回復 19# 阿光 的帖子
第 5 題：如圖(一)，\(\overline{AB}\)與圓\(O\)相切於\(A\)，\(\overline{AB}=6\)，\(D\)為圓內一點，\(\overline{BD}\)為圓\(O\)於\(C\)，且\(\overline{BC}=\overline{CD}=3\)，\(\overline{OD}=2\)，則圓\(O\)的半徑為=[u] [/u]。
[解答]
[img]http://i.imgur.com/fg1NG.jpg[/img]
如圖，延長題目的各線段，使之交圓於圖中 \(E,F,G\) 各點，則
\(\overline{AB}^2=\overline{BC}\times \overline{BE}\)
\(\Rightarrow \overline{BE}=12\)
\(\Rightarrow \overline{ED}=6\)
設 \(\overline{OF}=r\)
由 \(\overline{DF}\times \overline{DG}=\overline{DC}\times \overline{DE}\)
可得 \((r-2)(r+2)=3\times6\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{22}\)
回復 21# weiye 的帖子
第5題另解如圖(一)，\(\overline{AB}\)與圓\(O\)相切於\(A\)，\(\overline{AB}=6\)，\(D\)為圓內一點，\(\overline{BD}\)為圓\(O\)於\(C\)，且\(\overline{BC}=\overline{CD}=3\)，\(\overline{OD}=2\)，則圓\(O\)的半徑為=[u] [/u]。
[解答]
直角\(\Delta OAB\)中，\(\overline{OB}^2=\overline{OA}^2+\overline{AB}^2=r^2+6^2\)
\(\Delta OBD\)中，\(\overline{OB}^2+\overline{OD}^2=2(\overline{OC}^2+\overline{CB}^2)=2(r^2+3^2)\) (中線定理)
而得到 \(\overline{OB}^2=2(r^2+3^2)-\overline{OD}^2=2r^2+18-2^2=2r^2+14\)
故 \(r^2+6^2=2r^2+14\)
\(r=\sqrt{22}\)
回復 19# 阿光 的帖子
第 24 題的第 2 小題：設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\)，
則 \(f(1)=1, f(2)=2\)
且 \(f(k)=f(k-1)+f(k-2),\forall k\geq 3\)
因此 \(f(3)=3,f(4)=5,f(5)=8,f(6)=13\)
故，
[img]http://i.imgur.com/siTqS.png[/img]
所求 \(L\) 形圖騰的填磁磚方法數 \(=f(6)\times f(2)+f(4)\times f(4)-f(2)\times f(2)\times f(4)\)
\(=13\times 2+5\times 5-2\times2\times5\)
\(=31\) 種
請教19題
可否請教weiye老師您19題的孟氏定理的式子?
分點不是會共線嗎?
回復 24# cauchys 的帖子
感謝您，我沒看好圖形，解法有誤，先拿掉了。：）晚點繼續想～：Ｐ
回復 19# 阿光 的帖子
第 19 題：如圖(四)，\(\triangle ABC\)中，\(D\)為\(\overline{BC}\)之中點，\(\overline{AB}=12\)，\(\overline{AC}=16\)，\(E\)在\(\overline{AC}\)上，\(F\)在\(\overline{AB}\)上，且\(\overline{AE}=2\overline{AF}\)，則\(\overline{EG}:\overline{FG}=\)[u] [/u]。
[解答]
令 \(\overline{AF}=x\)
則 \(\overline{AE}=2x\)
因為 \(D\) 為 \(B,C\) 的中點，
所以 \(\displaystyle \vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{AB}+\frac{1}{2}\vec{AC}\)
因為 \(\displaystyle \vec{AC}=\frac{16}{2x} \vec{AE}=\frac{8}{x} \vec{AE}\)
且 \(\displaystyle \vec{AB}=\frac{12}{x} \vec{AF}\)
令 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}\)
則 \(\displaystyle \vec{AG}=t\vec{AD}=\frac{t}{2}\vec{AB}+\frac{t}{2}\vec{AC}=\frac{6t}{x}\vec{AF}+\frac{4t}{x}\vec{AE}\)
\(\displaystyle \Rightarrow \overline{EG}:\overline{FG}=\frac{6t}{x}:\frac{4t}{x}=3:2.\) 想請教第17題
感謝
回復 27# money 的帖子
第 17 題：已知有\(\displaystyle 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\ldots,\frac{1}{2011}\)共2011個數，若規定「運算一次」如下：「消去其中兩數\(a,b\)，再加上另一數\(a+b+ab\)」，則經過2010次的「運算一次」後，只剩下一數，則此數為何？[u] [/u]
[解答]
任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後
→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)
因此 \(\displaystyle 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \cdots,\frac{1}{2011}\)
最後會剩下的數為 \(\displaystyle (1+1)(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{3})\cdots(1+\frac{1}{2011})-1\)
\(\displaystyle =2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdots\frac{2012}{2011}-1\)
\(\displaystyle =2012-1=2011\) 原來如此
