100麗山高中第二次
題目和答案請見附件 1.空間坐標中，光源自點\( P(-1,0,4) \)發出，球\( S：x^2+y^2+(z-1)^2=1 \)在xy平面上的影子形成一個橢圓，則此橢圓的短軸長為？
空間中一球面S:x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2，由點A(0,4,4)置一光源照射球面。 求球面S在xy平面上的影子輪廓的方程式
(98國立臺中一中期中考試題)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=206&page=2#pid2946[/url]
5.
設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，求\( \displaystyle \sum_{n=1}^{99}a_n \)？
設\( \displaystyle a_n=\frac{1}{(n+1)\sqrt{n}+n \sqrt{n+1}} \)，試求\( a_1+a_2+...+a_{99}= \)？
(97台中高工)
\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1) \sqrt{n+2}+(n+2) \sqrt{n+1}}= \)？
(1)\( \frac{\sqrt{2}}{2} \) (2)1 (3)\( 2 \sqrt{2} \) (4)2
(98桃園縣國中聯招)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-26 08:12 AM 編輯 [/i]]
想請教第1題的部份
[quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2011-6-26 08:06 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3816&ptid=1164][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]1.
空間坐標中，光源自點\( P(-1,0,4) \)發出，球\( S：x^2+y^2+(z-1)^2=1 \)在xy平面上的影子形成一個橢圓，則此橢圓的短軸長為？
空間中一球面S:x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2，由點A(0,4,4)置一光源照射球面。 求球面S在xy平面上的 ... [/quote]
[i]bugmens[/i] 您好~
請問您檔案中最後一步...
相似形的那裡不太懂@@
為什麼光源(0,4,4) 球心(0,2,2)
但您相似三角形那個部分長度寫2呢
不是(2根號2)嗎
想不通@@
感謝您指點!! 你可以注意到座標軸只有出現x軸和z軸，y軸是伸出螢幕的
相似三角形那部份其實是把全部的圖形都投影到XZ平面上
此時光源可視為(0,0,4)，球心視為(0,0,2)故兩點距離2
當初製作時忽略到這細節的部份，希望這樣的解釋能讓你了解
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-26 02:26 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2011-6-26 02:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3821&ptid=1164][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
你可以注意到座標軸只有出現x軸和z軸，y軸是伸出螢幕的
相似三角形那部份其實是把全部的圖形都投影到XZ平面上
此時光源可視為(0,0,4)，球心視為(0,0,2)故兩點距離2
當初製作時忽略到這細節的部份，希望這樣的解釋能讓你了 ... [/quote]
原來是這樣~
懂了!
謝謝您!! 第一題
弄懂bugmens老師的解法
還有解題過程中投影的想法再去找資料
有找到另一種解答
不過有很多記號
將定點\(P\)往球\(S\)投影的情形看成圓錐面\(\Omega\)
\(\Omega\)與球\(S\)的切圓記為圓\(C\)
包含圓C的平面記為\(E_1\)
將\(xy\)平面記為\(E_2\)
則題目中提到的投影形狀，就是平面\(E_2\)截圓錐面\(\Omega\)所得的橢圓\(\Gamma\)
令圓錐\(\Omega\)的頂角為\(\theta\)，\(E_1\)與\(E_2\)所夾兩面角為\(\phi\)
由離心率的定義可得
\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sin\phi}{\cos\theta}\)
以上是對一般平面截圓錐所得的橢圓都成立的。
針對這個題目
光源\( P(-1,0,4) \)和球心\( O(0,0,1) \)剛好都在\(xz\)平面上
把整個圖形投影到\(xz\)平面(附件圖)
頂角\(\theta\)和兩面角\(\phi\)都標記在上面
\(\sin\phi\)即\( \overrightarrow{PO}\)和\(\overrightarrow{OH}\)夾角餘弦值，得\(\frac{1}{\sqrt{10}}\)
\(\cos\theta\)則利用\( \overrightarrow{PO}\)和\(\overrightarrow{PF}\)去計算，得\(\frac{3}{\sqrt{10}}\)
所以離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sin\phi}{\cos\theta}=\frac{1}{3}\)
計算切線\(\overleftrightarrow{PE}: z=-\frac{4}{3} x+\frac{8}{3}\)
可得\(2a=\overline{EF}=3\)，\(a=\frac{3}{2}\)，由\(e=\frac{1}{3}\)得\(c=\frac{1}{2}\)
最後\(b^2=a^2-c^2\)，\(b=\sqrt{2}\)，短軸長\(2\sqrt{2}\)
[[i] 本帖最後由 fortheone 於 2012-2-19 01:26 PM 編輯 [/i]]
想請問填充第2，3，4 題
想請問填充第2，3，4 題，以及計算題的題目，謝謝。 填充2.有一撞球臺如右圖所示，曲線部分Γ是一個拋物線，若\( \overline{AB} \)與Γ的軸垂直，\(\overline{AB}=20\)，今[u]小明[/u]自\(P\)處將球平行Γ之軸向\(Q\)，經反彈到\(R\)，最後再反彈到\(S\)，若\(\overline{AP}=2\)，\(\overline{BS}=8\)，則拋物線Γ的焦距為[u] [/u]。
[解答]
不妨設坐標, 原點在頂點, \(x\) 軸在對稱軸上, 拋物線開口向右
拋物線方程式可設為 \(y^2=4cx\), 焦點 \( (c,0)\).
