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當最困難的時候,
也就是離成功不遠的時候。

八神庵 發表於 2011-6-15 15:06

100麗山高中

如附件
但是題目卷無法打開....是Office2007的docx檔
有誰可以把它轉成一般的word的doc檔嗎?
轉好請掛在本頁面
SOS....HELP ME!

weiye 發表於 2011-6-15 15:54

pdf & doc 版題目卷

紫月 發表於 2011-6-15 23:15

第11題,這樣子會存在最大值嗎??

weiye 發表於 2011-6-16 09:02

回復 3# 紫月 的帖子

第 11 題:設 \(a\geq b\geq c\geq-2\) 且 \(3a + 2b - c = 4\),則 \(a + 2b + c\) 之最大值=?

解答:

令 \(x=a-b, y=b-c, z=c+2\)

\(3a + 2b - c = 4\)

\(\Rightarrow 3(a-b)+5(b-c)+4(c+2)=12\)

\(\Rightarrow 3x+5y+4z=12\)

則要滿足的限制條件為 \(3x+5y+4z=12,x\geq0,y\geq0,\) 且 \(z\geq0\)

滿足條件的區域為一個三角形,

且此三角形的各頂點為 \((4,0,0), (0,\frac{12}{5},0),(0,0,3)\)


再來研究目標函數~

\(a + 2b + c = (a-b)+3(b-c)+4(c+2)-8\)

    \(=x+3y+4z-8\)

目標函數為 \(x+3y+4z-8\)

將各頂點帶入,可知當 \((x,y,z)=(0,0,3)\) 時,

       \(x+3y+4z-8=4\) 為最大值,

       亦即,當 \((a,b,c)=(1,1,1)\) 時,

       \(a + 2b + c=4\) 為最大值。

RainIced 發表於 2011-6-22 23:30

老師你好,想請問第九題、第十題,謝謝。

[[i] 本帖最後由 RainIced 於 2011-6-22 11:31 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2011-6-23 00:05

回復 5# RainIced 的帖子

填充第 9 題

令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)

把左式用分離係數法乘開如下:

[attach]577[/attach]


註:解完才發現,thepiano 老師的解法更棒~詳見 [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349[/url]

weiye 發表於 2011-6-23 08:27

回復 5# RainIced 的帖子

填充第 10 題:

因為 \(a>0,b>0\) 且 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)

所以,令 \(a+b=2k, a^2+ab+b=11k\),其中 \(k\) 為正整數,



\(a^2+ab+b=11k\)

\(\Rightarrow a(a+b)+b=11k\)

\(\Rightarrow 2ak+b=11k\)

\(\Rightarrow b=k(11-2a)>0\)

\(\Rightarrow 11-2a>0\)

\(\displaystyle \Rightarrow 0<a<\frac{11}{2}\)

\(a=1,2,3,4,\mbox{ 或 }5\)

帶入 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)

可解得只有 \((a,b)=(5,5)\) 會使得 \(a,b\) 皆為正整數,

但是,題目有說 \(a>b,\)

所以此題無解。

註:亦可參見 thepiano 老師更快的解法步驟:[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349[/url] ^__^

martinofncku 發表於 2011-6-23 14:14

您好,我想請問 2. 4. 兩題

您好,我想請問 2. 4. 兩題

weiye 發表於 2011-6-23 19:11

回復 8# martinofncku 的帖子

填充第 2 題

令 \(f(x)=(x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{31}x^{31}\)

則 \(f'(x)=(x+1)^{30}+(x-1)\cdot30(x+1)^{29}\)

\(a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=f'(1)=2^{30}\)

且因為 \(a_0=f(0)=-1\)

所以,\(a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=2^{30}-1=1024\times1024\times1024-1=1073741823.\)

weiye 發表於 2011-6-23 19:22

回復 8# martinofncku 的帖子

填充第 4 題

因為 \(B(p,q)\) 點位在 \(x-y-1=0\) 直線上,

所以 \(p-q-1=0\Rightarrow p-q=1\)

\(\displaystyle x+y=\frac{p}{p^2-q^2}+\frac{q}{p^2-q^2}=\frac{p+q}{p^2-q^2}=\frac{1}{p-q}=1\)

\(\Rightarrow x+y-1=0\)

故,\(A(x,y)\) 點位在 \(x+y-1=0\) 直線上。




至於能否證明 \(A\) 的軌跡就是一整條直線~~~

\(\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}=\frac{p}{(p-q)(p+q)}\)

 \(\displaystyle =\frac{p}{p+q}=\frac{p}{p+(p-1)}\)

 \(\displaystyle =\frac{p}{2p-1}\)

\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{x}{2x-1}\)

故,只要 \(x\) 不等於 \(\displaystyle \frac{1}{2}\),都可以找到 \(\displaystyle p=\frac{x}{2x-1}\)。

使得 \(B(p,q)\) 對應的 \(A(x,y)\) 落在 \(x+y-1=0\) 直線上。


至於 \(x+y-1=0\) 直線上的點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)

似乎找不到對應的 \(B(p,q)\) ?

所以答案應該是~~~~ \(x+y-1=0\) 扣掉一點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\).



不知以上討論是否有疏漏的地方?^__^

martinofncku 發表於 2011-6-23 23:04

請問我那邊做錯了呢?

謝謝您的回答!那我還想問,請問我那邊做錯了呢?

