100台北市中正高中二招
題目請見附件 4.已知\( n \in N \)，設方程式\( x^2+(\frac{1}{2}n+1)x+(n^2-2)=0 \)的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)，則\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+2)(\beta_3+2)}+\frac{1}{(\alpha_4+2)(\beta_4+2)}+....+\frac{1}{(\alpha_{2011}+2)(\beta_{2011}+2)} \)？
對自然數n，作x的二次方程\( x^2+(2n+1)x+n^2=0 \)。設它的兩根為\( \alpha_n \)，\( \beta_n \)求\( \displaystyle \frac{1}{(\alpha_3+1)(\beta_3+1)}+\frac{1}{(\alpha_4+1)(\beta_4+1)}+...+\frac{1}{(\alpha_{20}+1)(\beta_{20}+1)} \)的值？
(初中數學競賽教程 P40，高中數學101 P32)
8.
數列\( \langle\; a_n \rangle\; \)中，\( \displaystyle a_1=6 \)，且\( a_n-a_{n-1}=\frac{a_{n-1}}{n}+n+1 \)( \( n \in N \)，\( n \ge 2 \) )，則這個數列的一般項\( a_n \)為？
[提示]
\( \displaystyle a_n-\frac{n+1}{n}a_{n-1}=n+1 \)
同除\( n+1 \)
10.
令\( \displaystyle s=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{10000}} \)，若\( \displaystyle n \le \frac{s}{10}<n+1 \)，其中n為自然數，則n=？
[url=https://math.pro/db/thread-156-1-1.html]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url]
11.設\( n=2012 \)，則\( \displaystyle \frac{1}{2^n}(1-3C_2^n+3^2 C_4^n-3^3 C_6^n+...-3^{1005}C_{2010}^n+3^{1006}C_{2012}^n)= \)？
求\( \displaystyle \frac{1}{2^{100}}(3^{50}-3^{49}C_2^{100}+3^{48}C_4^{100}-3^{47}C_6^{100}+...-3C_{98}^{100}+C_{100}^{100}) \)的值為？
(99桃園農工)
二、計算證明題
兩同心圓的圓心O，過小圓上一定點P，作小圓的弦\( \overline{PA} \)，大圓的弦\( \overline{BC} \)，使\( \overline{PA}⊥\overline{BC} \)於P。
求證：\( \overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CA}^2 \)為定值。
類似題
在一半徑為r的圓內取一點P，此點P與圓心O的距離為a。設\( \overline{AB} \)及\( \overline{CD} \)為分別過P點互相垂直的兩弦。
試證\( \overline{AB}^2+\overline{CD}^2 \)為一定值，並將此定值以r和a表示。
(89高中數學能力競賽 台中區複賽筆試二試題，[url=http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2001_Taiwan_High_Taichung_02.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... igh_Taichung_02.pdf[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-7-3 06:16 PM 編輯 [/i]] 我想問填充1.，計算2，計算3，謝謝。
填充一
整理後得a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ab
by 餘弦定理
cos C=-frac{1}{2}
所以角C=120度 老師您好，請問計算題第四題的第二小題要怎麼做呢??謝謝您。 計算二 [quote]原帖由 [i]bluewing[/i] 於 2011-6-30 08:55 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3889&ptid=1169][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
老師您好，請問計算題第四題的第二小題要怎麼做呢??謝謝您。 [/quote]
以下度省略
利用(1)及Jensen不等式(cot在0~45之間的凹凸性)
cot(A/2)+cot(45-A/2) >= 2cot22.5=2(sqrt(2)+1) [quote]原帖由 [i]RainIced[/i] 於 2011-6-30 07:01 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3885&ptid=1169][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我想問填充1.，計算2，計算3，謝謝。 [/quote]
