 種
回復 14# thankquestion 的帖子
4. 數列 \(\displaystyle <a_n> , a_1=1,a_2=\frac{1}{3}\), 若 \(\displaystyle a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}=2a_na_{n+2}\) , 求 \(\displaystyle a_n= ?\) 答: \(\displaystyle \frac{1}{2n-1} \)參考解法:
等式兩邊同除以 \(\displaystyle a_na_{n+1}a_{n+2}\) 之後，就可以看出數列 \(\displaystyle <\frac{1}{a_n}> \) 是一個等差數列
\(\displaystyle \frac{a_na_{n+1}+a_{n+1}a_{n+2}}{a_na_{n+1}a_{n+2}}=\frac{2a_na_{n+2}}{a_na_{n+1}a_{n+2}}\)
\(\displaystyle \frac{1}{a_{n+2}}+\frac{1}{a_n}=\frac{2}{a_{n+1}}\)
又因為 \(\displaystyle a_1=1,a_2=\frac{1}{3}\), 所以數列 \(\displaystyle <\frac{1}{a_n}> \) 是一個公差為 2 的等差數列，即1,3,5,7,9...
故 \(\displaystyle <a_n>=1,\frac{1}{3},\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{9},...\)
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-7-8 05:32 PM 編輯 [/i]]
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