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任何事情都有好的一面,
現在放棄就看不見了。

math614 發表於 2011-6-11 13:53

100臺北市陽明高中

剛考完頭好暈,但沒吃飯也要把題目趕快記下來!
我已經盡力回想了,不過還是忘了一題填充題~
提供給大家參考哦~
高手快來解題吧!

bugmens 發表於 2011-6-11 22:36

ellipse 解答[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542[/url]

1.
\( x,y,z \)為正實數,則\( \displaystyle \frac{xy+2 yz}{x^2+y^2+z^2} \)的最小值為?
(奧數教程 高一 第6講 函數的最大值和最小值)

109.5.30補充
109桃園市高中聯招,[url]https://math.pro/db/thread-3336-1-1.html[/url]
[attach]502[/attach]

101.3.1補充
設\( x,y,z,w \)是非零實數,求\( \displaystyle \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2} \)的最大值
(奧數教程 高一 第6講 函數的最大值和最小值)
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=947&k=f79b7bdbf03018111f36ee8259c32f65&t=1330599236&noupdate=yes[/img]

[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2012-3-1 06:54 PM 編輯 [/i]]

eggsu1026 發表於 2011-6-19 21:53

殘念解答

這題我在考完後,吃麵完才想到怎麼做!
我覺得我的解法比上面漂亮多了,所以提出來分享一下!

將分子分母同除以y^2,將x/y、z/y 視為兩個正數 a、b
則改成求 (a+2b)/(a^2+b^2+1) 之最大值
這時 (a,b) 可視為第一象限的點 (a,b)=(rcosθ,rsinθ)
代入之後得 r(cosθ+2sinθ) /( r^1+1)
因cosθ+2sinθ的最大值是√5,又r/(r^2+1)的最大值是1/2 (分子分母同除以r,再用算幾不等式)
故最大值為 √5/2

sweeta 發表於 2011-9-24 15:46

不知道是不是我算錯

填充6算不出答案,還有證明題第二題是不是有少條件?

還請各位高手指點一下 , 謝謝!

sweeta 發表於 2011-9-24 16:10

另外,證明第三題似乎有問題

因為我找到反例

當 n=3 時,這三人答對題數各為 0 , 4 , 6 , 則不及格人數 = 優秀人數 。

sweeta 發表於 2011-9-29 17:46

不好意思
第六題是我寫錯
算得出答案來
^^"

jen123 發表於 2011-10-6 17:33

請問計算第2題,沒有給初始條件這樣有辦法證明嗎
又,我想到的是數學歸納法,請問各位老師有其他的證明方法嗎

weiye 發表於 2011-10-6 23:32

回復 7# jen123 的帖子

計算第二題,用數學歸納法的話,可以參考 thepiano 老師的解法

[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542#p6124]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542#p6124[/url]

老王 發表於 2012-1-8 20:47

題號有點混亂,直接寫題目
\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}} \)求y的範圍。

\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}}=\frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos{x}+\cos^2{x}+\sin^2{x}}} \)

\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{(2+\cos{x})^2+\sin^2{x}}} \)

這可以看成是圓\(\displaystyle (x-2)^2+y^2=1 \)上一點和原點連線,與x軸正向所夾有向角的正弦值,
所以最大與最小就是發生在切線的時候,直接由圖形就可以得到範圍
\(\displaystyle -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} \)


另外,有些題目應該是記錯了,例如計算第三題,少了一個條件
"每個人答對題數的奇偶性不完全相同"

[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-1-8 08:49 PM 編輯 [/i]]

老王 發表於 2012-1-8 20:55

[quote]原帖由 [i]eggsu1026[/i] 於 2011-6-19 09:53 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3669&ptid=1130][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題我在考完後,吃麵完才想到怎麼做!
我覺得我的解法比上面漂亮多了,所以提出來分享一下!

