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大膽假設,小心求證。

weiye 發表於 2011-6-29 23:22

回復 21# kfy1987627 的帖子

第 13 題:將「南港愛我,我愛南港」8 個字全取排成一列,其中「南」與「港」兩字不相鄰之排法有___種。

解答:

先排「我我愛愛」有 \(\displaystyle\frac{4!}{2!2!}=6\) 種

然後再讓「南南港港」插空隙

可能的情況有四種「南南相鄰、港港相鄰」「南南相鄰、港港分開」「南南分開、港港相鄰」「南南分開、港港分開」

所以插空隙的方法有 \(C^5_1C^4_1+C^5_1C^4_2+C^5_2C^3_1+C^5_2C^3_2=110\) 種

所以,所求方法數為 \(6\times 110=660\) 種。

peter579 發表於 2011-7-2 23:46

請教第16題,有沒有類似的解法,謝謝。

JOE 發表於 2011-7-3 10:55

問了蠢問題  自刪

[[i] 本帖最後由 JOE 於 2011-7-3 08:13 PM 編輯 [/i]]

WAYNE10000 發表於 2012-2-12 20:36

16題

我用 矩陣算出 甲的期望值=16  所以乙的是=35-16=19

不知盲點在哪  請指教一下 謝謝!

weiye 發表於 2012-2-12 21:45

回復 25# WAYNE10000 的帖子

第 16 題:(速解)

經長期互換多次後呈現穩定狀態後,

錢幣總額 \(10+10+5+5+5=35\) 元,均分給五個硬幣,

每個硬幣價值的期望值為 \(35\div 5= 7\) 元

乙袋有 \(3\) 個硬幣,所以期望值為 \(3\times 7=21\) 元。




另解:(比較慢一點,但是是標準作法)

轉移矩陣 \(\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{1}{3}&\frac{1}{3}&0\\ \frac{2}{3}&\frac{1}{2}&1\\ 0&\frac{1}{6}&0\end{array}\right]\)

其中上方的三的狀態分別是甲有 5+5元、10+5元、10+10元,

轉移後的左方三的狀態分別是甲有 5+5元、10+5元、10+10元。

長期而言,設達穩定狀態的矩陣為 \(\displaystyle P=\left[\begin{array}{c}x\\y\\1-x-y\end{array}\right]\),

由 \(AP=P\),可解得 \(\displaystyle x=\frac{3}{10}, y=\frac{3}{5}\),

所以,長期而言,甲袋中金額的期望值為 \(\displaystyle 10\times \frac{3}{10}+15\times\frac{3}{5}+20\times\left(1-\frac{3}{10}-\frac{3}{5}\right)=14.\)

乙袋金額的期望值為 \(35-14=21\) 元。



相同題目:99台中二中,[url]https://math.pro/db/thread-934-1-1.html[/url] 計算第 5 題



103.03.22 補充 -----------------------------------------------------------------------------------------

有朋友跟我說他對轉移矩陣內的數字怎麼來的不太懂,補充說明如下:

甲有 5+5 (乙就有 10+10+5 元)

甲袋不管怎麼拿都會拿出 5 元

乙袋有 2/3 的機率拿到 10 元,有 1/3 的機率拿到 5 元,

因此,兩袋各取一枚硬幣交換的話,

有 1/3 的機率交換後,甲袋還是有 5+5 元。

有 2/3 的機率交換後,甲袋變成 10+5 元。

有 0 的機率(也就是不可能),甲袋會變成 10+10 元。

所以第一行的機率是 1/3, 2/3, 0


----------------------------------------

甲有 10+5 (乙就有 10+5+5 元)

甲袋有 1/2 的機率拿到 10 元,有 1/2 的機率拿到 5 元,

乙袋有 1/3 的機率拿到 10 元,有 2/3 的機率拿到 5 元,

因此,兩袋各取一枚硬幣交換的話,

有 (1/2)*(2/3)=1/3 的機率交換後(甲袋拿出10元,乙袋拿出5元來交換),甲袋會變成有 5+5 元。

有 (1/2)*(1/3)+(1/2)*(2/3)=1/2 的機率交換後(甲乙袋都拿出10元交換,或是甲乙袋都拿出5元來交換),甲袋還是有 10+5 元。

有 (1/2)*(1/3)=1/6 的機率(甲袋拿出5元,乙袋拿出10元來交換),甲袋會變成 10+10 元。

所以第一行的機率是 1/3, 1/2, 1/6

---------------------------------

同理,第三行留給你寫。

waitpub 發表於 2012-3-13 22:30

回復 6# bugmens 的帖子

配方之後x=8分之3,而非4分之3吧?

waitpub 發表於 2012-3-13 22:56

請問第11題,下列哪一個步驟錯了?

