100南科實中
感謝PTT實習教師板板友c2h5oh27熱情提供 9.\( x,y,z \)為正數，求證\( \displaystyle \frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\ge 1 \)
Let \( a,b,x,y,z \) be positive reals.Show that \( \displaystyle \frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\frac{z}{ax+by}\ge \frac{3}{a+b} \)
(Romanian TST，連結已失效h ttp://www.artofproblemsolving.com/blog/25875) 1.
\( (a+\sqrt{a^2+4})(b+\sqrt{b^2+9})=16 \)，求\( a \sqrt{b^2+9}+b \sqrt{a^2+4} \)。
設\( (x+\sqrt{x^2+1})(y+\sqrt{y^2+4})=7 \)，則\( x \sqrt{y^2+4}+y \sqrt{x^2+1} \)之值為何？
(建中通訊解題第66期)
110.2.11補充
設\(x,y\)為實數。已知\(y^2\ge 1\)且滿足\((\sqrt{1+x^2}-x)(y-\sqrt{y^2-1})=1\)，試求\(x^2-y^2=\)[u] [/u]。
(109高中數學能力競賽 北二區複試筆試二，[url]https://math.pro/db/thread-3467-1-1.html[/url])
113.4.29補充
已知實數\(x,y\)滿足\((x-\sqrt{x^2-2024})(y-\sqrt{y^2-2024})=2024\)，則\(3x^2-2y^2+3x-3y-2023=\)？
(113鳳新高中，[url]https://math.pro/db/thread-3855-1-1.html[/url])
5.
1,2,2,3,3,3,4,4,4.4.5....，若前n項和為\( S_n \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{S_n}{n \sqrt{n}} \)
數列：1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,21,23,25,26,...，依此規則，若第n項為\( a_n \)，求\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{n} \)。
(97國立大里高中)
11.
\( x,y,z \)為實數，已知\( x^2+y^2+z^2=6 \)，\( x+y+z=4 \)，求\( xyz \)的最大最小值？
[解答]
\( (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) \) ， \( xy+yz+zx=5 \)
假設\( xyz=k \)
\( x,y,z \)為三次方程式\( t^3-4t^2+5t-k=0 \)的三實根
\( f(t)=t^3-4t^2+5t-k \)，\( f'(t)=3t^2-8t+5=0 \) ， \( \displaystyle t=\frac{5}{3},1 \)
\( \displaystyle f(\frac{5}{3})f(1)\le 0 \) ， \( \displaystyle (\frac{50}{27}-k)(2-k)\le 0 \)
\( \displaystyle \frac{50}{27} \le k \le 2 \)
\( xyz \)最小值\( \displaystyle \frac{50}{27} \)，最大值2
\( x,y,z \in R \)，\( x+y+z=6 \)，\( x^2+y^2+z^2=18 \)，試求\( x^3+y^3+z^3 \)的最大值。
(100北一女)
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100南科實中由 thepiano 發表於 2011年 6月 21日, 00:41
提供一下參考答案(非官方版本)
[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:33 PM 編輯 [/i]]
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第一題類似做法6604
[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:36 PM 編輯 [/i]]
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[url=https://math.pro/db/redirect.php?tid=1119&goto=newpost#newpost]第六題詳解類似中壢高中第10題[/url][[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:39 PM 編輯 [/i]]
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第4題詳解(有錯誤請來信)[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:41 PM 編輯 [/i]]
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第2題詳解[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:42 PM 編輯 [/i]]
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第3題相類似解法[url=https://math.pro/db/thread-1119-5-1.html]100中壢高中填充第八題[/url]有二種不同的解法
[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:44 PM 編輯 [/i]]
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第7題詳解(有錯誤請來信)[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:45 PM 編輯 [/i]]
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第5題詳解(修正版)[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:46 PM 編輯 [/i]]
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第10題詳解[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:47 PM 編輯 [/i]]
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第8題詳解甲乙丙丁選一人在第六位
00000 000000
前五位不相鄰只有2種最多 後6位不相鄰最多3種選擇
選好在排
C(4-1)*C(5-3)*4!=960 [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2011-6-20 09:13 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3686&ptid=1153][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
9.
\( x,y,z \)為正數，求證\( \displaystyle \frac{x}{y+2z}+\frac{y}{z+2x}+\frac{z}{x+2y}\ge 1 \)
Let \( a,b,x,y,z \) be positive reals.Show that \( \displaystyle \frac{x}{ay+bz}+\frac{y}{az+bx}+\) ... [/quote]
小弟資質駑鈍...
能不能解釋一下最後面幾個不等式
感謝
請教第五題
從總和的下一行之後都不懂，謝謝!![[i] 本帖最後由 wdemhueebhee 於 2013-10-14 02:14 PM 編輯 [/i]]
回復 15# wdemhueebhee 的帖子
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n^3}{3} + \) 某個 n 的二次式後面的二次式，不影響極限，可忽略
謝謝寸絲老師
懂了頁:
[1]