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Herstein 發表於 2011-6-15 22:56

100中正預校

1.平行四邊形ABCD，P為內部一點，三角形PAB面積 =2，三角形PBC面積=5，求三角形PBD的面積?
[attach]531[/attach]

2.試證任意五個正整數必有三數和為三的倍數

我想問這兩題，謝謝

weiye 發表於 2011-6-16 00:10

第 2  題：對於任意五個整數，被三除的餘數只有可能為 0,1,2
　　　　case i: 若此五數被三除的餘數是 0,1,2 三類的餘數都有，則
　　　　　　　　因為 \(3k_1+(3k_2+1)+(3k_3+2)\equiv 0\pmod3,\)
　　　　　　　　所以，必有三數和為三的倍數。

　　　　case ii: 若此五數被三除的餘數至多只有兩類，
　　　　　　　　則由鴿籠原理，至少有一類的個數會有三個或三個以上，
　　　　　　　　不管是哪一類的個數有三個以上，
　　　　　　　　因為 \(3k_1+3k_2+3k_3\equiv 0\pmod3,\)
　　　　　　　　　　 \((3k_1+1)+(3k_2+1)+(3k_3+1)\equiv 0\pmod3,\)
　　　　　　　　　　 \((3k_1+2)+(3k_2+2)+(3k_3+2)\equiv 0\pmod3,\)
　　　　　　　　所以，必有三個數字的和為三個倍數。

延伸：[url=https://math.pro/db/thread-538-1-1.html]https://math.pro/db/thread-538-1-1.html[/url]

紫月 發表於 2011-6-16 00:55

第1題:
設平行四邊形面積 = A
由\( PAD +  PBC = \frac{A}{2} ； BAD = \frac{A}{2} \)
PBD =  BAD -  PAD -  PAB
\( = \frac{A}{2} - (\frac{A}{2}-5) -2 \)
=3

[[i] 本帖最後由 紫月 於 2011-6-16 01:01 AM 編輯 [/i]]

Herstein 發表於 2011-6-16 09:37

回復 3# 紫月 的帖子

為什麼PAD+PBC = A/2 ??

weiye 發表於 2011-6-16 09:49

ΔPAD+ΔPBC = (1/2)*AD*PE + (1/2)*BC*PF =(1/2)*BC*(PE+PF) = (1/2)*BC*EF = (1/2)*平行四邊形ABCD

[img]http://i.imgur.com/TrZUD.png[/img]

紫月 發表於 2011-6-16 11:11

感謝瑋岳老師的說明，有圖形非常清楚！

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