100玉井工商
題目請見附件 3.已知點P為橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{28}=1 \)上的點，\( A(6,0) \)，\( B(-3,4) \)，求\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？
坐標平面上，已知點\( A(4,0) \)和\( B(3,3) \)，P是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)上的動點，則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？
(100彰化女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1113&page=1#pid3274[/url])
8.
用紅、黑、黃3種顏色塗下列9個不同的區域如下圖，規定每區需塗一色，顏色可以重複使用，但相鄰部分不得塗同色，則共有幾種不同的塗法？
解答[url]https://math.pro/db/thread-499-1-1.html[/url]
10.
袋中有3個紅球，2個黑球與4個黃球，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後不放回，則紅球先取完的機率為？
分別有3紅,4白, 5黃,6黑球,試求白球先取完之機率?
[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43871[/url]
袋中有3白4黃3紅,取出不放回
(1)求白球先取完的機率
(2)若X表白球先取完時的次數,求X的期望值
[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=43062[/url]
2.
圓內接凸四邊形ABCD，若四邊長分為\( \overline{AB}=a \)，\( \overline{BC}=b \)，\( \overline{CD}=c \)，\( \overline{DA}=d \)，證明圓內接四邊形ABCD的面積\( =\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \)，其中\( \displaystyle s=\frac{a+b+c+d}{2} \)
2011.6.13
感謝moun9告知，應是求圓內接四邊形面積
蔡聰明，四邊形的面積
[url]http://www.google.com.tw/search?hl=zh-TW&client=opera&hs=PY3&rls=zh-tw&channel=suggest&q=%E8%94%A1%E8%81%B0%E6%98%8E+%E5%9B%9B%E9%82%8A%E5%BD%A2%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A9%8D&oq=%E8%94%A1%E8%81%B0%E6%98%8E+%E5%9B%9B%E9%82%8A%E5%BD%A2%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A9%8D&aq=f&aqi=&aql=&gs_sm=e&gs_upl=2325l2470l0l2l2l0l0l0l0l90l172l2[/url]
3.
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為？
需列出算式，只寫答案不予計分
(我的教甄準備之路 廣義的柯西不等式，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1075[/url]) 計算第三題想了好久還是想不到証法，請問誰可以幫忙解惑嗎 [quote]原帖由 [i]紫月[/i] 於 2011-6-12 10:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3518&ptid=1131][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算第三題想了好久還是想不到証法，請問誰可以幫忙解惑嗎 [/quote]
3.
已知\( \displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2} \)，求\( \displaystyle \frac{64}{sin \theta}+\frac{27}{cos \theta} \)的最小值為？
[解答]
令 X=64/sina +27/cosa
由廣義柯西不等式得
X*X*[(sina)^2+(cosa)^2]>={ [ [64*64/(sina)^2]*(sina)^2]^(1/3)+ [ [27*27/(cosa)^2]*(cosa)^2]^(1/3) }^3
X^2 >= (16+9)^3
X>=125 請問填充第6、7、9題 填充第 6 題：
設\(f(x)\)表定義為正整數的函數，且\(f(1)=999\)，又對\(n\ge 2\)的任意正整數\(n\)，恆有\(f(1)+f(2)+f(3)+\ldots+f(n)=n^2f(n)\)，求\(f(999)=\)？
[解答]
對任意 \(n\geq 2\)，恆有
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n f(k)=n^2 f(n)\)
\(\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} f(k)=(n-1)^2 f(n-1)\)
將上兩式相減，可得
\(f(n)=n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1)\)
\(\Rightarrow (n^2-1) f(n) = (n-1)^2 f(n-1)\)
\(\Rightarrow (n+1) f(n) = (n-1) f(n-1)\)
\(\displaystyle \Rightarrow f(n) = \frac{n-1}{n+1} f(n-1)\)
所以，
\(\displaystyle f(n) = \frac{n-1}{n+1}\cdot f(n-1)\)
\(\displaystyle f(n-1) = \frac{n-2}{n}\cdot f(n-2)\)
\(\displaystyle f(n-2) = \frac{n-3}{n-1}\cdot f(n-3)\)
\(\cdots\)
\(\displaystyle f(2) = \frac{1}{3}\cdot f(1)\)
將上列各式相乘，可得
\(\displaystyle f(n)=\frac{2\cdot 1}{(n+1)\cdot n}\cdot f(1)\)
故，
\(\displaystyle f(999) = \frac{2\cdot 1}{100\cdot 999}\cdot f(1)\)
\(\displaystyle=\frac{1}{500}\) [quote]原帖由 [i]Herstein[/i] 於 2011-6-12 11:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3520&ptid=1131][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問填充第6、7、9題 [/quote]
#9
求\(\displaystyle \int_{-1}^7 (-2+\sqrt{-x^2+6x+7})dx=\)？
[解答]
令y=(-x^2+6x+7)^0.5
則y^2=-(x-3)^2+16
(x-3)^2+y^2=4^2
S {-1, 7} (-x^2+6x+7)^0.5 dx
=S {-1, 7} [16-(x-3)^2]^0.5 dx
(表示求(x-3)^2+y^2=4^2上半圓面積)
= 4*4Pi/2=8Pi
又S {-1,7} (-2) dx = -2(7+1)=-16
所求 =S {-1, 7} [-2+ [16-(x-3)^2]^0.5 ] dx
=8Pi -16 第 7 題：
袋中有編號1,2,3,4,5,6,7號的球各一個，設每一球被取到的機會相等，今由袋中一次任取一球，每次取完後均放回袋中再取，令\(a_n\)表取完\(n\)次後所取球號總和為3的倍數的機率,求\(a_4=\)？
[解答]
令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\)
\(f(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)
則
所求機率 \(\displaystyle =\frac{f(x) \mbox{ 展開式中} x \mbox{ 的 } 3,6,9,... \mbox{ 次方項的係數和}}{7^4}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{3}\left(f(1)+f(\omega)+f(\omega^2)\right)}{7^4}\)
\(\displaystyle =\frac{\frac{1}{3}\left(2401+\omega+\omega^2\right)}{2401}\)
\(\displaystyle =\frac{800}{2401}\)
回復 7# Ellipse 的帖子
想問一下我是令\(y=-2+\sqrt{-x^2+6x+7}\)
然後把他換成圓方程式
所以所求 為上半圓面積
我這樣哪裡 觀念錯了呢?
