100彰化藝術高中,田中高中
題目請見附件 單選題1.
設\( p,q \in R \)且\( p>0,q>0 \)，若\( log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q) \)，則\( \displaystyle \frac{q}{p} \)之值介於下列哪一各區間？
(A) \( \displaystyle (1,\frac{3}{2}) \) (B) \( \displaystyle ( \frac{3}{2},2) \) (C) \( \displaystyle (2,\frac{5}{2}) \) (D) \( \displaystyle ( \frac{5}{2},3 ) \) (E) \( \displaystyle ( 3,\frac{7}{2} ) \)
Suppose that p and q are positive numbers for which \( \displaystyle log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q) \)what is the value of \( \displaystyle \frac{q}{p} \)?
(1988AHSME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1988_AHSME_Problems/Problem_26[/url])
計算題
1.
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP=1} \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
正方形\(ABCD\)中一點\(P\)，已知\( \overline{PA}=7 \)、\( \overline{PB}=3 \)、\( \overline{PC}=5 \)，求此正方形的面積。
(100豐原高中，[url]https://math.pro/db/thread-1118-1-1.html[/url])
設正方形\(ABCD\)內部有一點\(P\)滿足\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \sqrt{2} \)，\( \overline{DP}=5 \sqrt{2} \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
(建中通訊解題第17期)
8.
設n為自然數，\( \displaystyle (2+\sqrt{3})^n=x_n+y_n \sqrt{3} \)，\( x_n,y_n \)均為正整數，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{y_n} \)之值為？
(A)0 (B)1 (C)\( -\sqrt{2}\) (D)\( \sqrt{3} \) (E)\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} \)
(高中數學101 P275)
設\( (1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n \sqrt{2} \)，其中\( n,a_n,b_n \)皆為正整數，則\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{b_n}= \)
(100成淵高中，[url]https://math.pro/db/thread-1128-1-2.html[/url]) 請教一下計算題第3題
若\( \displaystyle \{\; x |\; 1 \le \sum_{k=1}^{10} \frac{k}{x-k} \le 2 \}\; \)的解集合為若干區間的聯集，求區間總長度。
回復 3# cally0119 的帖子
應該是去年台大資工第二階段考題請參考台中一中李吉彬老師的部落格
h ttp://dl.dropbox.com/u/21100135/2010_NTU_CSIE01.pdf 連結已失效 請教版上
計算第一題,記得在通訊解題看過?忘了怎麼做,可以提示一下嗎?
還有單選3,我算出來答案怪怪的
請教單選6,7,10
謝謝 單選3
設複數\(z\)滿足\( |\; z |\;=2 \)，若\( \displaystyle \Bigg\vert\; z+\frac{2}{z}-1 \Bigg\vert\;=n \)，且\(n\)為整數，則\(n\)所有可能値的和為
(A)6 (B)10 (C)15 (D)21 (E)28
我算出來的答案是9可是選項內沒有...
單選10
函數\(f\)的圖形如下所示，則方程式\(f(f(x))=6\)的實數解有幾個？
[img]http://latex.artofproblemsolving.com/d/8/e/d8ea42d74287fb95665640e991c92aa37ba2c70f.png[/img]
(A)2 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7
(2002AMC12A，[url]http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2002_AMC_12A_Problems/Problem_19[/url])
依照題目f ([color=Red]f(x)[/color]) = 6，所以f()內的值只能是1或-2
所以[color=Red]f(x)[/color]=1或-2的解，依題目給定圖形有4+2=6
想請教各位老師單選11、12如何解? 計算第1題
已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)、\( \overline{BP}=5 \)、\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
解法還不少…網路查的結果
h ttp://iask.sina.com.cn/b/18477367.html (連結已失效)
[url]http://blog.xuite.net/ginwha/school/28278272[/url]
回復 5# arend 的帖子
單選第 6 題：由1至99的九十九個整數中，任取三個相異數，則此三數恰成等差數列的取法有多少種？
(A)1001 (B)1024 (C)1600 (D)1960 (E)2401
