100桃園高中
如附件請大家盡情享用吧! 1.
\( \displaystyle \frac{4^{\frac{1}{1001}}}{4^{\frac{1}{1001}}+2}+\frac{4^{\frac{2}{1001}}}{4^{\frac{2}{1001}}+2}+...+\frac{4^{\frac{1000}{1001}}}{4^{\frac{1000}{1001}}+2} \)
\( \displaystyle \frac{\pi^{\frac{1}{99}}}{\pi^{\frac{1}{99}}+\sqrt{\pi}}+\frac{\pi^{\frac{2}{99}}}{\pi^{\frac{2}{99}}+\sqrt{\pi}}+\frac{\pi^{\frac{3}{99}}}{\pi^{\frac{3}{99}}+\sqrt{\pi}}+...+\frac{\pi^{\frac{98}{99}}}{\pi^{\frac{98}{99}}+\sqrt{\pi}} \)
(95台中高農)
\( \displaystyle \frac{9^{\frac{1}{1001}}}{9^{\frac{1}{1001}}+3}+\frac{9^{\frac{2}{1001}}}{9^{\frac{2}{1001}}+3}+...+\frac{9^{\frac{1000}{1001}}}{9^{\frac{1000}{1001}}+3}+ \)
(99高雄市高中聯招，[url=https://math.pro/db/thread-975-1-1.html]https://math.pro/db/thread-975-1-1.html[/url])
計算與證明
5.
設\( x_1,x_2,...,x_n \)都是正數，試證\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+...+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+...+x_n \)。
設\( a_1,a_2,...,a_n \)皆為正數，求證：\( \displaystyle \sum_{k=1}^n a_k \le \frac{a_1^2}{a_2}+\frac{a_2^2}{a_3}+...+\frac{a_n^2}{a_1} \)
(94高中數學能力競賽 台南區筆試一試題，h ttp://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... _High_Tainan_01.pdf 連結已失效)
110.8.15補充
\(\displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\frac{x_3^2}{x_1}\ge x_1+x_2+x_3\)，\((x_1,x_2,x_3>0)\)
(97楊梅高中)
101.6.19補充
設\( x_1 \)，\( x_2 \)，…，\( x_n \)都是正數且\( n \ge 2 \)，試分別利用算幾不等式與數學歸納法兩種方法證明：
\( \displaystyle \frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_3}+\frac{x_3^2}{x_4}+……+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}+\frac{x_n^2}{x_1}\ge x_1+x_2+…+x_n \)
(101中正高中，[url]https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html[/url]) 不好意思
能否問一下老師們填充第6跟第7題
與計算證明題第4題 感謝:)
計算第一題
已知一個直角三角形\( ABC \)，\( \overline{BC} \)為斜邊，斜邊長為\( a \)，斜邊上的高為\( h \)，\(O\)為斜邊上的中點，今將斜邊\(n\)(\(n>1\)，\(n\)為奇數)等分，若\(P\)、\(Q\)為其中兩個等分點，且\( \displaystyle \overline{PQ}=\frac{a}{n} \)，\(O\)點介於\(P\)、\(Q\)之間，設\(∠PAQ=\alpha\)，請問\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}n tan \alpha=\)？[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2556[/url]
“計算第一題我的答案為\( \displaystyle \frac{4h}{a} \)，不知如何改為\( \displaystyle \frac{4 \sqrt{a^2-1}}{a^2} \)
我也是算這個答案。 想請教填充8
感謝
怎麼積答案都不對 填充第8題
求拋物線\( y=-x^2+2x \)與直線\( y=-x \)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為[u] [/u]。
[解答]
我是分段積(分別旋轉直線及拋物線,觀察所圍體積的狀況,接著求交點分段積)
[0,1]:積拋物線
[1,3]:積直線 扣除 [2,3]:積拋物線
更正如上
想請問填充6,9 計算3
感謝指導 [quote]原帖由 [i]JOE[/i] 於 2011-6-19 08:14 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3650&ptid=1144][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我是分段積(分別旋轉直線及拋物線,觀察所圍體積的狀況,接著求交點分段積)
[0,1]:積拋物線
[1,2]:積直線
[2,3]:積拋物線
想請問填充6,9 計算3
感謝指導 ... [/quote]
求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積為[u] [/u]。
[提示]
修改答案[color=red](20/3)π[/color]
[0,1]:積拋物線
[1,2]:積直線
