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時間,讓深的東西越來越深,
   讓淺的東西越來越淺。

weiye 發表於 2011-11-24 20:12

回復 38# waitpub 的帖子

n 不可能是無限大,

r 也不可能是 1,

因為 \(100\leq a_1<a_2<a_3<\cdots<a_n\leq 1000 \)

100 到 1000 中至多只有 901 個[color=red]相異[/color]的數!

weiye 發表於 2011-11-24 20:26

回復 39# waitpub 的帖子

如附件的表格,由最左上角那一格填起,那一格只有兩種可能~:)

bugmens 發表於 2012-2-5 08:02

9.
已知a,b為實數,若\( ax^{17}+bx^{16}+1 \)能被\( x^2-x-1 \)整除,則a=?
(1988AIME,94嘉義女中,2006TRML團體賽)
(100楊梅高中,[url]https://math.pro/db/thread-1162-1-2.html[/url])

12.
已知\( a_1,a_2,...,a_n \)是由正整數所組成的等比數列,而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <... a_n \le \)。試求n的最大值,且其公比為r,則此(n,r)=?

Find the longest possible geometric progression in {100, 101, 102, ... , 1000}.
(4th Canadian Mathematical Olympiad Problems 1972,[url]https://schoolexercisebooks.blogspot.com/2010/09/4th-canadian-mathematical-olympiad.html[/url])


已知\( a_1、a_2、...、a_n \)是由正整數所組成的等比數列,而且滿足\( 100 \le a_1 < a_2 <...< a_n \le 1000 \)。
(91高中數學能力競賽 獨立研究試題二,[url]http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2003_Taiwan_High_Indp_02.pdf[/url])

113.5.11補充
15.
設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\),且對每一個正整數\(x\),\(\cases{f(x+3)\ge f(x)+3\cr f(x+1)\le f(x)+1}\)都成立,試求\(f(2011)=\)[u]   [/u]。
連結有解答,[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?p=6212#p6212[/url]

設函數\(f\)滿足\(f(1)=2\),且對每一個正整數\(x\),\(f(x+3)\ge f(x)+3\),\(f(x+1)\le f(x)+1\)都成立,試求\(f(2024)=\)[u]   [/u]。
(113武陵高中,[url]https://math.pro/db/thread-3830-1-1.html[/url])

17.
已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...,\frac{1}{2011} \)共2011個數,若規定『運算一次』如下:『消去其中兩數a,b,再加上另一數\( a+b+ab \)』,則經過2010次的『運算一次』後,只剩下一數,則此數為何?

已知有\( \displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},...,\frac{1}{2008} \)共有2008數,規定「運算一次」如下:消去其中二數a,b,再加入另一數\( a+b+ab \),經過2007這樣的運算後只剩一數,試問此數為何?
(97高中數學能力競賽高屏區口試試題,[url]https://math.pro/db/thread-919-1-9.html[/url])

已知有\( \displaystyle 1、\frac{1}{2}、\frac{1}{3}、\frac{1}{4}、...、\frac{1}{2001} \)共有2001個數,規定“操作”一次如下:拿掉其中任兩數a,b後,其餘不動,再加入一數\( a+b+ab \),經過2000次這樣的操作之後只剩一數,求此數。
(2001TRML個人賽)
楊明雯,2001TRML個人賽之解法,科學教育月刊,第244期
[url]https://www.sec.ntnu.edu.tw/uploads/asset/data/6256415d381784d09345be7f/16-21.pdf[/url]

18.
一圓交一正三角形\(ABC\)於\(D\)、\(E\)、\(F\)、\(G\)、\(H\)、\(I\)六點,若\(\overline{CF}=1\),\(\overline{FG}=13\),\(\overline{AG}=2\),\(\overline{HI}=7\),則\(\overline{DE}=\)[u]   [/u]。

正三角形\(ABC\)交一圓於六個點,若\(\overline{AG}=2\),\(\overline{GF}=13\),\(\overline{FC}=1\),\(\overline{HJ}=7\),則\(\overline{DE}\)之長為[u]   [/u]。
(101高中數學能力競賽 台北市筆試二試題,[url]https://math.pro/db/thread-1503-1-1.html[/url])