又 \(\overline{AB} =20\), \(\overline{AP}=2\), \(\overline{BS}=8\), 故 \(P\), \(Q\) 兩點的 \(y\) 坐標為 \(8\); \(R\), \(S\) 兩點的 \(y\) 坐標為 \(-2\).
由光學性質可知, \(\overline{PQ}\) 通過焦點, 可設直線方程式為 \(y=m(x-c)\)
將 \(y^2=4cx\) 與 \(y=m(x-c)\) 聯立消去 \(x\), 可得 \( y^2 -\frac{4c}{m}y -4c^2 =0\)
且此方程式兩根為 \(8\) 與 \( -2\)
故兩根之積 \( -16 = -4c^2\), 可得 \(c=2\).
填充3.
函數\(f(x)=(sinx+cosx)^3+(sinx+cosx)^2-(sinx+cosx)+2\)的最大值為\(M\)，最小值為\(m\)，則數對\((M,m)-\)[u] [/u]。
[解答]
設 \(t=\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x+45^\circ) \), 故 \( -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}\).
令 \(g(t) = t^3 + t^2 - t +2 \),
可利用微分找出 \( g(t) \) 在 \([-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\) 之間的最大最小值.
填充4.
求：\( \displaystyle 1 \times \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right) \)
\( \displaystyle +3 \times \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right) \)
\( \displaystyle +5\times \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+\ldots+ \)
\( \displaystyle +197 \times \left(\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)+199 \times \frac{1}{100} \)的值為[u] [/u]。
其他類題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9317[/url]
[解答]
原式重新整理可得
\( \displaystyle \frac{1}{1} + \frac{1+3}{2} + \frac{1+3+5}{3} + \frac{1+3+5+7}{4} + \cdots + \frac{1+3+\cdots+199}{100}\)
\(\displaystyle =\frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{2} +\frac{3^2}{3} + \cdots + \frac{100^2}{100}\)
\(=1+ 2+ 3+ \cdots + 100=5050\)
回復 8# scale 的帖子
利用微分算出最大值為1，但解答的最大值為\(4+\sqrt{2}\)，不知是哪裡有問題? 請指教 [quote]原帖由 [i]Jacob[/i] 於 2012-5-23 01:15 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5709&ptid=1164][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]利用微分算出最大值為1，但解答的最大值為4+根號2，不知是哪裡有問題? 請指教 [/quote]
g'(t)=0 ,所解出的t=-1,1/3 ,這些代入g(t)後只能求出極大值,極小值
要算最大值還要將端點值(t=-2^0.5,t=2^0.5)代入g(t)
當t=2^0.5時,g(t)有最大值4+2^0.5
回復 10# Ellipse 的帖子
謝謝橢圓兄的指導，我以後解題會更注意。回復 1# bugmens 的帖子
請教第6題，感謝。如右圖，長方形紙\(ABCD\)，\(\overline{AB}=4\)，\(\overline{AD}=3\)，沿著對角線\(\overline{BD}\)摺起，使\(A\)點在平面\(BCD\)上之投影恰落在\(\overline{CD}\)邊上，求此時四面體\(ABCD\)的體積為[u] [/u]。
回復 12# mathca 的帖子
第 6 題參考 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=6394#p6468[/url]
回復 13# thepiano 的帖子
再請教 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=6394#p6468[/url]AC=根號7 是如何得到的？ 前面三垂線的部份有觀察到，但是 AC 看不出如何算，感謝。
回復 14# mathca 的帖子
摺起後的 △ABC 是直角三角形，AC 是一股回復 15# thepiano 的帖子
感謝，光一直看圖形，後來才看到原本ABCD是長方形，難怪覺得少一個長度不能算(BC=3)頁:
[1]