100鳳山高中
今天考完鳳山高中，暈...總共12題，我把記得的部分打在WORD檔
題號跟題序跟正式版會有出入，不過題意89不離10
想要先睹為快的網友請享用
另外想請問 #2,4,5,6，請大家幫忙解惑，謝謝!!
感謝版主協助加附檔
追加鳳中一題，數據忘記，但類型同100中壢高中填充第8
[url=https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html[/url]
8. 設 f,g為可微分函數，且f(x+2y)=f(x)+g(y)
x
y
R 試問:若 f(0)=1， f'(0) =2, 求 g(5)
看到這題真的快哭出來了，明明有看過，寫考古題的時候就不會寫，當下當然想不出來
剛剛才想到怎麼算= =|||
[[i] 本帖最後由 紫月 於 2011-6-18 11:07 PM 編輯 [/i]] 8.
f,g可微 f(x+2y)=f(x)+g(y),f(0)=1,f`(0)=2,求g(10) 對上式兩邊同對x 微分，可得f'(x)都是定值...因為f'(0)=2，所以最後可令f(x)=ax+b.......代入原式...最後可得g(10)=40 #4
100彰女填充第二部分第11題
[url=https://math.pro/db/thread-1113-2-2.html]https://math.pro/db/thread-1113-2-2.html[/url]
[[i] 本帖最後由 老王 於 2011-6-19 10:20 PM 編輯 [/i]]
回復 5# 老王 的帖子
#5抱歉我沒有打清楚，a、b是歪斜，求最小體積沒有錯 #2將
x2−(4−m)x+1=0 另一方面
y4−(4m−m2)y2+m2=0y12y22=m2因為m是正數，以及交點在第一象限，所以
6m−m2 中點在y=x上
6m−m2 m2−7m+8=0 
17orm=27−17 但是m要小於4
所以
17 回復 1# 紫月 的帖子
當
0四面體體積不就
0題目沒有漏掉條件嗎？
[img]http://i.imgur.com/fOnWa.png[/img]
回復 9# weiye 的帖子
這一題是求最大體積才對考試的時候 我沒算出來
後來我才想到 我算 2sqrt(3)/27 不知道對不對?
[[i] 本帖最後由 Herstein 於 2011-6-20 01:47 AM 編輯 [/i]] #5
假設AB=a,CD=b,AC=BC=AD=BD=1
取AB中點M，CM和DM都垂直AB
所以AB垂直平面CDM
將四面體分成A-CDM和B-CDM
體積為
21b
1−4a2−4b2a 4−a2−b2 令
4−a2−b2 可知若
4算幾不等式
33a2b2c2 
983 體積最大值
3 請問第6,7,9題.謝謝
100鳳山高中公告版
as title學校在7月2日公佈.....囧.....
還好被我抓到
如附件
請各位參照! 我想問公佈板的題目 第3題 感謝八神庵過了這麼久還記得去學校網站留意有沒有公佈題目
否則校方一拿掉公告這份題目就失傳了
2.
袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為
求(1)
Pn=不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以
求
(99鳳新高中，[url=https://math.pro/db/thread-974-1-2.html]https://math.pro/db/thread-974-1-2.html[/url])
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089[/url]
一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續n次，若
n=1(21−Pn)= (100中科實中，[url=https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html[/url])
3.
利用最小平方法得到二維數據 (x_1,y_1) , (x_2,y_2) ,..., (x_n,y_n) ,y對x的迴歸直線為 y=a+bx ，
另一組二維數據 (u_1,v_1) , (u_2,v_2) ,..., (u_n,v_n) 是透過 u=c+dx ， v=e+fy 所得到的，
已知 a,b,c,d,e,d 為定值，求v對u的迴歸直線方程式？
[答案]
\displaystyle y=(fa+e-\frac{bcd}{d})+\frac{bf}{d}x
7.
求方程式 \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}=y ，
x，y的非負整數解，其中共有2011個√，且√指正根而言。
Find all possible integer solutions for \sqrt{x+\sqrt{x...(x+\sqrt{x}...)}}=y , where there are 1998 square roots.
