100鳳山高中
今天考完鳳山高中，暈...總共12題，我把記得的部分打在WORD檔
題號跟題序跟正式版會有出入，不過題意89不離10
想要先睹為快的網友請享用
另外想請問 #2,4,5,6，請大家幫忙解惑，謝謝!!
感謝版主協助加附檔
追加鳳中一題，數據忘記，但類型同100中壢高中填充第8
[url=https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1119-1-1.html[/url]
8. 設 f,g為可微分函數，且f(x+2y)=f(x)+g(y) \( \forall x,y \in R \)
試問:若 f(0)=1， f'(0) =2, 求 g(5)
看到這題真的快哭出來了，明明有看過，寫考古題的時候就不會寫，當下當然想不出來
剛剛才想到怎麼算= =|||
[[i] 本帖最後由 紫月 於 2011-6-18 11:07 PM 編輯 [/i]] 8.
f,g可微 f(x+2y)=f(x)+g(y),f(0)=1,f`(0)=2,求g(10) 對上式兩邊同對x 微分，可得f'(x)都是定值...因為f'(0)=2，所以最後可令f(x)=ax+b.......代入原式...最後可得g(10)=40 #4
100彰女填充第二部分第11題
[url=https://math.pro/db/thread-1113-2-2.html]https://math.pro/db/thread-1113-2-2.html[/url]
[[i] 本帖最後由 老王 於 2011-6-19 10:20 PM 編輯 [/i]]
回復 5# 老王 的帖子
#5抱歉我沒有打清楚，a、b是歪斜，求最小體積沒有錯 #2將\(\displaystyle y^2=mx \)代入
\(\displaystyle x^2-4x+4+mx=3,x^2-(4-m)x+1=0 \)
\(\displaystyle x_1+x_2=4-m \)
另一方面
\(\displaystyle \frac{y^4}{m^2}-\frac{4y^2}{m}+4+y^2=3,y^4-(4m-m^2)y^2+m^2=0 \)
\(\displaystyle y_1^2+y_2^2=4m-m^2,y_1^2y_2^2=m^2 \)
因為m是正數，以及交點在第一象限，所以
\(\displaystyle y_1y_2=m \)
\(\displaystyle (y_1+y_2)^2=6m-m^2 \)
\(\displaystyle y_1+y_2=\sqrt{6m-m^2} \)
中點在y=x上
\(\displaystyle 4-m=\sqrt{6m-m^2} \)
\(\displaystyle 16-8m+m^2=6m-m^2 \)
\(\displaystyle 2m^2-14m+16=0,m^2-7m+8=0 \)
\(\displaystyle m=\frac{7+\sqrt{17}}{2}, or m=\frac{7-\sqrt{17}}{2} \)
但是m要小於4
所以
\(\displaystyle m=\frac{7-\sqrt{17}}{2} \) 四面體的圖是這樣嗎?
回復 1# 紫月 的帖子
當 \(a\to 0\) 時，四面體體積不就 \(\to 0\) 了。
題目沒有漏掉條件嗎？
[img]http://i.imgur.com/fOnWa.png[/img]
回復 9# weiye 的帖子
這一題是求最大體積才對考試的時候 我沒算出來
後來我才想到 我算 2sqrt(3)/27 不知道對不對?
[[i] 本帖最後由 Herstein 於 2011-6-20 01:47 AM 編輯 [/i]] #5
假設AB=a,CD=b,AC=BC=AD=BD=1
取AB中點M，CM和DM都垂直AB
所以AB垂直平面CDM
將四面體分成A-CDM和B-CDM
體積為
\(\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{1}{2}b \times \sqrt{1-\frac{a^2}{4}-\frac{b^2}{4}} \times a \)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}ab\sqrt{4-a^2-b^2} \)
令\(\displaystyle c=\sqrt{4-a^2-b^2} \)
可知若\(\displaystyle a^2+b^2\rightarrow 4 \)，體積會接進0，故無最小值。
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2=4 \)
算幾不等式
\(\displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \)
\(\displaystyle abc \le \frac{8\sqrt3}{9} \)
體積最大值
\(\displaystyle \frac{2\sqrt3}{27} \)
請問第6,7,9題.謝謝
100鳳山高中公告版
as title學校在7月2日公佈.....囧.....
還好被我抓到
如附件
請各位參照! 我想問公佈板的題目 第3題 感謝八神庵過了這麼久還記得去學校網站留意有沒有公佈題目
否則校方一拿掉公告這份題目就失傳了
2.
