回復 9# weiye 的帖子
謝謝瑋岳老師第二解法很漂亮
回復 10# weiye 的帖子
謝謝瑋岳老師解法很漂亮
我想方法的好複雜
用組合來做簡單多了
還是要再跟你說聲謝謝 計算第二題怎解??
請教單選1.2題
單選1還是不會,找不到資料謝謝 單選第九題 怎麼做?
回復 25# Herstein 的帖子
單選第 9 題：空間中有三個點\(A(-1,2,5)\)，\(B(-2,1,2)\)，\(P(0,b,c)\)，則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2 \)的最小値為
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9 (E)10
[解答]
令 \(C\) 為 \(A,B\) 的中點，
在 \(\triangle ABC\) 中，
\(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2=2\left(\overline{AC}^2+\overline{PC}^2\right)\)
其中 \(\overline{AC}\) 為定值，
所以 \(\overline{PA}^2+\overline{PB}^2\) 的最小值發生於當 \(\overline{PC}\) 為最小值的時候，
此時， \(P\) 為「 \(C\) 在 \(x=0\) 平面的投影點」，
且 \(\overline{PC}\) 就是「 \(C\) 到 \(x=0\) 平面的距離」，
剩下略~ [quote]原帖由 [i]Herstein[/i] 於 2011-6-22 09:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3749&ptid=1152][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
單選第九題 怎麼做? [/quote]
直接做,再用配方法
2(b-3/2)^2+2(c-7/2)^2 +10
回復 24# maymay 的帖子
單選第 1 題：設\(p,q\in R\)且\(p>0,q>0\)，若\(log_9 p=log_{12}q=log_{16}(p+q)\)，則\(\displaystyle \frac{q}{p}\)之值介於下列哪一個區間？
(A)\(\displaystyle (1,\frac{3}{2})\) (B)\(\displaystyle (\frac{3}{2},2)\) (C)\(\displaystyle (2,\frac{5}{2})\) (D)\(\displaystyle (\frac{5}{2},3)\) (E)\(\displaystyle (3,\frac{7}{2})\)
[解答]
令 \(\log_9 p = \log_{12} q = \log_{16}(p+q)=k,\)
則 \(p=9^k,q=12^k,p+q=16^k\)
\(\displaystyle \Rightarrow p+q=16^k=\left(\frac{12^2}{9}\right)^k=\frac{q^2}{p}\)
\(\Rightarrow p^2+pq-q^2=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{q}{p}\right)^2-\left(\frac{q}{p}\right)-1=0\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{q}{p}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
因為 \(p>0,q>0\)，所以 \(\displaystyle \frac{q}{p}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\Rightarrow \frac{3}{2}<\frac{q}{p}<2\) 單選第 1 題：前面另一種作法(其實差不多)
Log P / Log 9 =Log Q / Log 12 =Log (P+Q) / Log 16
=> [Log P+ Log (P+Q) ] /(Log 9+ Log 16) = Log P(P+Q) /Log (9*16) =Log Q^2 / Log 12^2 (和分比)
=> P(P+Q)=Q^2
後面就跟weiye兄一樣...
回復 24# maymay 的帖子
單選第 2 題：將1、2、3、…、9此9個正整數隨機填入3×3之棋盤形9個格子中，每一格填一個數字，且每個數字只填一次，求使每一行，每一列（不含對角線）之數字和皆為奇數之機率為何？
(A)\(\displaystyle \frac{1}{10}\) (B)\(\displaystyle \frac{1}{11}\) (C)\(\displaystyle \frac{1}{12}\) (D)\(\displaystyle \frac{1}{13}\) (E)\(\displaystyle \frac{1}{14}\)
[解答]
偶數有 4 個
任取某一行或某一列
只有可能為～奇數＋奇數＋奇數
或是 偶數＋偶數＋奇數
所以～四個偶數只能在某兩行與某兩列的重疊區域
例如：
[color=red]偶[/color]奇[color=red]偶[/color]
奇奇奇
[color=red]偶[/color]奇[color=red]偶[/color]
或是
[color=red]偶偶[/color]奇
[color=red]偶偶[/color]奇
奇奇奇
....等，共 \(C^3_2C^3_2\) 種。
所以，所求機率 \(\displaystyle=\frac{C^3_2C^3_2 5!4!}{9!}=\frac{1}{14}.\)
謝謝兩位老師的講解
計算第三題終於遇到把自己想法完整寫下來的機緣了。
或許有點麻煩，但是應該比較好懂。 想請教單選4該怎麼算? 謝謝
回復 33# pizza 的帖子
單選第 4 題：袋中有15個球，其中有紅球5個，編號1至5，白球10個，編號1至10，任意取兩球，試求球號之和小於7的機率
(A)\( \displaystyle \frac{1}{7} \) (B)\( \displaystyle \frac{23}{105} \) (C)\( \displaystyle \frac{5}{21} \) (D)\( \displaystyle \frac{9}{35} \) (E)\( \displaystyle \frac{29}{105} \)
[解答]
分母＝\(C^{15}_2=105\)
再來算分子
點數和小於 \(7\) 的情況有：
6=[color=red]1+5[/color]=[color=red]2+4[/color]=[color=blue]3+3[/color]
5=[color=red]1+4[/color]=[color=red]2+3[/color]
4=[color=red]1+3[/color]=[color=blue]2+2[/color]
3=[color=red]1+2[/color]
2=[color=blue]1+1[/color]
分子＝\(3\times C^2_2+6\times C^2_1C^2_1=27\)
所求＝\(\displaystyle\frac{27}{105}=\frac{9}{35}\) 想請教計算題第一題??????