[2,3]:積拋物線-直線
113.5.12補充
曲線\(y=-x^2+2x\)與直線\(x+y=0\)圍成封閉區域\(\Gamma\)，求\(\Gamma\)繞\(x\)軸旋轉所成的旋轉體體積=[u] [/u]。
(108全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3132&page=1#pid19867[/url])
求拋物線\(y=-x^2+2x\)與直線\(y=-x\)的圖形所圍成之封閉區域繞\(x\)軸旋轉一圈所得之旋轉體的體積[u] [/u]。
(101台中二中，[url]https://math.pro/db/thread-1367-1-1.html[/url])
將曲線\(y=1-x^2\)與直線\(x+y+1=0\)所圍成的封閉區域，繞\(x\)軸旋轉一圈所形成的旋轉體體積為[u] [/u]。
(113內湖高工，[url]https://math.pro/db/thread-3866-1-1.html[/url]) [quote]原帖由 [i]hua77825[/i] 於 2011-6-17 05:33 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3627&ptid=1144][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
不好意思
能否問一下老師們填充第6跟第7題
與計算證明題第4題 感謝:) [/quote]
填6
在空間中兩直線\( L_1 \)：\( \displaystyle \frac{x+5}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-2}{3} \)，\( L_2 \)：\( \displaystyle \frac{x+5}{3}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{2} \)，動點\(P\)到兩直線等距離，則\(P\)的軌跡方程式為[u] [/u]。
[解答]
這兩線有交點\( (-5,-1,2) \)
此兩方向向量長度相等,相加減之向量為角平分向量,適為平面之法向量
填7與計4
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2556]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2556[/url] 可以請問一下填充4嗎? 我怎麼算都是\( \displaystyle \frac{1-\sqrt{7}}{2} \)
請高手指點迷津>"<
填充4
設\(R\)代表坐標平面上由不等式\(1-\sqrt{4-y^2}\le x \le 0 \)所定義的區域，求函數\( 3x-y \)在區域\(R\)上的最小值為[u] [/u]。
回復 9# dennisal2000 的帖子
填充第 4 題：線性規劃，畫出可行解區域，如下
[img]http://i.imgur.com/pdKcs.png[/img]
\(\displaystyle \frac{|3\cdot1-0-k|}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}=2\Rightarrow k=3\pm2\sqrt{10}\)
其中，如圖中的左上角的切線是當 \(k=3-2\sqrt{10}\) 時（\(3x-y=k\) 的 \(y\) 截距有最大值）。
回復 10# weiye 的帖子
感謝 weiye老師~不過我還是有些疑惑的地方, 那個區域R是怎麼取出來的
題目是\( 1-\sqrt{4-y^2}\le x \le 0 \), 我會取後兩部份 得到老師你畫的R中再與\(y \le x\)取交集~
得到一個像扇型的小塊,因此x算出來都是\( \displaystyle \frac{1-\sqrt{7}}{2} \)
看來我還不懂這個不等式表達的區域>"<
煩請老師說明>"<
回復 11# dennisal2000 的帖子
先來畫\(1-\sqrt{4-y^2}=x\) （也就是畫 \(x-1=-\sqrt{4-y^2}\)）
是左半圓如下
[img]http://i.imgur.com/ytMkP.png[/img]
然後 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x\) 的圖形如下
[img]http://i.imgur.com/pfKFz.png[/img]
最後 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x\leq 0\) 的圖形是
[img]http://i.imgur.com/zmxDZ.png[/img]
我猜你的問題是在第二張圖吧～～
觀察第一張圖上的任意一點 \((x_0,y_0)\) 與該點水平向右移動任意一點 \((x_1,y_0)\)
恆有 \(1-\sqrt{4-y_0^2}=x_0\leq x_1\)
[img]http://i.imgur.com/s3SZ6.png[/img]
亦即 \((x_1,y_0)\) 必滿足 \(1-\sqrt{4-y_0^2}\leq x_1\)
所以「左半圓弧的右邊」任意點 \((x,y)\) 都會滿足 \(1-\sqrt{4-y^2}\leq x.\)
回復 12# weiye 的帖子
完全命中阿!!! >"<太感謝weiye老師了 (T0T) 想請教填充第3題 謝謝
設\(z\)為複數，若\( \displaystyle \frac{z-3}{z}=2(cos80^{\circ}+i sin80^{\circ}) \)，則複數\( \displaystyle \frac{z-1}{z} \)之主幅角為[u] [/u]。
回復 14# 阿光 的帖子
填充題第 3 題\(\displaystyle 1-\frac{3}{z} = 2\left(\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow 3-\frac{3}{z}=2\left(1+\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)
