100麗山高中
如附件但是題目卷無法打開....是Office2007的docx檔
有誰可以把它轉成一般的word的doc檔嗎?
轉好請掛在本頁面
SOS....HELP ME! pdf & doc 版題目卷 第11題，這樣子會存在最大值嗎??
回復 3# 紫月 的帖子
第 11 題：設 \(a\geq b\geq c\geq-2\) 且 \(3a + 2b - c = 4\)，則 \(a + 2b + c\) 之最大值＝？解答：
令 \(x=a-b, y=b-c, z=c+2\)
\(3a + 2b - c = 4\)
\(\Rightarrow 3(a-b)+5(b-c)+4(c+2)=12\)
\(\Rightarrow 3x+5y+4z=12\)
則要滿足的限制條件為 \(3x+5y+4z=12,x\geq0,y\geq0,\) 且 \(z\geq0\)
滿足條件的區域為一個三角形，
且此三角形的各頂點為 \((4,0,0), (0,\frac{12}{5},0),(0,0,3)\)
再來研究目標函數～
\(a + 2b + c = (a-b)+3(b-c)+4(c+2)-8\)
\(=x+3y+4z-8\)
目標函數為 \(x+3y+4z-8\)
將各頂點帶入，可知當 \((x,y,z)=(0,0,3)\) 時，
\(x+3y+4z-8=4\) 為最大值，
亦即，當 \((a,b,c)=(1,1,1)\) 時，
\(a + 2b + c=4\) 為最大值。 老師你好，想請問第九題、第十題，謝謝。
回復 5# RainIced 的帖子
填充第 9 題已知\(a,b\)為實數，若\(ax^{17}+bx^{16}+1\)能被\(x^2-x-1\)整除，則\(a=\)[u] [/u]。
[解答]
令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)
把左式用分離係數法乘開如下：
[attach]577[/attach]
註：解完才發現，thepiano 老師的解法更棒～詳見 [url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349[/url]
回復 5# RainIced 的帖子
填充第 10 題：設\(a,b\)皆為正整數，且\(a>b\)，若\(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}=\frac{2}{11}\)，則序對\((a,b)=\)[u] [/u]。
[解答]
因為 \(a>0,b>0\) 且 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)
所以，令 \(a+b=2k, a^2+ab+b=11k\)，其中 \(k\) 為正整數，
則
\(a^2+ab+b=11k\)
\(\Rightarrow a(a+b)+b=11k\)
\(\Rightarrow 2ak+b=11k\)
\(\Rightarrow b=k(11-2a)>0\)
\(\Rightarrow 11-2a>0\)
\(\displaystyle \Rightarrow 0<a<\frac{11}{2}\)
\(a=1,2,3,4,\mbox{ 或 }5\)
帶入 \(\displaystyle \frac{a+b}{a^2+ab+b}=\frac{2}{11}\)
可解得只有 \((a,b)=(5,5)\) 會使得 \(a,b\) 皆為正整數，
但是，題目有說 \(a>b,\)
所以此題無解。
註：亦可參見 thepiano 老師更快的解法步驟：[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6349#p6349[/url] ^__^
您好，我想請問 2. 4. 兩題
您好，我想請問 2. 4. 兩題回復 8# martinofncku 的帖子
填充第 2 題若\((x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\ldots+a_{31}x^{31}\)，試求\(a_0+a_1+2a_2+3a_3+\ldots+31a_{31}=\)[u] [/u]。
[解答]
令 \(f(x)=(x-1)(x+1)^{30}=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_{31}x^{31}\)
則 \(f'(x)=(x+1)^{30}+(x-1)\cdot30(x+1)^{29}\)
\(a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=f'(1)=2^{30}\)
且因為 \(a_0=f(0)=-1\)
所以，\(a_0+a_1+2a_2+3a_3+\cdots+31a_{31}=2^{30}-1=1024\times1024\times1024-1=1073741823.\)
回復 8# martinofncku 的帖子
填充第 4 題已知兩點\(A(x,y)\)，\(B(p,q)\)，且\(\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}\)，\(\displaystyle y=\frac{q}{p^2-q^2}\)，\((p\ne q)\)，若\(B\)點在直線\(x-y-1=0\)上運動，則\(A\)點的軌跡方程式為=[u] [/u]。
[解答]
因為 \(B(p,q)\) 點位在 \(x-y-1=0\) 直線上，
所以 \(p-q-1=0\Rightarrow p-q=1\)
\(\displaystyle x+y=\frac{p}{p^2-q^2}+\frac{q}{p^2-q^2}=\frac{p+q}{p^2-q^2}=\frac{1}{p-q}=1\)
\(\Rightarrow x+y-1=0\)
故，\(A(x,y)\) 點位在 \(x+y-1=0\) 直線上。
至於能否證明 \(A\) 的軌跡就是一整條直線～～～
\(\displaystyle x=\frac{p}{p^2-q^2}=\frac{p}{(p-q)(p+q)}\)
\(\displaystyle =\frac{p}{p+q}=\frac{p}{p+(p-1)}\)
\(\displaystyle =\frac{p}{2p-1}\)
\(\displaystyle \Rightarrow p=\frac{x}{2x-1}\)
故，只要 \(x\) 不等於 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)，都可以找到 \(\displaystyle p=\frac{x}{2x-1}\)。
使得 \(B(p,q)\) 對應的 \(A(x,y)\) 落在 \(x+y-1=0\) 直線上。
至於 \(x+y-1=0\) 直線上的點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)
似乎找不到對應的 \(B(p,q)\) ？
所以答案應該是～～～～ \(x+y-1=0\) 扣掉一點 \(\displaystyle (\frac{1}{2},\frac{1}{2})\).