20.
在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF,由ABCDEF任取相異三點圍三角形,求此種三角形面積的期望值=?
(高中數學101 P286)

在半徑為1的圓上取6個六等分點,從中任取三點A,B,C,則ΔABC面積的期望值為?
(93國立大里高中,[url]https://math.pro/db/thread-1237-1-1.html[/url])

在半徑為1的圓上作內接正六邊形ABCDEF,在6個頂點中任取相異3點作三角形的頂點,則此三角形周長的期望值為何?
(99清水高中,[url]https://math.pro/db/thread-1017-1-2.html[/url])

shingjay176 發表於 2012-4-15 10:42

100麗山高中 填充題第七題

請問瑋岳老師,這要從何下筆破題勒

shingjay176 發表於 2012-4-15 12:50

7.
恰有連續63個連續的自然數,其平方根的整數部分是相同的,則此整數值為=?
[解答]
我剛剛解出來了,把我的作法分享出來。
\([\sqrt{1}]=1,[\sqrt{2}]=1,[\sqrt{3}]=1\)
\([\sqrt{4}]=2,[\sqrt{5}]=2,[\sqrt{6}]=2,[\sqrt{7}]=2,[\sqrt{8}]=2\)
\([\sqrt{9}]=3,\ldots\)
所以由此觀察可知道
\(1^2=1,2^2=4,4-1=3\)個
\(2^2=4,3^2=9,9-4=5\)個
\(3^2=9,4^2=16,16-9=7\)個
\(\ldots\)
\(30^2=900,31^2=961,961-900=61\)個
\(31^2=961,32^2=1024,1024-961=63\)個
所以整數值為31

arend 發表於 2012-4-15 13:34

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-6-23 12:05 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3758&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充第 9 題

令 \(ax^{17}+bx^{16}+1=\left(x^2-x-1\right)\left(a_{15} x^{15} + a_{14} x^{14} +\cdots+a_1 x+a_0\right)\)

把左式用分離係數法乘開如下:

577


註:解完才發現,thepiano 老師的解法更棒~詳見 http:/ ... [/quote]

請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下

Ellipse 發表於 2012-4-15 13:52

[quote]原帖由 [i]shingjay176[/i] 於 2012-4-15 12:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5119&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
我剛剛解出來了,把我的作法分享出來。 [/quote]
7.
恰有連續63個連續的自然數,其平方根的整數部分是相同的,則此整數值為=?
[解答]
您是用列舉法,其實可以這樣做
令此連續63個整數最小為a,最大為a+62
依題意知0<(a+62)^0.5 -a^0.5<1
所以(a+62)^0.5<1+a^0.5
a+62<1+2*a^0.5+a
30.5<a^0.5
因為a是整數所以a^0.5>=31
a>=961=31^2
又a+62=1023,但a+63=1024=32^2
從961~1023共63個
且開根號後的整數部份皆相同
所求=31

Ellipse 發表於 2012-4-15 14:49

[quote]原帖由 [i]arend[/i] 於 2012-4-15 01:34 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5120&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]


請教瑋岳老師
這一題的 b 可以解嗎
用thepiano老師的方法無法解

謝謝
打擾一下 [/quote]

已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597

老王 發表於 2012-4-15 15:00

回復 44# shingjay176 的帖子

7.
恰有連續63個連續的自然數,其平方根的整數部分是相同的,則此整數值為=?
[解答]
\( (n+1)^2-n^2=63 \)
解出 \( n \)之後從\( n^2 \)到\( (n+1)^2-1 \)
另外,為求閱讀順暢,請附圖檔,不要附pdf檔,感謝。

weiye 發表於 2012-4-15 19:48

回復 46# arend 的帖子

仔細看我之前回覆中的表格的話,

就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)

:)

-----------------------------------------------------------------------------------------