\(\displaystyle \Rightarrow 1-\frac{1}{z}=\frac{2}{3}\left(1+\cos80^\circ+i\sin80^\circ\right)\)
\(\displaystyle =\frac{2}{3}\left(2\cos^2 40^\circ + 2\sin40\cos40^\circ\right)\)
\(\displaystyle =\frac{4\cos40^\circ}{3}\left(\cos40^\circ+i\sin40^\circ\right)\)
\(\displaystyle 1-\frac{1}{z}\) 的主幅角為 \(40^\circ\) 且向徑為 \(\displaystyle \frac{4\cos40^\circ}{3}\)
另解，圖解，看附件。：） 填充七
若兩直線在\( y=ax^2 \)的頂點\(O\)互相垂直，且分別與拋物線交於\(A\)、\(B\)兩點，若\( \Delta OAB \)的最小面積為4，則\( a= \)[u] [/u]。
[解答]
假設坐標\(\displaystyle A(t,at^2)、B(s,as^2) \)
要滿足\(\displaystyle ts+a^2t^2s^2=0 \)
也就是\(\displaystyle a^2ts=-1 \)
可以知道\(\displaystyle t,s \)一正一負
計算三角形OAB面積\(\displaystyle (OAB) \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}|ats^2-at^2s| \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2}|ats||s-t| \)
\(\displaystyle =\frac{1}{2|a|}|t-s| \)
不妨假設\(\displaystyle t>0>s \)
\(\displaystyle t-s=t+(-s)\ge 2\sqrt{\frac{1}{a^2}}=\frac{1}{|a|} \)
所以三角形OAB面積的最小值就是
\(\displaystyle \frac{1}{a^2} \)
所以
\(\displaystyle \frac{1}{a^2}=4 \)
\(\displaystyle a=\pm\frac{1}{2} \) 計算一
已知一個直角三角形\( ABC \)，\( \overline{BC} \)為斜邊，斜邊長為\( a \)，斜邊上的高為\( h \)，\(O\)為斜邊上的中點，今將斜邊\(n\)(\(n>1\)，\(n\)為奇數)等分，若\(P\)、\(Q\)為其中兩個等分點，且\( \displaystyle \overline{PQ}=\frac{a}{n} \)，\(O\)點介於\(P\)、\(Q\)之間，設\(∠PAQ=\alpha\)，請問\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}n tan \alpha=\)？
[解答]
指令"\angle"失效~~~害我修了半天，一直不成功!!!
\(\displaystyle \alpha= ∠ QAH- ∠ PAH \)
\(\displaystyle \tan ∠ QAH=\frac{QH}{AH} \)
\(\displaystyle \tan ∠ PAH=\frac{PH}{AH} \)
所以
\(\displaystyle \tan\alpha=\frac{\frac{QH}{AH}-\frac{PH}{AH}}{1+\frac{QH}{AH}\times\frac{PH}{AH}} \)
\(\displaystyle =\frac{PQ \times AH}{AH^2+QH \times PH} \)
於是
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} n \tan\alpha=\frac{ah}{AH^2+OH^2} \)
\(\displaystyle =\frac{ah}{OA^2} \)
\(\displaystyle =\frac{4h}{a} \)
測試
\(\displaystyle \angle A \) 想請教一下：
這樣是否[0,1]時抛物線的旋轉範圍涵蓋直線的 ，所以只積抛物線
[1,2]時直線的旋轉範圍涵蓋抛物線的，所以只積直線
感恩解惑!!
[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2011-6-19 08:26 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3652&ptid=1144][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
修改答案(20/3)π
[0,1]:積拋物線
[1,2]:積直線
[2,3]:積拋物線-直線 [/quote] 可以以請教一下填充第10題嗎??高中數學101中p.366第2題有類似的...但我還是不懂怎麼由斜率看出範圍
設一線性規劃的可行解區域為如右圖所示之四邊形內部(含邊界)，直線\( \overline{AB} \)、\( \overline{AD} \)的斜率分別為\(-3\)、2，而目標函數為\( kx-y+3 \)。若已知\(A\)為此目標函數取得最大值之唯一的點，則\(k\)值的範圍要有限制。若以不等式表示，則\(k\)之範圍為[u] [/u]。
回復 19# natureling 的帖子
先觀察直線 \(kx-y+3=m\)，其中 \(k,m\) 為實數此直線的 \(y\) 截距為 \(3-m\)
題目說「\(kx-y+3\)」在 \(A\) 點有最大值，
也就是說
『對固定的 \(k\) 與變動的 \(m\) 所得的平行直線系中，
通過 \(A\) 點的那一條直線，
是所有平行直線系中 \(y\) 截距最小值的一條（如此才會有最大的 \(m\) 值）』
因此斜率 \(k\) 必須要大於 \(AD\) 的斜率，
如此所得的平行直線系中，
有最小 \(y\) 截距的直線才會唯一的是通過 \(A\) 點的那一條。
[attach]931[/attach]
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