計算2老王已解
計算3題目似乎有誤？
－－－－－－－－－－
猜測原題應是證
C(2n,0)*3^n+C(2n,2)*3^(n-1)+...+C(2n.2k)*3^(n-k)+...+C(2n,2n)是2^n的倍數
這樣應該就不難了
[[i] 本帖最後由 Fermat 於 2011-6-30 11:11 PM 編輯 [/i]]
回復 6# 老王 的帖子
倒數第三行應該是4r^2-2PE^2+2R^2-2OE^2回復 6# 老王 的帖子
[color=red]驚!!!我看錯題目了!!!!![/color]
繼續
\(\displaystyle AB^2+AC^2+BC^2=PA^2+PB^2+PA^2+PC^2+PB^2+2PB \times PC+PC^2 \)
\(\displaystyle =2(2r^2+2R^2)+2(R^2-r^2)=6R^2+2r^2 \)
為定值
[[i] 本帖最後由 老王 於 2011-7-1 12:25 PM 編輯 [/i]]
計算第四題，請參考
計算第四題，請參考，不知道有沒有錯誤。 請問填充7,8,12麻煩高手們解惑
感謝
[[i] 本帖最後由 money 於 2011-7-7 03:16 PM 編輯 [/i]]
回復 12# money 的帖子
第七題:由托勒密定理知:AC*BD=AB*CD+BC*AD又正九邊形:BD=AC,AB=BC
原式=AC*BD-BC*AD
=AB*CD+BC*AD-BC*AD=10*10=100
第八題:移項可得:a_n=(n+1/n)a_(n-1)+(n+1)
左右同除n+1得:a_n/n+1=a_(n-1)/n+1
令b_n=a_n/n+1得:b_n=b(n-1)+1
b_n為一等差數列,b1=6/2=3,可得bn,則可得an
第十二題:[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2590]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2590[/url]
[[i] 本帖最後由 JOE 於 2011-7-7 08:00 PM 編輯 [/i]]
回復 13# JOE 的帖子
解決心中的疑惑感謝您
想請教第6題
請問的算式的由來 我想了很久填充第 6 題
P(2010，1340) = 2010! / 670!
2010! = 2^a * 3^b * ......
670! = 2^c * 3^d * ......
所求 = b - d
因 2010 / 3 = 670 ???
故 b - d = 670 [quote]原帖由 [i]WAYNE10000[/i] 於 2012-4-17 08:28 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5137&ptid=1169][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問的算式的由來 我想了很久
填充第 6 題
P(2010，1340) = 2010! / 670!
2010! = 2^a * 3^b * ......
670! = 2^c * 3^d * ......
所求 = b - d
因 2010 / 3 = 670 ???
故 b - d = 670 ... [/quote]
分子:
2010!中3共有
[2010/3]+[2010/3^2]+[2010/3^3]+[2010/3^4]+[2010/3^5]+[2010/3^6]
=[670]+[670/3]+[670/3^2]+[670/3^3]+[670/3^4]+[670/3^5] 個---------(1)
分母:
670!中3共有
[670/3]+[670/3^2]+[670/3^3]+[670/3^4]+[670/3^5] 個---------(2)
所求的k為 (1)-(2)
可知k=[670]=670
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2012-4-17 10:14 PM 編輯 [/i]]
請教計算一
想請教計算一懇請賜教~~謝謝 [quote]原帖由 [i]WAYNE10000[/i] 於 2012-4-21 01:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5161&ptid=1169][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教計算一
懇請賜教~~謝謝 [/quote]
全部檢查起來
Log7應改為2b+c
Log(1.5)應改為3a-b+c-1
回復 17# WAYNE10000 的帖子
想請教填充第二題如何算,謝謝回復 19# echofuk 的帖子
先思考一下： \(a = x^2(1-x)\) 為正整數，可知 \(x\) 的整數根為負數，且 \(x\) 得這個負數的整數根～負越多時， \(a\) 越大。
因此，
\(a = x^2-x^3 \geq -x^3\)
\(\Rightarrow x\geq -\sqrt[3]{a} \geq - \sqrt[3]{200} > -6\)
當 \(x=-5\) 時， \(a=150\) 為最大可能值。
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