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喜歡自己的另一層意義是
「接納自己」。

weiye 發表於 2011-8-7 22:55

回復 19# 阿光 的帖子

第 5 題:
如圖(一),\(\overline{AB}\)與圓\(O\)相切於\(A\),\(\overline{AB}=6\),\(D\)為圓內一點,\(\overline{BD}\)為圓\(O\)於\(C\),且\(\overline{BC}=\overline{CD}=3\),\(\overline{OD}=2\),則圓\(O\)的半徑為=[u]   [/u]。
[解答]
[img]http://i.imgur.com/fg1NG.jpg[/img]

如圖,延長題目的各線段,使之交圓於圖中 \(E,F,G\) 各點,則

\(\overline{AB}^2=\overline{BC}\times \overline{BE}\)

\(\Rightarrow \overline{BE}=12\)

\(\Rightarrow \overline{ED}=6\)

設 \(\overline{OF}=r\)

由 \(\overline{DF}\times \overline{DG}=\overline{DC}\times \overline{DE}\)

可得 \((r-2)(r+2)=3\times6\)

   \(\Rightarrow r=\sqrt{22}\)

Joy091 發表於 2011-8-7 23:23

回復 21# weiye 的帖子

第5題另解
如圖(一),\(\overline{AB}\)與圓\(O\)相切於\(A\),\(\overline{AB}=6\),\(D\)為圓內一點,\(\overline{BD}\)為圓\(O\)於\(C\),且\(\overline{BC}=\overline{CD}=3\),\(\overline{OD}=2\),則圓\(O\)的半徑為=[u]   [/u]。
[解答]
直角\(\Delta OAB\)中,\(\overline{OB}^2=\overline{OA}^2+\overline{AB}^2=r^2+6^2\)

\(\Delta OBD\)中,\(\overline{OB}^2+\overline{OD}^2=2(\overline{OC}^2+\overline{CB}^2)=2(r^2+3^2)\)   (中線定理)

而得到 \(\overline{OB}^2=2(r^2+3^2)-\overline{OD}^2=2r^2+18-2^2=2r^2+14\)

故 \(r^2+6^2=2r^2+14\)

\(r=\sqrt{22}\)

weiye 發表於 2011-8-7 23:56

回復 19# 阿光 的帖子

第 24 題的第 2 小題:

設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\),

則 \(f(1)=1, f(2)=2\)

且 \(f(k)=f(k-1)+f(k-2),\forall k\geq 3\)

因此 \(f(3)=3,f(4)=5,f(5)=8,f(6)=13\)

故,

      [img]http://i.imgur.com/siTqS.png[/img]

所求 \(L\) 形圖騰的填磁磚方法數 \(=f(6)\times f(2)+f(4)\times f(4)-f(2)\times f(2)\times f(4)\)

  \(=13\times 2+5\times 5-2\times2\times5\)

  \(=31\) 種

cauchys 發表於 2011-8-9 00:50

請教19題

可否請教weiye老師

您19題的孟氏定理的式子?

分點不是會共線嗎?

weiye 發表於 2011-8-9 19:32

回復 24# cauchys 的帖子

感謝您,我沒看好圖形,解法有誤,先拿掉了。:)

晚點繼續想~:P

weiye 發表於 2011-8-9 19:46

回復 19# 阿光 的帖子

第 19 題:
如圖(四),\(\triangle ABC\)中,\(D\)為\(\overline{BC}\)之中點,\(\overline{AB}=12\),\(\overline{AC}=16\),\(E\)在\(\overline{AC}\)上,\(F\)在\(\overline{AB}\)上,且\(\overline{AE}=2\overline{AF}\),則\(\overline{EG}:\overline{FG}=\)[u]   [/u]。
[解答]
令 \(\overline{AF}=x\)

則 \(\overline{AE}=2x\)

因為 \(D\) 為 \(B,C\) 的中點,

所以 \(\displaystyle \vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}\)

因為 \(\displaystyle \vec{AC}=\frac{16}{2x} \vec{AE}=\frac{8}{x} \vec{AE}\)

 且 \(\displaystyle \vec{AB}=\frac{12}{x} \vec{AF}\)

令 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}\)

則 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}=\frac{t}{2}\vec{AB}+\frac{t}{2}\vec{AC}=\frac{6t}{x}\vec{AF}+\frac{4t}{x}\vec{AE}\)

\(\displaystyle \Rightarrow \overline{EG}:\overline{FG}=\frac{6t}{x}:\frac{4t}{x}=3:2.\)

money 發表於 2011-8-12 15:39

想請教第17題
感謝

weiye 發表於 2011-8-12 22:42

回復 27# money 的帖子

第 17 題:
已知有\(\displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{2011}\)共2011個數,若規定「運算一次」如下:「消去其中兩數\(a,b\),再加上另一數\(a+b+ab\)」,則經過2010次的「運算一次」後,只剩下一數,則此數為何?[u]   [/u]
[解答]
任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)


因此 \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots,\frac{1}{2011}\)

最後會剩下的數為 \(\displaystyle (1+1)(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})\cdots(1+\frac{1}{2011})-1\)

         \(\displaystyle =2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{2012}{2011}-1\)