雖說運算一次沒規定按順序
但若依次運算就更容易理解了
感謝 weiye大 想請教第23題
感謝
回復 30# money 的帖子
自問自答正解為P(黑最後取完)P(紅比白先取完).........(看完解答後才知道這樣算方便多了)
可是如果這樣算 P(紅最先取完)P(白比黑先取完)
答案卻不一樣
不知哪裡出了錯
請教第20題期望值
謝謝回復 31# money 的帖子
[color=Sienna]袋中有9紅,10白,11黑球，一次取一個不放回，則 P(按照紅白黑順序取完)=?[/color]正解為P(黑最後取完)P(紅比白先取完)
是因為
P(按照紅白黑順序取完)=P(黑球最後取完)P(紅比白先取完 | 黑球最後取完)
=P(最後一球是黑球)P(紅比白先取完 | 最後一球是黑球)
=(11/30)*P(9紅,10白,10黑球任意取，紅比白先取完) 注意 : 留了1黑球在最後
=(11/30)*P(9紅,10白任意取，紅比白先取完) 注意 : 抽到黑球就丟掉，不會影響紅白先後順序
=(11/30)*P(9紅,10白任意取，最後一球是白球) = (11/30)*(10/19)
若改用"紅球先取完"為條件來討論，則
P(按照紅白黑順序取完)=P(紅球最先取完)P(白比黑先取完 | 紅球最先取完)
[color=Red]不等於[/color] (21/30)* P(白比黑先取完)
因為 紅球最先取完 與 第一球取到紅球 是不同的事件
白比黑先取完 與 紅球最先取完 兩事件也不獨立
個人認為這個想法難以繼續下去…
第20題期望值:
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2552&start=30#p7112]http://www.shiner.idv.tw/teacher ... 2552&start=30#p7112[/url] 不知道哪位大師能指導第17和23題的作法，感激！
回復 34# 阿光 的帖子
第 17 題我前面有回覆了 [url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1138&page=3#pid4237[/url]如果看不太懂的話，我再補幾句話好了～
任兩數 \(a,b\) 依題目的規則消失之後
→ 新增加的數字是 \(a+b+ab=(a+1)(b+1)-1\)
再將 \((a+1)(b+1)-1\) 與另一數 \(c\) 依題目的規則消失之後
→ 新增加的數字是 \(\left(\left[(a+1)(b+1)-1\right]+1\right)(c+1)-1=(a+1)(b+1)(c+1)-1\)
這樣應該就可以看出規律了吧！
第 23 題
一袋中有9個紅球，10個白球和11個黑球，今由袋中逐次取出一球並依序排成一列，則
(1)最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的排列情形有[u] [/u]種。(可用!階乘表示)
(2)最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的機率為[u] [/u]。
[解答]
先做第二小題
(2)最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的機率
＝Ｐ（最後一球為黑球）×Ｐ（非黑球中的最後一球為白球｜最後一球為黑球）
＝\(\displaystyle \frac{11}{9+10+11}\times\frac{10}{9+10}\)
＝\(\displaystyle \frac{11}{30}\times\frac{10}{19}\)
再做第一小題
(1)最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的排列情形數
＝\(\displaystyle\frac{\mbox{第二小題答案}\times(9+10+11)!}{9!10!11!}\)
或是直接做第一小題：
最先被全部取出依序為紅球，白球，黑球的排列情形數
＝最後一球為黑球，前面為 (11-1) 個黑球與 (9+10) 個非黑球的排列
搭配，在〝非黑球的排列中〞，最後一球為白球，前面為 (10-1) 個白球與 9 個紅球的排列
＝\(\displaystyle \frac{(9+10+11-1)!}{(9+10)!(11-1)!}\times\frac{(9+10-1)!}{9!(10-1)!}\)
回復 35# weiye 的帖子
17 題的出處應該是 TRML 2001 個人賽數字跟著年改了而已
看出規律，或依某種順序的運算當然都可以找出答案。
之前也寫過這題，個人比較雞婆一點，喜歡把它說清楚：
定義運算 \( a\otimes b=ab+a+b=(a+1)(b+1)-1 \) 。
易驗該運算滿足交換律及結合律。
而我們的 2010 次操作，實際上就是將這 2011 個數以此運算及括號串在一起。
上面說的那句話，用數學歸納一寫，馬上就得證了。
再把所有括號那掉，那順序排，乘出來就是答案了。 [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-8-7 10:23 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4204&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 6 題：
[color=Red]因為圓 \(O\) 為過 \(C\) 且與 \(\overline{AB}\) 相切的最小圓，[/color]
[color=Red]所以 \(\overline{CD}\) 為直徑，[/color] [/quote]
請問紅字部分如何得知?
請問第12題
請問原題意沒有限制r，如果r=1，n=無限大，是否也符合題意? [quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-8-7 11:56 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=4208&ptid=1138][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]第 24 題的第 2 小題：
設圖形為 \(2\times n\) 的矩形由 \(n\) 個 \(2\times1\) 的長方形磁磚填入之方法數為 \(f(n)\)，
則 \(f(1)=1, f(2)=2\)
且 [color=Red](f(k)=f(k-1)+f(k-2),[/color] forall k≧3
因此 ... [/quote]
請問如何看出紅字部分規律?
回復 37# waitpub 的帖子
通過 C 點且與 AB 直線相切的圓有非常多個，如附件的圖，
何時那個圓～才會有最小半徑呢？
看附件囉！
感覺得出來嗎？：）