∵\(B\)點在\(x-y-1=0\)上
∴\(p-q-1=0\)
⇒\( \displaystyle \frac{p}{p^2-q^2}-\frac{q}{p^2-q^2}-\frac{1}{p^2-q^2}=0 \)
⇒\( \displaystyle x-y-\frac{1}{p^2-q^2}=0 \)

weiye 發表於 2011-6-23 23:11

回復 11# martinofncku 的帖子

不是做錯,是沒做完~~

題目要求 \(A\) 點軌跡方程式,

就是要求 \(x,y\) 要滿足的關係式,

而你列的式子最後還是有在變動的 \(p,q\)

而不是單純只有 \(x,y\) 。

martinofncku 發表於 2011-6-23 23:18

回復 12# weiye 的帖子

不好意思,我比較笨一點。可是,p,q不是題目給的常數嗎?

weiye 發表於 2011-6-23 23:21

回復 13# martinofncku 的帖子

不是,

\(p,q\) 是變數,

\(B(p,q)\) 是位在 \(x-y-1=0\) 直線上的動點。

如果 \(p,q\) 是常數的話,

那 \(\displaystyle A(x,y)=(\frac{p}{p^2-q^2},\frac{q}{p^2-q^2})\) 就是定點了,

何必求軌跡方程式呢?:P

martinofncku 發表於 2011-6-23 23:32

回復 14# weiye 的帖子

我懂了,真地很謝謝您!

RainIced 發表於 2011-6-24 06:48

老師好,我想請問第14題。

-------------------------------------------------------------

以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答,
令 AB = x,∠BAC = 2θ,AD 平分 ∠BAC,交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) * x * 3 * sinθ + (1/2) * (15/x) * 3 * sinθ = (1/2) * 15 * sin2θ
cosθ = (1/10)(x + 15/x) ≧ (1/10) * 2√15 = √15 / 5
sin ≦ √10 / 5
但是之後我就看不懂了,所以想多問問,謝謝老師。

八神庵 發表於 2011-6-28 17:35

[quote]原帖由 [i]RainIced[/i] 於 2011-6-24 06:48 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3794&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
老師好,我想請問第14題。

-------------------------------------------------------------

以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答,
令 AB = x,∠BAC = 2θ,AD 平分 ∠BAC,交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2)  ... [/quote]
參考一下附檔
希望這樣的解說你看得比較清楚

順便向各位請教一下第12題

[[i] 本帖最後由 八神庵 於 2011-6-28 08:41 PM 編輯 [/i]]

老王 發表於 2011-6-29 16:28

回復 16# RainIced 的帖子

14題
老樣子,我都會去想如何做出這樣的三角形

假設角A的平分線與BC交於D,那麼由\( AD^2=AB \times AC-BD \times CD \)
可以得到\( BD \times CD=6 \)
又\( AB:AC=BD:CD \)
可以得到\( AB^2:BD^2=5:2 \),也就是 \( AB:BD=\sqrt5:\sqrt2=AI:ID \),其中I為內心
這告訴我們內心位置是固定的
就可以控制內切圓半徑r,去做出三角形ABC,作法是
作線段AD,並取出I
已I為心,r為半徑作內切圓
過A作圓的兩條切線
過D作圓的一條切線
此三切線所圍的三角形就是三角形ABC

因為\( AB \times AC \)是定值,所以過A的兩切線夾角越大,三角形ABC面積就越大;
顯然r的限制是\( r \le ID \)
所以當\( r=ID \)時夾角最大,此時三角形對稱於AD,為等腰三角形,簡單計算就可以得到答案。

阿光 發表於 2011-8-7 20:43

想請教第5,6,18,19,24題 一次麻煩老師解這麼多題,真不好意思

weiye 發表於 2011-8-7 22:23

回復 19# 阿光 的帖子

第 6 題:

因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓,

所以 \(\overline{CD}\) 為直徑,

\(\displaystyle \overline{CD} = \frac{\overline{AC}\times \overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{24}{5}\)

因為 \(\angle FCE=90^\circ\)

所以 \(\overline{EF}\) 亦為圓 \(O\) 的直徑,

故, \(\displaystyle \overline{EF}=\overline{CD}=\frac{24}{5}.\)


第 18 題:
如圖(三),一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點,若\(\overline{CF}=1\),\(\overline{FG}=13\),\(\overline{AG}=2\),\(\overline{HI}=7\),則\(\overline{DE}=\)[u]   [/u]。
[解答]
此正三角形邊長 \(=1+13+2=16\)

\(\overline{AF}\times \overline{AG} = \overline{AH}\times \overline{HI}\)

  \(\Rightarrow 15\times2=\overline{AH}\times(\overline{AH}+7)\)

  \(\Rightarrow \overline{AH}=3\)

  \(\Rightarrow \overline{BI}=16-(7+3)=6\)

令 \(\overline{CE}=x, \overline{BD}=y\)

由 \(\overline{CF}\times \overline{CG}=\overline{CE}\times \overline{CD}\)

  且 \(\overline{BI}\times \overline{BH}=\overline{BD}\times \overline{BE}\)

可得 \(x(16-y)=14\) 且 \(y(16-x)=78\)

兩式相減,再以帶入消去法,

可解得 \(x=6-\sqrt{22}, y=10-\sqrt{22}\)

故,\(\overline{DE}=16-(x+y)=2\sqrt{22}.\)

113.5.8補充
如右圖,圓與正三角形\(\Delta ABC\)的三邊交出6個點,如果\(\overline{AG}=2\)、\(\overline{GF}=13\)、\(\overline{FC}=1\)、\(\overline{HI}=7\),試求\(\overline{DE}=\)[u]   [/u]。
(113台北市立陽明高中,[url]https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html[/url])






第 24 題

第 1 小題

[img]http://i.imgur.com/o3FtI.jpg[/img]

如圖,先塗紅色區域,再塗藍色區域,

然後每兩個為一組塗色區域,

可得所求=\((5\times 4)\times(1\times4+3\times3)^7=20\times 13^7\)

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