袋中有1,2,...,9號球各一個，每次自袋中取出一球，取後放回，共取n次，n次和為偶數的機率記為\( P_n \)，
求(1)\( P_{n+1} \)及\( P_n \)之關係式？ (2)\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}P_n= \)？
不透明箱內有編號分別為1至9的九個球，每次隨機取出一個，紀錄其編號後放回箱內；以\( P_n \)表示前n次取球的編號之總和為偶數的機率。
求\( P_n= \)？(以n表示)
(99鳳新高中，[url=https://math.pro/db/thread-974-1-2.html]https://math.pro/db/thread-974-1-2.html[/url])
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=4089#p4089[/url]
一袋中有5個球，分別寫上1、2、3、4、5號，今由其中任取一球記下其號碼後放回袋中，如此繼續n次，若\( P_n \)表紀錄到n次數字和為偶數的機率，則\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2}-P_n)= \)？
(100中科實中，[url=https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html[/url])
3.
利用最小平方法得到二維數據\( (x_1,y_1) \),\( (x_2,y_2) \),...,\( (x_n,y_n) \),y對x的迴歸直線為\( y=a+bx \)，
另一組二維數據\( (u_1,v_1) \),\( (u_2,v_2) \),...,\( (u_n,v_n) \)是透過\( u=c+dx \)，\( v=e+fy \)所得到的，
已知\( a,b,c,d,e,d \)為定值，求v對u的迴歸直線方程式？
[答案]
\( \displaystyle y=(fa+e-\frac{bcd}{d})+\frac{bf}{d}x \)
7.
求方程式\( \displaystyle \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+...+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}=y \)，
x，y的非負整數解，其中共有2011個√，且√指正根而言。
Find all possible integer solutions for \( \sqrt{x+\sqrt{x...(x+\sqrt{x}...)}}=y \), where there are 1998 square roots.
連結已失效h ttp://www.cs.cornell.edu/~asdas/imo/r41-50.html
補個類似題
試求方程\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+x}}} \)的所有的正根？
試求方程：\( x=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}} \)的根。
(初中數學競賽教程P353)
101.4.30補充
設\( [\; x ]\; \)表示不大於x最大整數，例如：\( [\; 3 ]\;=3 \)，\( [\; 2.3 ]\;=2 \)，\( [\; -2.5 ]\;=-3 \)，則
\( \displaystyle \Bigg[\; \sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+\sqrt{2010+...+2010}}}} \Bigg]\; \)之值為何？
(其中共有2010個2010)
(建中通訊解題第82期)
[解答]
定義數列，\(a_{n+1}=\sqrt{2010+a_n}\)，\(a_1=\sqrt{2010}\)
\(\Rightarrow 44<a_1<45 \Rightarrow 45<\sqrt{2055}<\sqrt{2010+a_1}<\sqrt{2056}<46\Rightarrow 45<a_2<46\)
繼續如此的步驟
\(\Rightarrow 45<a_3<46 \Rightarrow 45<a_4<46 \Rightarrow \ldots \Rightarrow 45<a_{2010}<46\)
故所求\(=[a_{2010}]=45\)
113.4.10補充
令\( \displaystyle x=\sqrt{2024+\sqrt{2024\ldots+\sqrt{2024+\sqrt{2024+\sqrt{2024}}}}} \)，其中2024共出現2024次，則\([x]=\)[u] [/u]。
註：\([x]\)表示小於或等於\(x\)的最大整數。
(113北一女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3828&page=1#pid25679[/url]) 請教一下
這份考題有答案嗎?
小弟我沒找到，有的可以分享一下嗎?
謝謝! 老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??
三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。 [quote]原帖由 [i]bluewing[/i] 於 2011-7-14 10:54 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4017&ptid=1151][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
老師您好，請問第10題應該要如何著手呢??
三正數a,b,c，a+b+c=3的那一題，謝謝老師。 [/quote]
這裏有類題…還是謝謝這一版…。
[url=https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1128-1-1.html[/url]
借用那邊算的結果答案為3/2…。
好像也可用猜的…a=b=c=1代入求解…。
[[i] 本帖最後由 peter579 於 2011-7-18 03:55 PM 編輯 [/i]] 請問#3(問迴歸直線方程式)的答案斜率不必分正負嗎? 不過我算出來的常數項也算錯就是了,所以想請教一下該怎麼算?
