100全國高中聯招
題目請見附件 6.設\(x,y\)為實數，且滿足\( x^2+xy+y^2=6 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為M，最小值為m，試求M+m=？
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
\( x,y \in R \)，若\( x^2+xy+y^2=1 \)，則\( x^2+y^2 \)之最大值？\( x^2+y^2 \)之最小值？
(高中數學101 P69)
7.
若\( n=1+2 \cdot 2!+3 \cdot 3!+...+50 \cdot 50! \)則n除以50的餘數為
(A) 13 (B) 23 (C) 29 (D) 49
試求\( 1! \times 1+2! \times 2+...+90! \times 90+91! \times 91 \)除以2002之餘數？
(200TRML個人賽)
2.
化簡\( \displaystyle cos \frac{6 \pi}{7}-cos \frac{5 \pi}{7}+cos \frac{4 \pi}{7} \)的值為？
\( \displaystyle cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2 \pi}{7}+cos \frac{3 \pi}{7} \)
(100松山工農，[url]https://math.pro/db/thread-1137-1-1.html[/url]
IMO 1963，[url]http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1963[/url])
112.7.27補充
求\(\displaystyle sin\frac{2\pi}{7}+sin\frac{4\pi}{7}-sin\frac{\pi}{7}=\)[u] [/u]。
(112東石高中，[url]https://math.pro/db/thread-3778-1-1.html[/url])
3.
設\( f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)，試求\( f(x^6) \)除以\( f(x) \)所得的餘式為？
設多項式\( f(x)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1 \)，則\( f(x^{12}) \)除以\( f(x) \)所得到的餘式為何？
(94台南縣國中聯招，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1770[/url])
2011.6.29補充
設\( f(x)=x^{2005}+x^{2004}+...+x+1 \)，試求\( f(x^{2006}) \)除以f(x)所得的餘式？
(94高中數學能力競賽 南區(高雄區) 筆試一試題，
104.5.2補充
設多項式\( f(x)=x^{2015}+x^{2014}+\ldots+x+1 \)，則試求\( f(x^{2016}) \)除以\( f(x) \)所得的餘式為。
(104桃園高中，[url]https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html[/url])
4.
設\( f(x)=x^3+2x^2-3x-1 \)，\( g(x)=x^4+3x^3-x^2-5x+2 \)，且α,βγ為\( f(x)=0 \)之三根。試求\( g(\alpha) \cdot g(\beta) \cdot g(\gamma) \)之值？
(96師大附中，
98中崙高中，[url]https://math.pro/db/thread-807-1-1.html[/url])
8.
若\( \displaystyle \frac{3}{4}\le x \le 2 \)且\( f(x)=\sqrt{2-x}+\sqrt{4x-3} \)，則當x=？時\( f(x) \)有最大值為多少？
\( y=\sqrt{3-x}+\sqrt{5x-4} \)求最大值和最小值？
(埔里高工，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=25127[/url]
97南一中，連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47375[/url])
求函數\( f(x)=\sqrt{x-3}+\sqrt{12-3x} \)的值域？
(98南港高工，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=420[/url])
另外找一題三個根號的讓各位算看看
求函數\( y=\sqrt{x+27}+\sqrt{13-x}+\sqrt{x} \)的最大和最小值？
(2009大陸高中數學競賽)
104.4.12補充
設\( \displaystyle \frac{7}{3}\le x \le \frac{9}{2} \)，\( f(x)=\sqrt{3x-7}+2\sqrt{9-2x} \)，則\( f(x) \)最大值為。
(104台中女中，[url]https://math.pro/db/thread-2208-1-1.html[/url])
請教填充5,選擇8 謝謝
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=6395#p6395[/url]回復 1# bugmens 的帖子
請問填充9,我知道是考柯西等式成立時之條件,但是仍算不出來,請老師們指點 請教版上先進
選擇
第8與9
綜合
第5與7
謝謝 選擇8 可以參考老王老師那邊的漂亮解法
選擇9
已知\(\Delta ABC\)中，\(\angle C\)為直角，\(\overline{BC}\)上有一點\(D\)，使得\(\angle CAD=2\angle DAB\)，若\(\displaystyle \frac{\overline{AC}}{\overline{AD}}=\frac{4}{5}\)，則\(\displaystyle \frac{\overline{CD}}{\overline{BD}}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{27}{25}\) (B)\(\displaystyle \frac{5}{9}\) (C)\(\displaystyle \frac{19}{17}\) (D)\(\displaystyle \frac{2}{3}\)
[解答]
利用tan 的和角公式就可以了
或者利用座標化搭配和角公式硬求
\(\displaystyle tan\angle CAD=\frac{3}{4}=\frac{2tan\angle BAD}{1-tan^2 \angle BAD}\)
可得\(\displaystyle tan\angle BAD=\frac{1}{3}\)
又\(\displaystyle tan\angle BAC=tan3\angle BAD=\frac{3tan\angle BAD-tan^3 \angle BAD}{1-3tan^2 \angle BAD}\)
可知\(\displaystyle tan\angle BAC=\frac{13}{9}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}}\)
這樣就可以得到結果 綜合7
\(\alpha,\beta\)為兩複數，滿足\(\beta^2-2\alpha \beta+4\alpha^2=0\)，且\(|\;\alpha-\beta|\;=2\sqrt{3}\)，若\(\alpha,\beta\)在複數平面上所代表的點為\(A,B\)，而\(O\)是複數平面的原點，則\(\Delta OAB\)的面積為[u] [/u]。
[提示]
先去算 \( \alpha 與 \beta \)的長度關係 與 夾角
然後利用 \(|\alpha - \beta |=2 \sqrt{3}可知道 \alpha 與 \beta 的距離\)
利用這兩點 可以得到 \( | \alpha |\) 就可以算面積 想請教一下選擇第10題
總覺得算的出來，但卡住了~
麻煩幫忙解答，謝謝! 選擇10.
