Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 100松山工農

kittyyaya 發表於 2011-6-14 01:18

100松山工農

1.圓內接四邊形邊長a,b,c,d,s為周長一半,證明四邊形面積=((s-a)(s-b)(s-c)(s-d))^0.5
2.有直角三角形斜邊上的高h為定值,s為周長一半,求s極小值,且求此時二股和斜邊長
3.ABCD為正方形,邊長為1,P在BC上,Q在CD上,角PAQ=45度,證(AB+BP)/(AD+DQ=AP^2/AQ^2
麻煩各位老師,謝謝

2011.6.24
補充題目

dream10 發表於 2011-6-14 07:37

1.
連結已失效h ttp://www.mathsgreat.com/daily_053.html

bugmens 發表於 2011-6-24 06:04

1.
\( \displaystyle 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}} \)

4.
設ABCD是邊長為1的正方形，P點在\( \overline{BC} \)上，Q點在\( \overline{CD} \)上，且\( ∠PAQ=45^o \)，試證\( \displaystyle \frac{\overline{AB}+\overline{BP}}{\overline{AD}+\overline{DQ}}=\frac{\overline{AP}^2}{\overline{AQ}^2} \)

正方形ABCD的\( \overline{BC} \)，\( \overline{CD} \)邊上各有一點M,N，若\( ∠MAN=45^o \)，試證：\( \displaystyle \frac{\overline{AM}}{\overline{AN}}=\sqrt{\frac{\overline{AB}+\overline{BM}}{\overline{AD}+\overline{DN}}} \)
(建中通訊解題　第23期)


5.
\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} \cdot \lim_{n \to \infty} \Bigg(\; \frac{1+\root n \of {1^n+2^n}+\root n \of{2^n+3^n}+...+\root n \of{(m-1)^n+m^n}}{m^2} \Bigg)\; \)
(高中數學101　P373)

6.
\( \displaystyle cos \frac{\pi}{7}-cos \frac{2 \pi}{7}+cos \frac{3 \pi}{7} \)
(IMO 1963，[url]http://www.imo-official.org/year_info.aspx?year=1963[/url])

化簡\( \displaystyle cos \frac{6 \pi}{7}-cos \frac{5 \pi}{7}+cos \frac{4 \pi}{7} \)的值為？
(100全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-1163-1-1.html[/url])

thankquestion 發表於 2011-6-24 08:41

想請教第3、8題~

謝謝

kittyyaya 發表於 2011-6-25 23:37

回復 3# bugmens 的帖子

先謝謝版主大大附上題目,學校很晚才公佈題目,我也沒去追蹤
建中第23期我去下載後,原檔案無法開啟,可否麻煩版主大大公佈此解答,勞煩了,謝謝
另外,原題第8題如何解答,謝謝

bugmens 發表於 2011-6-26 06:28

終於有人反應23期的解答已經遺失了，代表我辛苦寫的出處還是有人會去看
其實還有科學教育月刊可以找的到，現在要各位回圖書館查可能有點強人所難
但網路上就可以查到以前的文章
[url]http://www.sec.ntnu.edu.tw/Monthly/SECMonthly.htm[/url]

我剛才確認檔案還可以下載，但是在哪一期就要請各位找看看
用意是告訴各位有魚的地方而不是直接給魚吃
另一個是讓各位看看其他的文章來充實自己的數學知識

就像100中科實中[url]https://math.pro/db/thread-1107-1-1.html[/url]
考了兩篇數學傳播的文章來提醒考生平時就要涉獵

liengpi 發表於 2011-6-26 12:56

補一下
最低要61分才可以通過初試

tsusy 發表於 2012-3-28 00:15

回復 4# thankquestion 的帖子

今天正好在寫這一份試題，
順帶打一下

3.
先解 \( x+2=\frac{1}{4}x^{2}+x+1\)，得 \( x=\pm2\)，

所以兩圖相交於 \(A(-2,0)\), \(B(2,4)\)。

取 P(0,1) 在 \( y=\frac{1}{4}x^{2}+x+1\)。計算弓形面積 \( =\frac{4}{3}\cdot\triangle PAB=\frac{2}{3}|\left|\begin{array}{cc}
4 & 4\\
2 & 1\end{array}\right||=\frac{8}{3}\)。

直線 \(y=ax+1\) 與拋物線 \(y=\frac{1}{4}x^{2}+x+1\) 、\(y=x+2\) 分別交於 \(P(0,1)\), \(C(\frac{1}{a-1},\frac{1}{a+1}+2)\)。

則 A 在 \(y=ax+1\) 右側的面積為 \( \triangle PCB \)+右邊的弓形( \( \overline{PB}\) 和拋物線所圍) (圖中著色部分)
[attach]973[/attach]
右側面積 \( =\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{cc}
2 & 3\\
\frac{1}{a-1} & \frac{1}{a+1}+1\end{array}\right||+\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{2}|\left|\begin{array}{cc}
2 & 3\\
1 & \frac{5}{4}\end{array}\right||=\frac{4}{3}+\frac{1}{2(1-a)}>\frac{8}{9}\)。

所以右側面積 \(=\frac{16}{9}\)，解得 \(a=-\frac{1}{8}\)。

8. 令其中一非直角的內角為 \(\theta\)，可將三邊表示成 \(\frac{h}{\sin\theta}, \frac{h}{\cos\theta}, h(\tan\theta+\cot\theta)\)。

三邊相加 \(2s=h\frac{1+\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}\)，

令 \(t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+\frac{\pi}{4})\), 則 \(1\leq t\leq\sqrt{2}\)。

而 \(2s=h\cdot\frac{1+t}{\frac{t^{2}-1}{2}}=\frac{2h}{t-1}\)，

得當 \(t=\sqrt{2}\) 即，\(\theta=\frac{\pi}{4}\) 時，\(s\) 有最小值 \(\frac{h}{\sqrt{2}-1}\)，此時三邊長為 \(\sqrt{2}h, \sqrt{2}h, 2h\)。

另外提供個人算的答案
1. \( \sqrt2 \)
2. (1) \( -\frac32 \)  (2) \( \frac23 \sqrt{78} \)
3. \( -\frac18 \)
5. \( \frac12 \)
6. \( \frac12 \)
7. \( 2-\sqrt2 \) 或 \( 8 - 5\sqrt2 \)
8. 最小半周長 \( (\sqrt2+1)h \)，此時三邊長 \( \sqrt{2}h, \sqrt{2}h, 2h \)

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-4-12 09:54 PM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2014-2-13 16:27

填充3

填充3（幫朋友解完順便ＰＯ上來～：Ｄ）
[attach]2024[/attach]
key： 黃色區域最中間的三角形面積~其實就是「(1/2) 黃色面積  - (1/3) 黃色面積  = (1/6) 黃色面積」

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