[解答]
若取出來的三相異數由小到大依序為 \(a,b,c\)，則 \(\displaystyle b=\frac{a+c}{2}\)
也就是只要 \(a,c\) 確定，則 \(b\) 就會跟著確定，
且 \(a+c\) 必定為偶數，
把 \(1\) 至 \(99\) 分成 \(50\) 個奇數與 \(49\) 個偶數，
只要由眾偶數中選出\(a,c\) 或眾奇數中選出 \(a,c\) 即可，
所以所求 \(=C^{50}_2+C^{49}_2=2401.\) 單選第 7 題
設\(a\)、\(b\)為實數，方程式\(x^2+2ax+b=0\)沒有實根，且各根之絕對值均為1，則\(b\)之值為何？
(A)1 (B)\(\sqrt{3}\) (C)2 (D)\(\sqrt{5}\) (E)\(\sqrt{6}\)
[解答]
\(x^2+2ax+b=0\)
\(\Rightarrow \left(x+a\right)^2=a^2-b\)
\(\Rightarrow x=-a\pm i\sqrt{b-a^2}\)
\(\Rightarrow \left|-a\pm i\sqrt{b-a^2}\right|=1\)
\(\Rightarrow (-a)^2+\left(\sqrt{b-a^2}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow b=1\)
另解，
因為實係數方程式虛根成共軛對，
所以設兩虛根為 \(z_1, \overline{z_1}\)，
且依題敘，可知 \(\left|z_1\right|=\left|\overline{z_1}\right|=1\)
由根與係數關係式，可得 \(b=z_1\overline{z_1}=|z_1|^2=1.\) 單選第 10 題
函數\(f\)的圖形如下所示，則方程式\(f(f(x))=6\)的實數解有幾個？
(A)2 (B)4 (C)5 (D)6 (E)7
[解答]
\(f(y)=6\Rightarrow y=1 \mbox{ 或 } -2\)
[img]http://i.imgur.com/ftEDn.png[/img]
如圖，可知 \(f(f(x))=6\) 共有 \(6\) 個實根。 單選第 3 題
設複數\(z\)滿足\(|\;z|\;=2\)，若\(\displaystyle \Bigg\vert\; z+\frac{2}{z}-1 \Bigg\vert\;=n\)，且\(n\)為整數，則\(n\)所有可能值的和為
(A)6 (B)10 (C)15 (D)21 (E)28
[解答]
令 \(z=2\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)\)，則
\(\displaystyle\left|z+\frac{2}{z}-1\right|=n\)
\(\Rightarrow \left|3\cos\theta+i\sin\theta -1\right|=n\)
\(\Rightarrow \left|(3\cos\theta+i\sin\theta) -(1+0i)\right|=n\)
令 \(P(3\cos\theta, \sin\theta), Q(1,0)\)
則 \(P\) 是位在橢圓 \(\displaystyle\frac{x^2}{9}+y^2=1\) 上的動點，
[img]http://i.imgur.com/VvDuf.png[/img]
故，滿足 \(\overline{PQ}=n\) 且 \(n\) 為整數的可能值有 \(1,2,3,4\)。
所以「\(n\) 所有可能值的和」是 \(1+2+3+4=10.\)
註：感謝 gamaisme 於後方回覆提醒～我沒有看清楚題目～：Ｐ
回復 4# 老王 的帖子
解法看到最後，不懂為何110-165/2=55/2 就是區間的總長度呢？
還有為何要強調「f(x)恆遞減」呢？
謝謝！
回復 11# weiye 的帖子
感謝瑋岳老師詳細的解答，不過題目好像是問"[color=Red]n所有可能值的和為多少[/color]"?還是我搞錯題意，另外請教單選12應如何解?
謝謝!
回復 13# gamaisme 的帖子
咦～～～對耶！題目是問「n所有可能值的和為？」
所以答案是 \(1+2+3+4=10\) ！＝＝
註：感謝 gamaisme 提醒～我沒看清楚題目～：Ｐ
回復 14# weiye 的帖子
喔喔我弄懂了!所以是1+2+3+4=10吧?
感謝瑋岳老師的圖解! 單選第 12 題：
設\(a\)、\(b\)、\(c\)為0到9的整數，\(a\)、\(b\)、\(c\)不可同時為0且不可同時為9。若將循環小數\(0.\overline{abc}\)化為最簡分數時，則分母有多少種情形？
(A)7 (B)8 (C)9 (D)10 (E)11
[解答]
\(\displaystyle 0.\overline{abc}=\frac{abc}{999}\)
其中分母 \(999=3^3\times37\)
所以， \(999\) 的正因數個數有 (3+1)(1+1)=8 個
扣掉 \(1\) 這一個（即當分子為 \(999\) ，不合），
還剩下 \(7\) 個。 哈～是 \(1+2+3+4=10\) ，
答案沒錯，我看錯～哈 ：Ｐ 喔喔!單選12我又勿解題目的意思了!
多謝瑋岳老師的解答!
不知道那單選11有沒有比較快的解法!
我覺得我的解法有點慢
回復 18# gamaisme 的帖子
單選第11題：自圓\(C\)：\(x^2+y^2=4\)上取二點\(A\)、\(B\)，使此二點均在\(x\)軸上方，且折回劣弧\(AB\)恰與\(x\)軸切於點\((1,0)\)，求\(\overline{AB}\)方程式為何？
(A)\(2x-4y-5=0\) (B)\(3x-4y+5=0\) (C)\(2x+3y-5=0\) (D)\(2x+3y+5=0\) (E)\(2x+4y-5=0\)
[解答]
把褶完過後的圓畫出來，
[img]http://i.imgur.com/vAjo4.png[/img]
實際上就是把原來的圓對稱 \(\overleftrightarrow{AB}\) 所得的結果，
所以褶完過後的圓半徑也是 2，
且因為與 \(x\) 軸相切於 \((1,0)\)
所以褶完過後之圓的圓心為 \((1,2)\)
可以寫出褶完過後所在的圓方程式，
再與題目所給的圓方程式相減，
就可以得到 \(\overleftrightarrow{AB}\) 直線的方程式了。
或是，求上兩圓的圓心之中垂線方程式亦可。
回復 19# weiye 的帖子
感謝瑋岳老師的解答可以這麼簡單解題!
當時我還用了微分....