回復 38# waitpub 的帖子
n 不可能是無限大，r 也不可能是 1，
因為 \(100\leq a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n\leq 1000 \)
100 到 1000 中至多只有 901 個[color=red]相異[/color]的數！
回復 39# waitpub 的帖子
如附件的表格，由最左上角那一格填起，那一格只有兩種可能～：） 9.已知a,b為實數，若\( ax^{17}+bx^{16}+1 \)能被\( x^2-x-1 \)整除，則a=？
(1988AIME，94嘉義女中，2006TRML團體賽)
(100楊梅高中，[url]https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html[/url])
12.
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是由正整數所組成的等比數列，而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <... a_n \le \)。試求n的最大值，且其公比為r，則此(n,r)=？
Find the longest possible geometric progression in {100, 101, 102, ... , 1000}.
(4th Canadian Mathematical Olympiad Problems 1972，[url]https://schoolexercisebooks.blogspot.com/2010/09/4th-canadian-mathematical-olympiad.html[/url])
已知\( a_1、a_2、...、a_n \)是由正整數所組成的等比數列，而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <...< a_n \le 1000 \)。
(91高中數學能力競賽 獨立研究試題二，[url]http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2003_Taiwan_High_Indp_02.pdf[/url])
113.5.11補充
15.
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(\cases{f(x+3)\ge f(x)+3\cr f(x+1)\le f(x)+1}\)都成立，試求\(f(2011)=\)[u] [/u]。
連結有解答，[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212[/url]
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\)，且對每一個正整數\(x\)，\(f(x+3)\ge f(x)+3\)，\(f(x+1)\le f(x)+1\)都成立，試求\(f(2024)=\)[u] [/u]。
(113武陵高中，[url]https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html[/url])
17.
已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{2011} \)共2011個數，若規定『運算一次』如下：『消去其中兩數a,b，再加上另一數\( a+b+ab \)』，則經過2010次的『運算一次』後，只剩下一數，則此數為何？
已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{2008} \)共有2008數，規定「運算一次」如下：消去其中二數a,b，再加入另一數\( a+b+ab \)，經過2007這樣的運算後只剩一數，試問此數為何？
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題，[url]https://math.pro/db/thread-919-1-9.html[/url])
已知有\( \displaystyle 1、\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、...、\frac{1}{2001} \)共有2001個數，規定“操作”一次如下：拿掉其中任兩數a,b後，其餘不動，再加入一數\( a+b+ab \)，經過2000次這樣的操作之後只剩一數，求此數。
(2001TRML個人賽)
楊明雯，2001TRML個人賽之解法，科學教育月刊，第244期
[url]https://www.sec.ntnu.edu.tw/uploads/asset/data/6256415d381784d09345be7f/16-21.pdf[/url]
18.
一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點，若\(\overline{CF}=1\)，\(\overline{FG}=13\)，\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{HI}=7\)，則\(\overline{DE}=\)[u] [/u]。
正三角形\(ABC\)交一圓於六個點，若\(\overline{AG}=2\)，\(\overline{GF}=13\)，\(\overline{FC}=1\)，\(\overline{HJ}=7\)，則\(\overline{DE}\)之長為[u] [/u]。
(101高中數學能力競賽 台北市筆試二試題，[url]https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html[/url])
20.
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF，由ABCDEF任取相異三點圍三角形，求此種三角形面積的期望值=？
(高中數學101 P286)
在半徑為1的圓上取6個六等分點，從中任取三點A，B，C，則ΔABC面積的期望值為？
(93國立大里高中，[url]https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url])
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF，在6個頂點中任取相異3點作三角形的頂點，則此三角形周長的期望值為何？
(99清水高中，[url]https://math.pro/db/thread-1017-1-2.html[/url])
100麗山高中 填充題第七題
請問瑋岳老師，這要從何下筆破題勒 7.恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
我剛剛解出來了，把我的作法分享出來。
\([\sqrt{1}]=1,[\sqrt{2}]=1,[\sqrt{3}]=1\)
\([\sqrt{4}]=2,[\sqrt{5}]=2,[\sqrt{6}]=2,[\sqrt{7}]=2,[\sqrt{8}]=2\)
\([\sqrt{9}]=3,\ldots\)
所以由此觀察可知道
\(1^2=1,2^2=4,4-1=3\)個
\(2^2=4,3^2=9,9-4=5\)個
\(3^2=9,4^2=16,16-9=7\)個
\(\ldots\)
\(30^2=900,31^2=961,961-900=61\)個
\(31^2=961,32^2=1024,1024-961=63\)個
所以整數值為31 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-6-23 12:05 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3758&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 9 題
令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)
把左式用分離係數法乘開如下：
577
註：解完才發現，thepiano 老師的解法更棒～詳見 http:/ ... [/quote]
請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解
謝謝
打擾一下 [quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-4-15 12:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5119&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我剛剛解出來了，把我的作法分享出來。 [/quote]
7.
恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
您是用列舉法,其實可以這樣做
令此連續63個整數最小為a,最大為a+62
依題意知0<(a+62)^0.5 -a^0.5<1
所以(a+62)^0.5<1+a^0.5
a+62<1+2*a^0.5+a
30.5<a^0.5
因為a是整數所以a^0.5>=31
a>=961=31^2
又a+62=1023,但a+63=1024=32^2
從961~1023共63個
且開根號後的整數部份皆相同
所求=31 [quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2012-4-15 01:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5120&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解
謝謝
打擾一下 [/quote]
已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597
回復 44# shingjay176 的帖子
7.恰有連續63個連續的自然數，其平方根的整數部分是相同的，則此整數值為=?
[解答]
\( (n+1)^2-n^2=63 \)
解出 \( n \)之後從\( n^2 \)到\( (n+1)^2-1 \)
另外，為求閱讀順暢，請附圖檔，不要附pdf檔，感謝。
回復 46# arend 的帖子
仔細看我之前回覆中的表格的話，就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)
：）
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然後小弟模仿 thepiano 老師的解法，來解一下 \(b\)...（詳見如下或附件）
[attach]999[/attach]
回復 50# weiye 的帖子
其實，要模仿因式分解，也是可以。如 weiye 老師所寫 \( p^n -q^n \) 亦具有遞迴關係。但不妨向後遞迴，要把 17 次方 看作 18 次方減 16 次方，即
\( p^{17}-q^{17} = (p^{18} - q^{18}) - (p^{16}-q^{16}) \)
然後 18 次方處理 \( p^{18}-q^{18}=(p^6-q^6)(p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)
而 \( p^6-q^6=(p^2-q^2)(p^4+p^2q^2+q^2) \)
可以先算 \( p^2 -q^2 \) (可分解)，再平方補交叉項(常數) 可得 \( (p^4+p^2q^2+q^2) \)
之後就有 \(p^6-q^6 \)，同樣手洲可得 \( (p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)
以上，只是用其實只是用平方和乘法讓次數跳快一點，減少遞迴次數。
不過這依賴於因式分解的樣子，所以也許不是很實用？或者能否一般化呢？
而16 次方的處理， thepiano 老師，已經做得很漂亮了。 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-4-15 02:49 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5122&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597 [/quote]
謝謝Ellipse老師 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-4-15 07:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5124&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
仔細看我之前回覆中的表格的話，
就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)
：）
-----------------------------------------------------------------------------------------
然後小弟模仿 thepiano ... [/quote]
謝謝瑋岳老師
其實我之前也用你提出的方法,算出=-a_15+a_14=-1597
只是我沒把握是否正確
所以上來請教
謝謝你跟Ellipse老師
又學到另一種觀念與技巧
感激
回復 43# bugmens 的帖子
填充題第十二題貼出來的解答，為何取p=q+1勒，其它部分都看的懂回復 4# weiye 的帖子
只有這個方法嗎??為什麼x.y.z要那樣假設呢???回復 55# mcgrady0628 的帖子
你也可以不令 \(x,y,z\) 呀，令 \(x,y,z\) 純粹是個人喜好問題，不令 \(x,y,z\) 的話，直接利用 \(3a+2b-c=4\Rightarrow c=3a+2b-4\) 帶入不等式、目標函數，
一樣可以利用線性規劃找最大值。
限制條件：\(\displaystyle\left\{\begin{array}{c}a\geq b\\b\geq 3a+2b-4\\3a+2b-4\geq-2\end{array}\right.\)
畫出 \(a\) 軸、\(b\) 軸與可行解區域～
目標函數：\(a+2b+(3a+2b-4)\)
回復 54# shingjay176 的帖子
關於填充12當首項一樣的時候，公比愈大，可以放的項數就愈少，
所以一樣分母是 \( q \) 的之中(可以有一樣的首項)，就要取 \( p = q+1 \)
這樣項數才可以盡可能的多
回復 57# tsusy 的帖子
感謝tsusy老師的答覆，我瞭解意思了。因為要在100～1000的範圍中放入越多項，所以如果公比越大，各數字的變大速度就越快，因此可以放入的項數就變少了。 瑋岳老師!!想問第22題(1).(2)~謝謝請教一下第1題
請教一下第1題謝謝指教!