100南港高工
題目請見附件 想問9.12~感謝各位高手! ^^ [quote]原帖由 [i]math614[/i] 於 2011-6-16 03:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3593&ptid=1143][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]想問9.12~感謝各位高手! ^^ [/quote]
#9
球心在三角形ABC所在的平面上投影必為內心
假設內切圓的半徑=r, s=(3+4+6)/2=13/2
三角形ABC面積=T=[(13/2)(13/2 -3)(13/2 -4)(13/2 -6)]^0.5 = (455)^0.5/ 4
r*s=T , r =T*2/13 =(455)^0.5 /26
球的半徑=3 ,
所求=(3^2 -455/26^2)^0.5 = (433 /52)^0.5 #12 自問自答 = ="|||
設 t = x-3 / x+1 => x = -t-3 / t-1 => f(t) + f( t-3 / t+1) = -t-3 / t-1
設 t = 3+x / 1-x => x = t-3 / t+1 => f(-t-3 / t-1) + f(t) = t-3 / t+1
兩式相加: 2f(x) + x = -8x / x^2 -1
f(x) = x^3+7x / 2-2x^2 想請問第3、8、10題 8.
若\( z \in C \)，\( |\; z |\;=1 \)，則\( |\; z^2-z+2 |\; \)的最小值為？
[解答]
設\( z=x+yi \)，\( x,y \in R \)則\( x^2+y^2=1 \)
\( z^2-z+2=(x+yi)^2-(x+yi)+2=(x^2-y^2-x+2)+y(2x-1)i=(2x^2-x+1)+y(2x-1)i \)
\( |\; z^2-z+2 |\;=\sqrt{(2x^2-x+1)^2-y^2(2x-1)^2}=\sqrt{(2x^2-x+1)^2+(1-x^2)(2x-1)^2} \)
\( \displaystyle =\sqrt{8x^2-6x+2}=\sqrt{8(x-\frac{3}{4})^2+\frac{7}{8}} \)
最小值\( \displaystyle \frac{\sqrt{14}}{4} \)
複數z滿足\( |\; z |\;=1 \)，求\( |\; z^3-3z-2 |\; \)的最大值和最小值及相應的複數z。
(奧數教程高二 第5講複數的概念與運算) 9.
想將一半徑3公分的球投進一個三角形的球框，因球太大被卡在框架上，若此三角形球框三邊長為3,4,6公分，則球心到此三角形所決定的平面的最短距離為[u] [/u]公分。
相關問題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1003&page=2#pid14609[/url]
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請問此題如何分解回復 4# math614 的帖子
不好意思請問一下M大在兩式相加的時候是怎麼加的呢
感謝:)
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第 3 題：設 \(f(x)=0\) 的三根為 \(a-d,a,a+d\)
則 \((a-d)+a+(a+d)=-3\Rightarrow a=-1\)
\(\Rightarrow f(-1)=0\)
設 \(g(x)=0\) 的三根為 \(\displaystyle\frac{b}{r},b,br\)
則 \(\displaystyle\frac{b}{r}\cdot b\cdot br=8\Rightarrow b=2\)
\(\Rightarrow g(2)=0\)
由 \(f(-1)=0\) 與 \(g(2)=0\)，
解聯立可得 \(m,n\) 之值。
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第 10 題：\(f(x)=x^3-3x^2-9x+k\)
\(\Rightarrow f'(x)=3x^2-6x-9\)
解 \(f'(x)=0, \) 可得 \(x=-1\) 或 \(3\)
[img]http://i.imgur.com/hgwqJ.png[/img]
因為 \(f(x)=0\) 有三相異實根，所以 \(f(-1)>0\) 且 \(f(3)<0\)
[img]http://i.imgur.com/QlC9x.png[/img]
且因為題目說 \(f(x)=0\) 有兩負根一正根，
所以 \(f(0)<0\)
[img]http://i.imgur.com/lSFKk.png[/img]
故，由 \(f(-1)>0,f(3)<0, f(0)<0\)
可解得 \(-5<k<0\) 謝謝瑋岳老師~^^
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第八題仿此法解不出來? 請教版上前輩填充
第1題,除硬做外還有甚麼方法
第2題,兩式平方相加,得cos(x-y),如何求sin(x+y)?
還有第6與7題,不知從何做起
謝謝 填充第 1 題
令 \(f(x)=x^4-3x^3+x^2-x+7\)
先找出「讓 \(\displaystyle \frac{1+\sqrt{13}}{2}\) 帶入之後會變成零」的最低次數有理係數多項式
\(\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{13}}{2}\Rightarrow 2x-1=\sqrt{13}\)
\(\displaystyle \Rightarrow (2x-1)^2=13\Rightarrow x^2-x-3=0\)
再來利用綜合除法，
把 \(f(x)\) 寫成 「\(\displaystyle (x^2-x-3)\cdot \mbox{商式}+\mbox{餘式}\)」
這樣要算 \(\displaystyle f(\frac{1+\sqrt{13}}{2})\) 就會比較好算了。 填充第 2 題
\(\displaystyle\frac{\sin\alpha+\sin\beta}{\cos\alpha+\cos\beta}=\frac{2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}}{2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha+\beta}{2}}=\tan\frac{\alpha-\beta}{2}\)
再利用 \(\displaystyle\sin(\alpha+\beta)=\frac{2\tan\frac{\alpha+\beta}{2}}{1+\tan^2\frac{\alpha+\beta}{2}}\) 填充第 6 題
設 \(x^4-6x^3+14x^2-3ax+a=(x^2-3x+p)(x^2-3x+q)\)
將左式展開之後，比較 \(x\) 的各次方項係數，可得
\(p+q+9=14, -3p-3q=-3a, pq=a\)
故，\(a+9=14\Rightarrow a=5\) 填充第 7 題
先將 \(5x^2-6xy+5y^2=32\) 利用旋轉消去 \(xy\) 項，
（ 中間步驟～～ \(a+c=10,a-c=-6\Rightarrow a=2,c=8\)
轉軸不影響常數項，所以旋轉後方程式為 \(2x^2+8y^2=32\) ）
可得橢圓方程式 \(x'^2+4y'^2=16\)
而所求 \(x^2+y^2=k\) 經旋轉仍然為圓，
所以，\(k\) 的最大值 \(M=16\), 最小值 \(m=4\) 謝謝瑋岳老師
豁然開朗 不好意思
我想要請教填充第13題
謝謝！
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