由\(10-x^2 \ge 0 \)得到\(-\sqrt{10} \leq x  \leq \sqrt{10} \)
再由\( 10-x^2>(x+2)^2 \)得到-3<X<1
交集得-3<x<1

weiye 發表於 2012-3-13 23:12

回復 28# waitpub 的帖子

您將 \(\sqrt{10-x^2}>x+2\) 兩邊同時平方的動作,做得太快了一點~

它與 \(10-x^2>(x+2)^2\) 並不全然可以等價~

要是右邊負很多~左邊正很小~

像是當 \(-\sqrt{10}<x\leq -3\) 時,這兩個不等式就沒有等價。




解答:

因為 \(\sqrt{10-x^2}\) 有意義,

所以 \(10-x^2\geq0\Rightarrow -\sqrt{10}\leq x\leq \sqrt{10}\)

case i: 若 \(x+2<0\) 時,即 \(-\sqrt{10}\leq x<-2\) 時,

    因為 \(\sqrt{10-x^2}\geq0>x+2\) 必成立,

    得 \(-\sqrt{10}\leq x<-2\)。

case ii: 若 \(x+2\geq0\),即 \(-2\leq x\leq \sqrt{10}\) 時,

    \(\sqrt{10-x^2}>x+2\geq 0\Rightarrow 10-x^2>(x+2)^2\)

    \(\Rightarrow -3<x<1\),且因為 \(-2\leq x\leq\sqrt{10}\)

    得 \(-2\leq x<1\)

由 case i&ii,可得 \(-\sqrt{10}\leq x<1.\)

arend 發表於 2013-4-15 22:31

請教函數一題

第 12 題:

|x|=\ 1
若f(x-3/x+1)+f(3+x/1-x)=x 求 f(x)

謝謝
試很久,都做不出來
請版上高手開釋一下

weiye 發表於 2013-4-15 22:55

回復 1# arend 的帖子

第 12 題:

已知 \(|x|\neq 1\),若 \(\displaystyle f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x\),求 \(f(x)\)

解:

\(\displaystyle f(\frac{x-3}{x+1})+f(\frac{3+x}{1-x})=x\) ‧‧‧(i)

令 \(\displaystyle a=\frac{x-3}{x+1}\),則 \(\displaystyle x=\frac{3+a}{1-a}\)

帶入(i),可得 \(\displaystyle f(a)+f(\frac{a-3}{a+1})=\frac{3+a}{1-a}\)

       即 \(\displaystyle f(x)+f(\frac{x-3}{x+1})=\frac{3+x}{1-x}\) ‧‧‧(ii)

令 \(\displaystyle b=\frac{3+x}{1-x}\),則 \(\displaystyle x=\frac{b-3}{b+1}\)

帶入(i),可得 \(\displaystyle f(\frac{3+b}{1-b})+f(b)=\frac{b-3}{b+1}\)

       即 \(\displaystyle f(\frac{3+x}{1-x})+f(x)=\frac{x-3}{x+1}\)  ‧‧‧(iii)

由 [(iii)+(ii)-(i)]/2,可得 \(\displaystyle f(x)=\frac{x^3+7x}{2-2x^2}\)


ps. 1. 這是哪一間學校的題目呀?好像有看過這題!

  2. 感謝 俞克斌 老師提醒我最後答案的計算錯誤。現已修正。:D

arend 發表於 2013-4-16 00:49

回復 2# weiye 的帖子

謝謝瑋岳老師
我只做到(1),就卡住了
再次謝謝你

PS:題目好像是台北某高工100年教甄考題

tsusy 發表於 2013-4-16 08:52

回復 2# weiye 的帖子

這是 100南港高工的考題

順帶補充其它類題

解函數方程 \( f(x)+\log x\cdot f(\frac{1}{x})=2^{x} \),其中 \(x>0\)。      (100家齊女中)

設函數 \(f(x)\)  滿足 \(f(x)-2f(\frac{1}{x})=x\),則 \(f(x)=\underline{\qquad\qquad}\) 。     (99安樂高中2招)

設 \(f(x)\)  為實函數且滿足 \(3f(x)-2f(\frac{1}{x})-\frac{5}{x}=0\) ,則 \(f^{2}(x)\)  的最小值為 \(\underline{\qquad\qquad} \)。     (99師大附中)

已知 \( x \) 為不等於零的正實數且滿足 \( 3f(5x^{2})+2f(\frac{1}{5x^{2}})=25x \),求 \( f(5) \)  之值。(100台南區)

若 \( f(x) \) 是一實函數,滿足 \( f(0)=1 \) 且 \( 2f(x)-f(\frac{1}{x})+\frac{1}{x}=0 \),其中 \( x\neq0 \),則 \( |f(x)| \) 的最小值為 \( \underline{\qquad} \)。     (98三區)

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2013-4-16 08:22 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2013-4-16 09:31

回復 33# tsusy 的帖子

感謝寸絲老師~

為了方便後人查詢~那我就把這篇併入"100南港高工"囉~感謝! :D

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