         \(\displaystyle =2012-1=2011\)

money 發表於 2011-8-13 22:05

原來如此
雖說運算一次沒規定按順序
但若依次運算就更容易理解了
感謝 weiye大

money 發表於 2011-8-15 09:07

想請教第23題
感謝

money 發表於 2011-8-15 13:36

回復 30# money 的帖子

自問自答
正解為P(黑最後取完)P(紅比白先取完).........(看完解答後才知道這樣算方便多了)
可是如果這樣算  P(紅最先取完)P(白比黑先取完)
答案卻不一樣
不知哪裡出了錯

jin 發表於 2011-8-25 11:55

請教第20題期望值

謝謝

Joy091 發表於 2011-9-12 08:32

回復 31# money 的帖子

[color=Sienna]袋中有9紅,10白,11黑球,一次取一個不放回,則 P(按照紅白黑順序取完)=?[/color]

正解為P(黑最後取完)P(紅比白先取完)
是因為
P(按照紅白黑順序取完)=P(黑球最後取完)P(紅比白先取完 | 黑球最後取完)

=P(最後一球是黑球)P(紅比白先取完 | 最後一球是黑球)

=(11/30)*P(9紅,10白,10黑球任意取,紅比白先取完)     注意 : 留了1黑球在最後

=(11/30)*P(9紅,10白任意取,紅比白先取完)    注意 : 抽到黑球就丟掉,不會影響紅白先後順序

=(11/30)*P(9紅,10白任意取,最後一球是白球) = (11/30)*(10/19)

若改用"紅球先取完"為條件來討論,則
P(按照紅白黑順序取完)=P(紅球最先取完)P(白比黑先取完 | 紅球最先取完)

[color=Red]不等於[/color] (21/30)* P(白比黑先取完)

因為 紅球最先取完 與 第一球取到紅球 是不同的事件
白比黑先取完 與 紅球最先取完 兩事件也不獨立

個人認為這個想法難以繼續下去…

第20題期望值:
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2552&start=30#p7112]http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 2552&start=30#p7112[/url]

阿光 發表於 2011-10-6 19:51

不知道哪位大師能指導第17和23題的作法,感激!

weiye 發表於 2011-10-6 23:17

回復 34# 阿光 的帖子

第 17 題我前面有回覆了 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=3#pid4237[/url]

如果看不太懂的話,我再補幾句話好了~

任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)

再將 \((a+1)(b+1)-1\) 與另一數 \(c\) 依題目的規則消失之後

→ 新增加的數字是 \(\left(\left[(a+1)(b+1)-1\right]+1\right)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1\)

這樣應該就可以看出規律了吧!




第 23 題
一袋中有9個紅球,10個白球和11個黑球,今由袋中逐次取出一球並依序排成一列,則
(1)最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的排列情形有[u]   [/u]種。(可用!階乘表示)
(2)最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的機率為[u]   [/u]。
[解答]
先做第二小題

(2)最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的機率

 =P(最後一球為黑球)×P(非黑球中的最後一球為白球|最後一球為黑球)

 =\(\displaystyle \frac{11}{9+10+11}\times\frac{10}{9+10}\)

 =\(\displaystyle \frac{11}{30}\times\frac{10}{19}\)

再做第一小題

(1)最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的排列情形數

 =\(\displaystyle\frac{\mbox{第二小題答案}\times(9+10+11)!}{9!10!11!}\)

或是直接做第一小題:

最先被全部取出依序為紅球,白球,黑球的排列情形數

 =最後一球為黑球,前面為 (11-1) 個黑球與 (9+10) 個非黑球的排列

  搭配,在〝非黑球的排列中〞,最後一球為白球,前面為 (10-1) 個白球與 9 個紅球的排列

 =\(\displaystyle \frac{(9+10+11-1)!}{(9+10)!(11-1)!}\times\frac{(9+10-1)!}{9!(10-1)!}\)

tsusy 發表於 2011-11-12 23:01

回復 35# weiye 的帖子

17 題的出處應該是 TRML 2001 個人賽
數字跟著年改了而已

看出規律,或依某種順序的運算當然都可以找出答案。

之前也寫過這題,個人比較雞婆一點,喜歡把它說清楚:

定義運算 \( a\otimes b=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1 \) 。

易驗該運算滿足交換律及結合律。

而我們的 2010 次操作,實際上就是將這 2011 個數以此運算及括號串在一起。

上面說的那句話,用數學歸納一寫,馬上就得證了。

再把所有括號那掉,那順序排,乘出來就是答案了。

waitpub 發表於 2011-11-24 14:09

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-8-7 10:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4204&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 6 題:

[color=Red]因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓,[/color]

[color=Red]所以 \(\overline{CD}\) 為直徑,[/color] [/quote]
請問紅字部分如何得知?

waitpub 發表於 2011-11-24 14:14

請問第12題

請問原題意沒有限制r,如果r=1,n=無限大,是否也符合題意?

waitpub 發表於 2011-11-24 14:31

[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-8-7 11:56 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4208&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 24 題的第 2 小題:

設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\),

則 \(f(1)=1, f(2)=2\)

且 [color=Red](f(k)=f(k-1)+f(k-2),[/color] forall k≧3

因此  ... [/quote]
請問如何看出紅字部分規律?

weiye 發表於 2011-11-24 20:07

回復 37# waitpub 的帖子

通過 C 點且與 AB 直線相切的圓有非常多個,

如附件的圖,

何時那個圓~才會有最小半徑呢?

看附件囉!

感覺得出來嗎?:)

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