回復 9# Herstein 的帖子
紅色部分的面積 － 藍色部份的面積值[img]http://i.imgur.com/UUcH1.png[/img]
等於
[img]http://i.imgur.com/BMZxT.png[/img]
扣掉
[img]http://i.imgur.com/gQkut.png[/img]
回復 8# weiye 的帖子
請教一下weiye老師如何去想f(x)展開式中的3，6，9....次方項的係數和
是那樣關係~~
謝謝回覆... 想通了~~謝謝^^
回復 11# thankquestion 的帖子
\((x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)\(=(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\cdot(x+x^2+\cdots+x^7)\)
若第一二三四個括弧分別選出 \(x^p, x^q,x^r,x^s\) 來相乘變成了 \(x^{p+q+r+s}\) 這一項，
就相當於第一二三四次取球時，
分別選出球號為 \(p,q,r,s\) 來，使得總和為 \(p+q+r+s\) 這一種可能，
所以，
看有多少 \(p,q,r,s\) 會使得 \(p+q+r+s=n\)，
就是看有多少種 \(x^p, x^q,x^r,x^s\) 來相乘變成了 \(x^{p+q+r+s}\,(=x^n)\) 這一項
也就是對應到 \(x^{p+q+r+s}\,(=x^n)\) 這一項的係數到底是多少。
也就是說～
\((x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\) 展開後的 \(x^n\) 項係數所表示的意義是「四次取球後，會使得球號和為 \(n\) 的取球方法數」
更深入閱讀的話～可以 google 關鍵字「生成函數」^__^ 謝謝...很漂亮的解法...
受益良多~ 第4題該如何解呢
煩請高手解惑
感謝
回復 15# money 的帖子
參考h ttp://tw.myblog.yahoo.com/oldblack-wang/article?mid=5311&prev=5317&next=5308 連結已失效 請教第七題
如果不用生成函數,直接算,要怎麼算?
設A={1,4,7}, B={2,5}, C={3,6}
我是想成有三種可能: (1)4個C中的元素排列 (2)3個A+1個C中的元素排列, 3個B+1個C中的元素排列 (3)1個A中元素+1個B中元素+2個C中元素去排列
可是只有算出586個,沒算出答案的800個. 這是為什麼呢? 感謝回答.
[quote]原帖由 [i]weiye[/i] 於 2011-6-13 12:32 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3523&ptid=1131][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第 7 題：
令 \(\displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},\)
\(f(x)=(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7)^4\)
則 ... [/quote]
回復 17# vicky614 的帖子
第七題[attach]1506[/attach]
另解4：
分母＝\(7^4\)
分子：算 \(x_1+x_2+x_3+x_4=6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 29\) 有多少組 \((x_1, x_2, x_3, x_4)\) 解滿足 \(x_1, x_2, x_3, x_4\in\left\{1,2,3,4,5,6,7\right\}\)
（略述：利用 H 列式～超過要扣，總和太大要改算反面和～）
回復 18# weiye 的帖子
感謝weiye老師,另解1~3已了解,另解4也已算出,感謝! weiye老師想請教填充7，我照另解1的作法算出a3的機率是115/343
但是照另解2的作法算出a3的機率卻是 114/343 = =！
這樣是要看哪一個呢？
另外我照另解一的算法一一去算出各個機率，可得到
x1=(2/7 3/7 2/7)
x2=(16/49 16/49 17/49)
x3=(115/343 114/343 114/343)
x4=(800/2401 801/2401 800/2401)
但卻和老師於另解二中說的3k和3k+2的機率會相同，有些出入
也同時發現只有x1和x4時，3k和3k+2的機率才會相同
是我哪裡算錯了嗎
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