將分子分母同除以y^2,將x/y、z/y 視為兩個正數 a、b
則改成求 (a+2b)/(a^2+b^2+1) 之最大值
這時 (a,b) 可視為第一象限的點 (a,b ... [/quote]
這方法也很不錯!!!
只是高中數學競賽曾經出現過型如:
\(\displaystyle x,y,z,t \)都是正實數,求
\(\displaystyle \frac{xy+2yz+zt}{x^2+y^2+z^2+t^2} \)的最大值,
我是用bugmens大大所PO的方法去處理的。

[[i] 本帖最後由 老王 於 2012-1-8 08:56 PM 編輯 [/i]]

mandy 發表於 2012-1-19 11:04

請問第3題第5題第9題 如何做?

請問第3題第5題第9題  證明第1題如何做?

weiye 發表於 2012-1-19 12:34

回復 11# mandy 的帖子

填充題第 3 題

\((x+2y)(x-2y)=4\Rightarrow \displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\)

且 \(x+2y>0,x-2y>0\)

亦即 \((x,y)\) 為落在圖形中右葉的雙曲線上的點

因為所求 \(|x|-|y|\) 中,\(x,y\) 變號後帶入結果不便,

且右葉圖形上下對稱,不失一般性可假設 \(x\geq0, y\geq 0\)

求雙曲線在第一象限的點帶入 \(x-y\) 後所得的最小值及為所求。

先找出 \(\displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\) 的切線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=1\cdot x \pm\sqrt{4\cdot1^2+(-1)}\)

因此,右葉雙曲線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}\)

與右葉雙曲線有交點且斜率為 \(1\) 的直線 \(x-y=k\) 中,

當 \(k\) 有最小值時,即為直線在最左邊者,

此即為 \(x-y=\sqrt{3}\)

因此,\(\sqrt{3}\) 即為所求。

weiye 發表於 2012-1-19 12:38

回復 11# mandy 的帖子

填充題第 5 題

自 P 對圓可做兩條切線,

此同義於「P位在圓的外部」

因此將 P 點帶入圓方程式,需改成>0

再解 \(k\) 的範圍即可。

weiye 發表於 2012-1-19 12:50

回復 11# mandy 的帖子

填充題第 9 題:


五間廁所,如下所列:

   廁 廁 廁 廁 廁

每個廁所間至少要放兩個無廁車廂~

   廁 無無 廁 無無 廁 無無 廁 無無 廁

因此,還剩下 \(15-8=7\) 個無廁車廂要放入由5個隔板(啊~是廁所~:P)所隔成的六個區域中,

共有 \(H^6_7=792\) 種方法。



註:感謝 wooden 於後方回覆提醒小弟的計算錯誤,現已修正。哈。

wooden 發表於 2013-5-17 01:20

回復 14# weiye 的帖子

瑋岳兄,你粗心了,H(6,7)=792

martinofncku 發表於 2013-5-17 23:26

請問 第1題, 不等式等號成立時, x=1, y=sqrt(5), z=2 應如何求呢?

weiye 發表於 2013-5-18 00:30

回復 16# martinofncku 的帖子

第 1 題等號成立的條件:

當解答中的兩個算幾不等式成立時,

\(\displaystyle x=\frac{y}{\sqrt{5}}, \frac{2y}{\sqrt{5}}=z\)

\(\displaystyle \Rightarrow x:y:z=1:\sqrt{5}:2\)

令 \(\displaystyle x=t, y=\sqrt{5}t, z=2t\) ,其中 \(t\) 為非零實數,

則解答中的兩個算幾不等式都會成立。

martinofncku 發表於 2013-5-18 07:47

所以 x=1, y=sqrt(5), z=2 只是其中的一解?

weiye 發表於 2013-5-18 11:35

回復 18# martinofncku 的帖子

是的。(對於不等式的等號,這題也只需要"存在性",至少有一組解會滿足等號就可以了。)

panda.xiong 發表於 2013-5-26 17:39

回復 13# weiye 的帖子

第五題 的題目是不是有問題啊?因為代進去之後是恆正啊

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