不知以上討論是否有疏漏的地方？^__^
請問我那邊做錯了呢？
謝謝您的回答！那我還想問，請問我那邊做錯了呢？∵\(B\)點在\(x-y-1=0\)上
∴\(p-q-1=0\)
⇒\( \displaystyle \frac{p}{p^2-q^2}-\frac{q}{p^2-q^2}-\frac{1}{p^2-q^2}=0 \)
⇒\( \displaystyle x-y-\frac{1}{p^2-q^2}=0 \)
回復 11# martinofncku 的帖子
不是做錯，是沒做完~~題目要求 \(A\) 點軌跡方程式，
就是要求 \(x,y\) 要滿足的關係式，
而你列的式子最後還是有在變動的 \(p,q\)
而不是單純只有 \(x,y\) 。
回復 12# weiye 的帖子
不好意思，我比較笨一點。可是，p,q不是題目給的常數嗎？回復 13# martinofncku 的帖子
不是，\(p,q\) 是變數，
\(B(p,q)\) 是位在 \(x-y-1=0\) 直線上的動點。
如果 \(p,q\) 是常數的話，
那 \(\displaystyle A(x,y)=(\frac{p}{p^2-q^2},\frac{q}{p^2-q^2})\) 就是定點了，
何必求軌跡方程式呢？：Ｐ
回復 14# weiye 的帖子
我懂了，真地很謝謝您！ 老師好，我想請問第14題。-------------------------------------------------------------
以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答，
令 AB = x，∠BAC = 2θ，AD 平分 ∠BAC，交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) * x * 3 * sinθ + (1/2) * (15/x) * 3 * sinθ = (1/2) * 15 * sin2θ
cosθ = (1/10)(x + 15/x) ≧ (1/10) * 2√15 = √15 / 5
sin ≦ √10 / 5
但是之後我就看不懂了，所以想多問問，謝謝老師。 [quote]原帖由 [i]RainIced[/i] 於 2011-6-24 06:48 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3794&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
老師好，我想請問第14題。
-------------------------------------------------------------
以下是我從美夢成真教甄討論區參考到的解答，
令 AB = x，∠BAC = 2θ，AD 平分 ∠BAC，交 BC 於 D
△ABD + △ACD = △ABC
(1/2) ... [/quote]
參考一下附檔
希望這樣的解說你看得比較清楚
\(\displaystyle cos\theta\ge \frac{\sqrt{15}}{5}\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{5}\le cos\theta<1\)
\(\displaystyle 0<\theta\le \phi\left(\phi=arccos\frac{\sqrt{15}}{5}\right)<\frac{\pi}{4}\)(最後的一個小於是為了確定\(2\theta\)的範圍)
\(\displaystyle 0<2\theta\le 2\phi<\frac{\pi}{2}\)
\(0<sin2\theta\le sin2\phi\)
等號成立時\(\theta=\phi\)，此時\(\displaystyle sin\theta=\frac{\sqrt{10}}{5}\)
\(\displaystyle sin2\theta=2sin\theta cos\theta=2\frac{\sqrt{10}}{5}\frac{\sqrt{15}}{5}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\)
順便向各位請教一下第12題
回復 16# RainIced 的帖子
14題已知\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}\times \overline{AC}=15\)，\(\angle A\)的角平分線長為3，則\(\triangle ABC\)的最大面積為何？
[解答]
老樣子，我都會去想如何做出這樣的三角形
假設角A的平分線與BC交於D，那麼由\( AD^2=AB \times AC-BD \times CD \)
可以得到\( BD \times CD=6 \)
又\( AB:AC=BD:CD \)
可以得到\( AB^2:BD^2=5:2 \)，也就是 \( AB:BD=\sqrt5:\sqrt2=AI:ID \)，其中I為內心