連結已失效h ttp://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/r41-50.html
補個類似題
試求方程 x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}}} 的所有的正根？
試求方程： x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}} 的根。
(初中數學競賽教程P353)
101.4.30補充
設 [\; x ]\; 表示不大於x最大整數，例如： [\; 3 ]\;=3 ， [\; 2.3 ]\;=2 ， [\; -2.5 ]\;=-3 ，則
\displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; 之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期)
[解答]
定義數列，a_{n+1}=\sqrt{2010+a_n}，a_1=\sqrt{2010}
\Rightarrow 44<a_1<45 \Rightarrow 45<\sqrt{2055}<\sqrt{2010+a_1}<\sqrt{2056}<46\Rightarrow 45<a_2<46
繼續如此的步驟
\Rightarrow 45<a_3<46 \Rightarrow 45<a_4<46 \Rightarrow \ldots \Rightarrow 45<a_{2010}<46
故所求=[a_{2010}]=45
113.4.10補充
令 \displaystyle x=\sqrt{2024+\sqrt{2024\ldots+\sqrt{2024+\sqrt{2024+\sqrt{2024}}}}} ，其中2024共出現2024次，則[x]=[u] [/u]。
註：[x]表示小於或等於x的最大整數。
(113北一女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3828&page=1#pid25679[/url]) 請教一下
這份考題有答案嗎?
小弟我沒找到，有的可以分享一下嗎?
謝謝! 老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??
三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。 [quote]原帖由 [i]bluewing[/i] 於 2011-7-14 10:54 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4017&ptid=1151][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??
三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。 [/quote]
這裏有類題…還是謝謝這一版…。
[url=https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html[/url]
借用那邊算的結果答案為3/2…。
好像也可用猜的…a=b=c=1代入求解…。
[[i] 本帖最後由 peter579 於 2011-7-18 03:55 PM 編輯 [/i]] 請問#3(問迴歸直線方程式)的答案斜率不必分正負嗎? 不過我算出來的常數項也算錯就是了,所以想請教一下該怎麼算?
還有也想問一下#12的證明該怎麼寫,謝謝
[[i] 本帖最後由 pizza 於 2012-2-27 05:19 PM 編輯 [/i]]
回復 19# pizza 的帖子
第 3 題：設 x_1,x_2,\cdots,x_n 的算術平均數為 \overline{x}，標準差為 S_x，
y_1,y_2,\cdots,y_n 的算術平均數為 \overline{y}，標準差為 S_y，
u_1,u_2,\cdots,u_n 的算術平均數為 \overline{u}，標準差為 S_u，
v_1,v_2,\cdots,v_n 的算術平均數為 \overline{v}，標準差為 S_v，
X 與 Y 的相關係數為 r_{XY}，U 與 V 的相關係數為 r_{UV}，
＜＜先來看看已知蝦咪＞＞
因為 y 對 x 的迴歸直線為 y=a+bx，
所以 \overline{y}=a+b\overline{x} 且 \displaystyle b=r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}
＜＜再來看看最後是找出來蝦咪東西，寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說～＞＞
｜
｜ v 對 u 的迴歸直線必通過 (\overline{u},\overline{v})，
｜
｜ 且其斜率為 \displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}
｜
└──────────────────────────＜其實這塊只是在思考接下來要怎樣走～不用寫啦＞
＜＜好吧，要把這兩者扯再一起了～＞＞
因為 u=c+dx，所以 \displaystyle \overline{u}=c+d\overline{x}\Rightarrow \overline{x}=\frac{\overline{u}-c}{d}
因為 v=e+fy，所以 \displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}
因為 \overline{y}=a+b\overline{x}，所以 \displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right) ───（＊）
且
\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}
\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}
\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b
＜＜再來招喚剛剛思考的那塊～＞＞
因為 v 對 u 的迴歸直線必通過 (\overline{u},\overline{v})，
且其斜率 \displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b
因此，v 對 u 的迴歸直線為
\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})
\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})
\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)
\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}
將（＊）帶入可得
\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}
\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}
結束。
然後，下次如果是考填充題，那就～
把 \displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f} 帶入 y=a+bx
即可得 \displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}
回復 19# pizza 的帖子
第 12 題：已知 p(0)=a_0 為奇數，且 p(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 亦為奇數，
假設 p(x)=0 有整數根 \alpha，
若 \alpha 為偶數，則
p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\equiv a_0\equiv 1\pmod{2}
\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2 此與 p(\alpha)=0 互相矛盾。
若 \alpha 為奇數，則
p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0
\equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_1\cdot1+a_0
\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 \equiv 1\pmod{2}
\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2 此與 p(\alpha)=0 互相矛盾。
因此，p(x)=0 既無偶數根，亦無奇數根，
可得 p(x)=0 無整數根。
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