回復 35# man90244 的帖子
計算第 1 題：已知\(P\)為正方形\(ABCD\)內部的一點，若\( \overline{AP}=7 \)，\( \overline{BP}=5 \)，\( \overline{CP}=1 \)，試求正方形\(ABCD\)的面積。
[解答]
解法一：
[attach]975[/attach]
如圖，以 \(B\) 為旋轉中心，將 \(\triangle BCP\) 旋轉，
使得 \(\overline{BC}\) 貼齊 \(\overline{AB}\)，且 \(P\) 旋轉至 \(Q\) 點位置，
則 \(\triangle PQB\) 是三內角為 \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\) 的等腰直角三角形，
且 \(\overline{PQ}=5\sqrt{2}, \overline{PC}=\overline{AQ}=1\)
因為 \(\overline{AQ}^2+\overline{AP}^2=1^2+7^2=(5\sqrt{2})^2=\overline{PQ}^2\)，所以 \(\triangle APQ\) 亦為直角三角形，
\(\cos\angle AQB=\cos\left(45^\circ+\angle AQP\right)\)
用和角公式展開，可得 \(\cos\angle AQB\)
在 \(\triangle AQB\) 中，用餘弦定理，即可得 \(\overline{AB}^2\)
解法二：
令 \(x=\overline{AB}\)
由餘弦定理，可得
\(\displaystyle\cos\angle ABP=\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}, \cos\angle CBP=\frac{x^2+5^2-1^2}{2\cdot 5\cdot x}\)
因為 \(\angle ABP\) 與 \(\angle CBP\) 互餘，所以 \(\cos^2\angle ABP+\cos^2\angle CBP=1\)
\(\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}\right)^2+\left(\frac{x^2+5^2-1^2}{2\cdot 5\cdot x}\right)^2=1\)
解 "\(x^2\)" 的一元二次方程式，可得 \(x^2=18\) 或 \(x^2=32\)
且因為 \(\angle ABP\) 為銳角，所以 \(\displaystyle \cos\angle ABP=\frac{x^2+5^2-7^2}{2\cdot 5\cdot x}>0\)
故，\(x^2=18\) 不合，
因此，\(x^2=32\)
解法三：
[attach]976[/attach]
因為 \(\overline{PA}^2+\overline{PC}^2=\overline{PB}^2+\overline{PD}^2\)
（等號左右兩邊～都會等於四段彩色的線段平方之和）
\(7^2+1^2=5^2+\overline{PD}^2\Rightarrow\overline{PD}=5\)，所以 \(\overline{PD}=\overline{PB} \)
因此，\(\triangle ABP\) 與 \(\triangle ADP\) 全等，\(\triangle CBP\) 與 \(\triangle CDP\) 全等，
故，\(A,P,C\) 三點共線，\(\overline{AC}=7+1=8\) 為對角線，
正方形 \(ABCD\) 邊長為 \(4\sqrt{2}\)，面積為 \(32.\)
回復 36# weiye 的帖子
感謝瑋岳老師的解答我已經理解了!!!!!!!!
回復 37# man90244 的帖子
新增第三種解法，請見上篇回覆最末端。：Ｄ回復 23# andyhsiao 的帖子
請問計算二的題目Pn(k)代表 an ? k 的機率去年沒考 這題不知道原提意為何 感謝
連續擲出一個公正的正六面體骰子\(n\)次，將前\(n\)次出現的點數依序寫在小數點的後面，得到一個實數\(a_n\)，例\(a_1=0.4\)，\(a_2=0.43\)，\(a_3=0.435\)，…，對於實數\(k\)，若符號\(p_n(k)\)代表「\(a_n<k\)的機率」，試求：
(1)\( \displaystyle p_{2011}(\frac{1}{7})\)
(2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n(\frac{41}{333}) \)
回復 39# JOE 的帖子
根據答案的結果猜測應該是\( a_n < k \)