100臺北市陽明高中
剛考完頭好暈，但沒吃飯也要把題目趕快記下來!我已經盡力回想了，不過還是忘了一題填充題~
提供給大家參考哦~
高手快來解題吧! ellipse 解答[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542[/url]
1.
\( x,y,z \)為正實數，則\( \displaystyle \frac{xy+2 yz}{x^2+y^2+z^2} \)的最小值為？
(奧數教程 高一 第6講 函數的最大值和最小值)
109.5.30補充
109桃園市高中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-3336-1-1.html[/url]
[attach]502[/attach]
101.3.1補充
設\( x,y,z,w \)是非零實數，求\( \displaystyle \frac{xy+2yz+zw}{x^2+y^2+z^2+w^2} \)的最大值
(奧數教程 高一 第6講 函數的最大值和最小值)
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=947&k=f79b7bdbf03018111f36ee8259c32f65&t=1330599236&noupdate=yes[/img]
殘念解答
這題我在考完後，吃麵完才想到怎麼做！我覺得我的解法比上面漂亮多了，所以提出來分享一下！
將分子分母同除以y^2，將x/y、z/y 視為兩個正數 a、b
則改成求 (a+2b)/(a^2+b^2+1) 之最大值
這時 (a,b) 可視為第一象限的點 (a,b)=(rcosθ,rsinθ)
代入之後得 r(cosθ+2sinθ) /( r^1+1)
因cosθ+2sinθ的最大值是√5，又r/(r^2+1)的最大值是1/2 (分子分母同除以r，再用算幾不等式)
故最大值為 √5/2 不知道是不是我算錯
填充6算不出答案,還有證明題第二題是不是有少條件?
還請各位高手指點一下 , 謝謝! 另外，證明第三題似乎有問題
因為我找到反例
當 n=3 時，這三人答對題數各為 0 , 4 , 6 ， 則不及格人數 ＝ 優秀人數 。 不好意思
第六題是我寫錯
算得出答案來
^^" 請問計算第2題，沒有給初始條件這樣有辦法證明嗎
又，我想到的是數學歸納法，請問各位老師有其他的證明方法嗎
回復 7# jen123 的帖子
計算第二題，用數學歸納法的話，可以參考 thepiano 老師的解法[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542#p6124]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2542#p6124[/url] 題號有點混亂，直接寫題目
\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}} \)求y的範圍。
\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{5+\cos x}}=\frac{\sin x}{\sqrt{4+\cos{x}+\cos^2{x}+\sin^2{x}}} \)
\(\displaystyle y=\frac{\sin x}{\sqrt{(2+\cos{x})^2+\sin^2{x}}} \)
這可以看成是圓\(\displaystyle (x-2)^2+y^2=1 \)上一點和原點連線，與x軸正向所夾有向角的正弦值，
所以最大與最小就是發生在切線的時候，直接由圖形就可以得到範圍
\(\displaystyle -\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2} \)
另外，有些題目應該是記錯了，例如計算第三題，少了一個條件
"每個人答對題數的奇偶性不完全相同" [quote]原帖由 [i]eggsu1026[/i] 於 2011-6-19 09:53 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3669&ptid=1130][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這題我在考完後，吃麵完才想到怎麼做！
我覺得我的解法比上面漂亮多了，所以提出來分享一下！
將分子分母同除以y^2，將x/y、z/y 視為兩個正數 a、b
則改成求 (a+2b)/(a^2+b^2+1) 之最大值
這時 (a,b) 可視為第一象限的點 (a,b ... [/quote]
這方法也很不錯!!!
只是高中數學競賽曾經出現過型如:
\(\displaystyle x,y,z,t \)都是正實數，求
\(\displaystyle \frac{xy+2yz+zt}{x^2+y^2+z^2+t^2} \)的最大值，
我是用bugmens大大所PO的方法去處理的。
請問第3題第5題第9題 如何做?
請問第3題第5題第9題 證明第1題如何做?回復 11# mandy 的帖子
填充題第 3 題\(log_4(x+2y)+log_4(x-2y)=1\)，求\(|\;x|\;-|\;y|\;\)的最小值為？
[解答]
\((x+2y)(x-2y)=4\Rightarrow \displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\)
且 \(x+2y>0,x-2y>0\)
亦即 \((x,y)\) 為落在圖形中右葉的雙曲線上的點
因為所求 \(|x|-|y|\) 中，\(x,y\) 變號後帶入結果不便，
且右葉圖形上下對稱，不失一般性可假設 \(x\geq0, y\geq 0\)
求雙曲線在第一象限的點帶入 \(x-y\) 後所得的最小值及為所求。
先找出 \(\displaystyle \frac{x^2}{4}-y^2=1\) 的切線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=1\cdot x \pm\sqrt{4\cdot1^2+(-1)}\)
因此，右葉雙曲線中斜率為 \(1\) 者為 \(y=x-\sqrt{3}\Rightarrow x-y=\sqrt{3}\)
與右葉雙曲線有交點且斜率為 \(1\) 的直線 \(x-y=k\) 中，
當 \(k\) 有最小值時，即為直線在最左邊者，
此即為 \(x-y=\sqrt{3}\)
因此，\(\sqrt{3}\) 即為所求。
回復 11# mandy 的帖子
填充題第 5 題一圓\(x^2+y^2+kx+2y+k^2=0\)，\(P(1,2)\)可對圓作兩條切線，則\(k\)的範圍為？
[解答]
自 P 對圓可做兩條切線，
此同義於「P位在圓的外部」
因此將 P 點帶入圓方程式，需改成＞０
再解 \(k\) 的範圍即可。
回復 11# mandy 的帖子
填充題第 9 題：有20節車廂，其中5節有廁所，規定每個廁所之間至少要間隔2個車廂，則車廂有幾種排列方法？
[解答]
五間廁所，如下所列：
廁 廁 廁 廁 廁
每個廁所間至少要放兩個無廁車廂～
廁 無無 廁 無無 廁 無無 廁 無無 廁
因此，還剩下 \(15-8=7\) 個無廁車廂要放入由５個隔板（啊～是廁所～：Ｐ）所隔成的六個區域中，
共有 \(H^6_7=792\) 種方法。
註：感謝 wooden 於後方回覆提醒小弟的計算錯誤，現已修正。哈。
回復 14# weiye 的帖子
瑋岳兄,你粗心了,H(6,7)=792 請問 第1題, 不等式等號成立時, x=1, y=sqrt(5), z=2 應如何求呢?回復 16# martinofncku 的帖子
第 1 題\(x\)、\(y\)、\(z\)為正實數，則\(\displaystyle \frac{xy+2yz}{x^2+y^2+z^2}\)的最大值為？
[解答]
等號成立的條件：
當解答中的兩個算幾不等式成立時，
\(\displaystyle x=\frac{y}{\sqrt{5}}, \frac{2y}{\sqrt{5}}=z\)
\(\displaystyle \Rightarrow x:y:z=1:\sqrt{5}:2\)
令 \(\displaystyle x=t, y=\sqrt{5}t, z=2t\) ，其中 \(t\) 為非零實數，
則解答中的兩個算幾不等式都會成立。 所以 x=1, y=sqrt(5), z=2 只是其中的一解?
回復 18# martinofncku 的帖子
是的。(對於不等式的等號，這題也只需要"存在性"，至少有一組解會滿足等號就可以了。)回復 13# weiye 的帖子
第五題 的題目是不是有問題啊？因為代進去之後是恆正啊頁:
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