然後小弟模仿 thepiano 老師的解法,來解一下 \(b\)...(詳見如下或附件)

[attach]999[/attach]

tsusy 發表於 2012-4-16 00:12

回復 50# weiye 的帖子

其實,要模仿因式分解,也是可以。

如 weiye 老師所寫 \( p^n -q^n \) 亦具有遞迴關係。但不妨向後遞迴,要把 17 次方 看作 18 次方減 16 次方,即

\( p^{17}-q^{17} = (p^{18} - q^{18}) - (p^{16}-q^{16}) \)

然後 18 次方處理 \( p^{18}-q^{18}=(p^6-q^6)(p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)

而 \( p^6-q^6=(p^2-q^2)(p^4+p^2q^2+q^2) \)

可以先算 \( p^2 -q^2 \) (可分解),再平方補交叉項(常數) 可得 \( (p^4+p^2q^2+q^2) \)

之後就有 \(p^6-q^6 \),同樣手洲可得 \( (p^{12}+p^6q^6+q^{12}) \)

以上,只是用其實只是用平方和乘法讓次數跳快一點,減少遞迴次數。

不過這依賴於因式分解的樣子,所以也許不是很實用?或者能否一般化呢?

而16 次方的處理, thepiano 老師,已經做得很漂亮了。

arend 發表於 2012-4-16 02:35

[quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2012-4-15 02:49 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5122&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]


已經解出a=987
再利用遞迴的方式得到
1597a+987b=0
所以b=-1597 [/quote]

謝謝Ellipse老師

arend 發表於 2012-4-16 02:40

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2012-4-15 07:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5124&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
仔細看我之前回覆中的表格的話,

就會發現 \(b=(-a_{15})+a_{14}=(-987)+(-610)=-1597.\)

:)

-----------------------------------------------------------------------------------------

然後小弟模仿 thepiano  ... [/quote]

謝謝瑋岳老師

其實我之前也用你提出的方法,算出=-a_15+a_14=-1597
只是我沒把握是否正確
所以上來請教

謝謝你跟Ellipse老師
又學到另一種觀念與技巧

感激

shingjay176 發表於 2012-4-16 11:09

回復 43# bugmens 的帖子

填充題第十二題貼出來的解答,為何取p=q+1勒,其它部分都看的懂

mcgrady0628 發表於 2012-4-19 03:50

回復 4# weiye 的帖子

只有這個方法嗎??為什麼x.y.z要那樣假設呢???

weiye 發表於 2012-4-19 09:44

回復 55# mcgrady0628 的帖子

你也可以不令 \(x,y,z\) 呀,令 \(x,y,z\) 純粹是個人喜好問題,

不令 \(x,y,z\) 的話,直接利用 \(3a+2b-c=4\Rightarrow c=3a+2b-4\) 帶入不等式、目標函數,

一樣可以利用線性規劃找最大值。

限制條件:\(\displaystyle\left\{\begin{array}{c}a\geq b\\b\geq 3a+2b-4\\3a+2b-4\geq-2\end{array}\right.\)

畫出 \(a\) 軸、\(b\) 軸與可行解區域~

目標函數:\(a+2b+(3a+2b-4)\)

tsusy 發表於 2012-4-19 17:48

回復 54# shingjay176 的帖子

關於填充12

當首項一樣的時候,公比愈大,可以放的項數就愈少,

所以一樣分母是 \( q \) 的之中(可以有一樣的首項),就要取  \( p = q+1 \)

這樣項數才可以盡可能的多

shingjay176 發表於 2012-4-19 22:26

回復 57# tsusy 的帖子

感謝tsusy老師的答覆,我瞭解意思了。因為要在100~1000的範圍中放入越多項,所以如果公比越大,各數字的變大速度就越快,因此可以放入的項數就變少了。

mcgrady0628 發表於 2012-4-22 00:39

瑋岳老師!!想問第22題(1).(2)~謝謝

WAYNE10000 發表於 2012-4-22 14:13

請教一下第1題

請教一下第1題
謝謝指教!

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