還有也想問一下#12的證明該怎麼寫,謝謝
[[i] 本帖最後由 pizza 於 2012-2-27 05:19 PM 編輯 [/i]]
回復 19# pizza 的帖子
第 3 題：設 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的算術平均數為 \(\overline{x}\)，標準差為 \(S_x\)，
\(y_1,y_2,\cdots,y_n\) 的算術平均數為 \(\overline{y}\)，標準差為 \(S_y\)，
\(u_1,u_2,\cdots,u_n\) 的算術平均數為 \(\overline{u}\)，標準差為 \(S_u\)，
\(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 的算術平均數為 \(\overline{v}\)，標準差為 \(S_v\)，
\(X\) 與 \(Y\) 的相關係數為 \(r_{XY}\)，\(U\) 與 \(V\) 的相關係數為 \(r_{UV}\)，
＜＜先來看看已知蝦咪＞＞
因為 \(y\) 對 \(x\) 的迴歸直線為 \(y=a+bx\)，
所以 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\) 且 \(\displaystyle b=r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)
＜＜再來看看最後是找出來蝦咪東西，寫過程的時候這一塊通常反而是會很後面才說～＞＞
｜
｜ \(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\)，
｜
｜ 且其斜率為 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}\)
｜
└──────────────────────────＜其實這塊只是在思考接下來要怎樣走～不用寫啦＞
＜＜好吧，要把這兩者扯再一起了～＞＞
因為 \(u=c+dx\)，所以 \(\displaystyle \overline{u}=c+d\overline{x}\Rightarrow \overline{x}=\frac{\overline{u}-c}{d}\)
因為 \(v=e+fy\)，所以 \(\displaystyle \overline{v}=e+f\overline{y}\Rightarrow \overline{y}=\frac{\overline{v}-e}{f}\)
因為 \(\overline{y}=a+b\overline{x}\)，所以 \(\displaystyle \frac{\overline{v}-e}{f}=a+b\left(\frac{\overline{u}-c}{d}\right)\) ───（＊）
且
\(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{df}{|df|}r_{XY}\cdot\frac{|f|S_y}{|d|S_x}\)
\(\displaystyle =\frac{df}{|d|^2}\cdot r_{XY}\cdot\frac{S_y}{S_x}\)
\(\displaystyle =\frac{f}{d}\cdot b\)
＜＜再來招喚剛剛思考的那塊～＞＞
因為 \(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線必通過 \((\overline{u},\overline{v})\)，
且其斜率 \(\displaystyle r_{UV}\cdot\frac{S_v}{S_u}=\frac{f}{d}\cdot b\)
因此，\(v\) 對 \(u\) 的迴歸直線為
\(\displaystyle v-\overline{v}=\frac{f}{d}\cdot b(u-\overline{u})\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-\overline{v}}{f}=\frac{b}{d}(u-\overline{u})\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{(v-e)-(\overline{v}-e)}{f}=\frac{b}{d}\left((u-c)-(\overline{u}-c)\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-\frac{\overline{v}-e}{f}=\frac{b(u-c)}{d}-\frac{b(\overline{u}-c)}{d}\)
將（＊）帶入可得
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}-a=\frac{b(u-c)}{d}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)
結束。
然後，下次如果是考填充題，那就～
把 \(\displaystyle u=c+dx, v=e+fy\Rightarrow x=\frac{u-c}{d}, y=\frac{v-e}{f}\) 帶入 \(y=a+bx\)
即可得 \(\displaystyle \frac{v-e}{f}=a+b\cdot\frac{u-c}{d}\)
回復 19# pizza 的帖子
第 12 題：已知 \(p(0)=a_0\) 為奇數，且 \(p(1)=a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0\) 亦為奇數，
假設 \(p(x)=0\) 有整數根 \(\alpha\)，
若 \(\alpha\) 為偶數，則
\(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\equiv a_0\equiv 1\pmod{2}\)
\(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。
若 \(\alpha\) 為奇數，則
\(p(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_1\alpha+a_0\)
\(\equiv a_n\cdot1^n+a_{n-1}\cdot1^{n-1}+\cdots+a_1\cdot1+a_0\)
\(\equiv a_n+a_{n-1}+\cdots+a_0 \equiv 1\pmod{2}\)
\(\Rightarrow p(\alpha)\not\equiv0\pmod2\) 此與 \(p(\alpha)=0\) 互相矛盾。
因此，\(p(x)=0\) 既無偶數根，亦無奇數根，
可得 \(p(x)=0\) 無整數根。
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