100內湖高工
as titleenjoy it!
請教一下
第9,10題填充第九題
如附件 [quote]原帖由 [i]八神庵[/i] 於 2011-6-17 02:55 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3620&ptid=1146][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]as title
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請問一下填充第10題的第二小題怎麼算?
謝謝
填充第 11 題，和計算證明題第 2 題
請問：填充第 11 題，和計算證明題第 2 題怎麼做?謝謝。 請問一下填充第10題的第二小題怎麼算和計算證明題第1題(B)第 2 題怎麼做?謝謝 填充 10 橢圓參數化 \( \begin{cases}
x & =\sqrt{2-t^{2}}\\
y & =t\\
z & =4-\sqrt{2-t^{2}}\end{cases} \), \( \begin{cases}
x' & =\frac{-t}{\sqrt{2-t^{2}}}\\
y' & =1\\
z' & =\frac{t}{\sqrt{2-t^{2}}}\end{cases} \), 令 \( t=1 \) 代入得，切線方向 \( (-1,1,1) \).
所以切線為 \( \frac{x-1}{-1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{1} \).
計算1
(A) 請用三角形面積夾擠扇形
(B) 微分，二階微分，判斷增減和凹向
http://www2.wolframalpha.com/input/?i=Plot[Sin[x]/x,+{x,+-10,+10}]
計算2
(A) 還是微分，二階微分
\( x'=-3\cos^{2}t\sin t \), \( y'=3\sin^{2}t\cos t \).
\( \frac{dy}{dx}=-\frac{\sin t}{\cos t}=-\tan t \), \( \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=\frac{\frac{dy}{dx}}{dt}\cdot\frac{1}{x'}=-\sec^{2}t\cdot\frac{1}{(-3)\cdot\cos^{2}t\sin t}=\frac{3}{\cos^{4}t\sin t} \).
[url=http://www2.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%3Dcos^3+t,+y%3Dsin^3+t]http://www2.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%3Dcos^3+t,+y%3Dsin^3+t[/url]
(B) 面積 \( =4\left|\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}yx'-xy'dt\right|=2\left|\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}-3\cos^{2}t\sin^{4}t-3\cos^{4}t\sin^{2}tdt\right|=6\int_{0}^{\frac{t}{2}}\cos^{2}t\sin^{2}tdt=\frac{3}{8}\pi \).
(C) 弧長 \( =4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{x'^{2}+y'^{2}}dt=12\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin t\cos tdt=6 \). 想請問一下 附件中，f"(r)<0.不是凹口向下,有最大值嗎??@@
[quote]原帖由 [i]nathan[/i] 於 2011-6-22 12:22 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3737&ptid=1146][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如附件 [/quote]
回復 8# natureling 的帖子
如果親手微分一下，就可以發現~那只是小筆誤，因為 \(\displaystyle f\,''(r)=\frac{4}{r^3}+4\pi>0, \forall r>0\)
此題後半段，也可以用算幾不等式求得 \(f(r)\) 的最小值，及此時 \(r\) 與 \(h\) 的關係。 汗顏....嗯...我微了發現了...來不及刪^^"....感謝weiye....
[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-2-8 10:40 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4794&ptid=1146][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
如果親手微分一下，就可以發現~
那只是小筆誤，因為 \(\displaystyle f\,''(r)=\frac{4}{r^3}+4\pi>0, \forall r>0\)
此題後半段，也可以用算幾不等式求得 \(f(r)\) 的最小值，及此時 \(r\) 與 \(h\) 的關係。 ... [/quote] 提供第10題另一種做法
令切線L的方向向量\(\vec{l}=(a,b,c)\)且L過P(1,1,3)
(1) \(\vec{l}\cdot(1,0,1)=0\Rightarrow c=-a\)
(2) L與\(x^{2}+y^{2}-2=0\)只有一個交點\(\Rightarrow b=-a\)
由以上兩點得\(\vec{l}=(a,-a,-a)\) 平行 (1,-1,-1)
這樣就有方向向量了
回復 5# martinofncku 的帖子
填充11.(1)\[
\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{9} + \frac{1}{{10}} + ...... + \frac{1}{{15}} + \frac{1}{{16}} + ......
\]
\[
> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + ......
\]
\[
= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ...... 所以發散
\]
(2)
\[
\sum\limits_{n = 1}^\infty {( - 1)^{n + 1} \frac{1}{n}} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}} + ......
\]
\[
Since \ln (1 + x) = x - \frac{{x^2 }}{2} + \frac{{x^3 }}{3} - \frac{{x^4 }}{4} + \frac{{x^5 }}{5} - ...... + ( - 1)^n \frac{{x^{n + 1} }}{{n + 1}} + .....\forall x \in ( - 1,1]
\]
\[
Thus \sum\limits_{n = 1}^\infty {( - 1)^{n + 1} \frac{1}{n}} = \ln (1 + 1) = \ln 2 所以收斂
\]
如有錯誤請予指正 感謝:)
回復 7# tsusy 的帖子
計算題第二題畫圖，為何用微分，微分出來後，還是不會畫。。網址點進去，也看不到圖形。。請教第9題
版上老師好!想請問一下第九題,如果用算幾不等式做該怎樣做才會正確 (微分後知道答案是h=2r時 為所求)
但是用不同的算幾不等式會得到不同h 和r的關係式,請問觀念上哪裡犯錯了 ?
回復 14# anyway13 的帖子
題意是體積固定時，何時表面積最小您的法一，不等式右邊是定值，所以可行
而法二不等式右邊不是定值
回復 15# thepiano 的帖子
鋼琴老師好! 先謝謝您的答覆在法一和法二右手邊的不等式,都有r和h的乘積
請問是如何判斷法一右手邊的乘積是定值而法二的右手邊卻不是呢?
回復 16# anyway13 的帖子
您好體積\(V=\pi {{r}^{2}}h\)是定值
法一中的\(\sqrt[3]{\left( 2\pi {{r}^{2}} \right)\left( \pi rh \right)\left( \pi rh \right)}=\sqrt[3]{2{{V}^{2}}\pi }\)是定值
回復 17# thepiano 的帖子
懂了 懂了 原來是這樣謝謝鋼琴老師指點
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