若\(\displaystyle \omega=cos40^{\circ}+isin40^{\circ}\)其中\(i=\sqrt{-1}\)，則\(|\;\omega+2\omega^2+3\omega^3+\ldots+9\omega^3|\;^{-1}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{9}sin40^{\circ}\) (B)\(\displaystyle \frac{2}{9}sin20^{\circ}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{9}cos40^{\circ}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{18}cos20^{\circ}\)
[解答]
\(S=w+2w^2+3w^3+.....+9w^9\)
\(wS= w^2+2w^3+.....+8w^9+9w^{10}\)
相減
\((1-w)S=w+w^2+w^3+.....+w^9-9w^{10}\)
剩下取絕對值化簡就可以做出來了 抱歉~
到這邊小弟都做的出來~
但是怎麼樣取絕對值化簡?
可否詳細解答一下，謝謝! 選擇10.
若\(\displaystyle \omega=cos40^{\circ}+isin40^{\circ}\)其中\(i=\sqrt{-1}\)，則\(|\;\omega+2\omega^2+3\omega^3+\ldots+9\omega^3|\;^{-1}=\)
(A)\(\displaystyle \frac{1}{9}sin40^{\circ}\) (B)\(\displaystyle \frac{2}{9}sin20^{\circ}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{9}cos40^{\circ}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{18}cos20^{\circ}\)
[解答]
w^9=1=>1+w+w^2+....+w^8=0
上面等於w+w^2+...+w^9-9w^10=-9w^10 取絕對值
下面1-w取絕對值後=>2(1-cos40度)=2[2(sin^2)20度]
化簡一下就出來了
請問 選擇題 第 5 題
請問 選擇題 第 5 題，謝謝！回復 13# martinofncku 的帖子
選擇5.已知袋中有3個黑球，4個白球，今自袋中隨機取球，每次取出一球，取出後不放回，而在有一種色球被取完時就停止，則全部恰取5球的機率為
(A)\(\displaystyle \frac{1}{7}\) (B)\(\displaystyle \frac{2}{7}\) (C)\(\displaystyle \frac{2}{35}\) (D)\(\displaystyle \frac{4}{35}\)
[解答]
考慮第五顆球是黑球或白球兩種情況
1.第五顆是黑球，前四顆是2黑2白，所以共有4! / (2!2!)=6種
2.第五顆是白球，前四顆是1黑3白，所以共有4!/3!=4種
[ (3*2*1*4*3) / (7*6*5*4*3) ] *6 + [ (4*3*2*1*3) / (7*6*5*4*3) ] *4 = 2/7 請教選擇6 手邊新版的101似乎沒有這題
請教一下想法!!感謝 設 X = u+v ，Y = u-v 帶入就可看出極值
又或者用轉軸方程式將它轉成橢圓一般式也可以看出極值 [quote]原帖由 [i]gamaisme[/i] 於 2011-6-29 07:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3871&ptid=1163][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
設 X = u+v ，Y = u-v 帶入就可看出極值
又或者用轉軸方程式將它轉成橢圓一般式也可以看出極值 [/quote]
設\(x,y\)為實數，且滿足\( x^2+xy+y^2=6 \)，若\( x^2+y^2 \)的最大值為M，最小值為m，試求M+m=？
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
[解答]
提供這題另外一種想法
假設\( x=r \cos{\theta} y=r \sin{\theta}\)
\(x^2+y^2=r^2\) 求其極值 代入前面的式子整理
\( r^2+r^2 \cos{\theta} \sin{\theta} =6\)
\(\displaystyle{r^2=\frac{6}{1+\cos{\theta} \sin{\theta}}}\)
當\(\displaystyle{\cos{\theta} \sin{\theta}= - \frac{1}{2}}\)有Max12
當\(\displaystyle{\cos{\theta} \sin{\theta}= \frac{1}{2}}\)有Max 4 [quote]原帖由 [i]iamcfg[/i] 於 2011-6-26 05:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3826&ptid=1163][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
綜合7
先去算 \( \alpha 與 \beta \)的長度關係 與 夾角
然後利用 \(|\alpha - \beta |=2 \sqrt{3}可知道 \alpha 與 \beta 的距離\)
利用這兩點 可以得到 \( | \alpha |\) 就可以算面積 ... [/quote]
不好意思,提供個人淺見
這題解答內容上似乎有點問題
首先由b^2-2ab+4a^2=0,可得(b-a)^2=-3a^2
b-a=(+-)3^0.5*i*a
|b-a|=3^0.5*|a| -------------(1)
依題意知|b-a|=2*3^0.5
代入(1)得|a|=2--------------(2)
又
b=(1+3^0.5*i)a 或b=(1-3^0.5*i)a
|b|=2|a| =2*2=4
且
b=2[1/2 +(1/2)(3^0.5)i]a=2[cos(60度)+ i*sin(60度) ]a---------------------(3)
或b=2[1/2 -(1/2)(3^0.5)i]a=2[cos(-60度)+ i*sin(-60度) ]a------------------(4)
由 (3)知 將OA以O為圓心,逆時針旋轉60度可得到B點
由 (4)知 將OA以O為圓心,順時針旋轉60度可得到B點
它們都是角AOB=60度的三角形(並沒有夾角120度)
所求=(1/2)*2*4*sin60度 =2*3^0.5
回復 18# Ellipse 的帖子
多謝橢圓兄小弟計算錯了 囧 第二部份第4題:我算的答案是-35,公布的答案是35 ?