這告訴我們內心位置是固定的
就可以控制內切圓半徑r，去做出三角形ABC，作法是
作線段AD，並取出I
已I為心，r為半徑作內切圓
過A作圓的兩條切線
過D作圓的一條切線
此三切線所圍的三角形就是三角形ABC
因為\( AB \times AC \)是定值，所以過A的兩切線夾角越大，三角形ABC面積就越大；
顯然r的限制是\( r \le ID \)
所以當\( r=ID \)時夾角最大，此時三角形對稱於AD，為等腰三角形，簡單計算就可以得到答案。 想請教第5,6,18,19,24題 一次麻煩老師解這麼多題,真不好意思
回復 19# 阿光 的帖子
第 6 題：如圖(二)，\(\triangle ABC\)中，\(\overline{AB}=10\)，\(\overline{AC}=8\)，\(\overline{BC}=6\)，圓\(O\)為過\(C\)且與\(\overline{AB}\)相切的最小圓，圓\(O\)交\(\overline{BC}\)於\(E\)，交\(\overline{AC}\)於\(F\)，則\(\overline{EF}\)的長為=[u] [/u]。
[解答]
因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓，
所以 \(\overline{CD}\) 為直徑，
\(\displaystyle \overline{CD} = \frac{\overline{AC}\times \overline{BC}}{\overline{AB}}=\frac{24}{5}\)
因為 \(\angle FCE=90^\circ\)
所以 \(\overline{EF}\) 亦為圓 \(O\) 的直徑，
故， \(\displaystyle \overline{EF}=\overline{CD}=\frac{24}{5}.\)
第 18 題：
如圖(三)，一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點，若\(\overline{CF}=1\)，\(\overline{FG}=13\)，\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{HI}=7\)，則\(\overline{DE}=\)[u] [/u]。
[解答]
此正三角形邊長 \(=1+13+2=16\)
\(\overline{AF}\times \overline{AG} = \overline{AH}\times \overline{HI}\)
\(\Rightarrow 15\times2=\overline{AH}\times(\overline{AH}+7)\)
\(\Rightarrow \overline{AH}=3\)
\(\Rightarrow \overline{BI}=16-(7+3)=6\)
令 \(\overline{CE}=x, \overline{BD}=y\)
由 \(\overline{CF}\times \overline{CG}=\overline{CE}\times \overline{CD}\)
且 \(\overline{BI}\times \overline{BH}=\overline{BD}\times \overline{BE}\)
可得 \(x(16-y)=14\) 且 \(y(16-x)=78\)
兩式相減，再以帶入消去法，
可解得 \(x=6-\sqrt{22}, y=10-\sqrt{22}\)
故，\(\overline{DE}=16-(x+y)=2\sqrt{22}.\)
113.5.8補充
如右圖，圓與正三角形\(\Delta ABC\)的三邊交出6個點，如果\(\overline{AG}=2\)、\(\overline{GF}=13\)、\(\overline{FC}=1\)、\(\overline{HI}=7\)，試求\(\overline{DE}=\)[u] [/u]。
(113台北市立陽明高中，[url]https://math.pro/db/thread-3864-1-1.html[/url])
第 24 題
如下圖，麗山高中的\(L\)形圖騰由一些方格所構成
(1)用5種顏色來塗這些方格，規定相鄰的格子必須著不同色，顏色可重複使用，則著色方法有[u] [/u]種。
(2)若用\(2\times1\)恰兩個方格大小的長方形磁磚來鋪這個\(L\)形的圖騰，規定不能敲碎磁磚，且須剛好鋪滿整個\(L\)形的圖騰，則鋪法有[u] [/u]種。
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[解答]
第 1 小題
[img]http://i.imgur.com/o3FtI.jpg[/img]
如圖，先塗紅色區域，再塗藍色區域，
然後每兩個為一組塗色區域，
可得所求＝\((5\times 4)\times(1\times4+3\times3)^7=20\times 13^7\)