100建國中學
六位數定義好數為出現的數字至少兩次，例如222333，232443為好數，233334，123456不為好數，求六位數為好數的共有幾個？ [quote]原帖由 [i]rudin[/i] 於 2011-6-10 01:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3460&ptid=1127][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]六位數定義好數為出現的數字至少兩次，例如222333，232443為好數，233334，123456不為好數，求六位數為好數的共有幾個？ [/quote]
可分成(2,2,2) ,(3,3) ,(2,4) ,6 種
(i) (2,2,2) 如112233
有C(10,3)*6!/(2!*2!*2!)=10800 個
但0在首:有C(9,2)*5!/(2!*2!)=1080 個
共有10800-1080=9720 個
(ii) (3,3) 如111222
有C(10,2)*6!/(3!*3!) = 900 個
但0在首:有C(9,1)*5!/(2!*3!)=90 個
共有900-90=810 個
(iii) (2,4)如112222
有2*C(10,2)*6!/(2!*4!)=1350 個
但0在首:有C(9,1)*5!/4! +C(9,1)*5!/(3!*2!)=135 個
共有1350-135=1215 個
(iv) 6 如111111
有9 個
共有 9720+810+1215+9 =11754 個
有錯請指教!
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2011-6-10 05:18 PM 編輯 [/i]]
100建中再兩題
(1)已知一橢圓與兩焦點及橢圓外一直線，說明如何畫出平行此線的切線 。(2)橢圓外一點，說明如何畫出過此點的切線 。 (1)
令\( F_1,F_2 \)為橢圓的兩焦點，PQ為給定直線
求作此橢圓平行於PQ的切線
作法:
先作橢圓的長軸AB
以 \( F_2 \) 為圓心，AB為半徑作圓
過 \( F_1 \)作PQ的垂線，交圓於C、D
分別作 \( F_1C \)和 \( F_1D \) 的中垂線即為所求
證明
連接 \( F_2C \)交\( F_1C \)中垂線於K
\( KC=KF_1 \)
所以\( KF_1+KF_2=KC+KF_2=F_2C=AB \)
故K在橢圓上
又\( F_1C \)中垂線就是 \( \angle{F_1KF_2} \)的外角平分線
故為過K的切線
另一條同理
[[i] 本帖最後由 老王 於 2011-6-11 10:42 AM 編輯 [/i]] (2)
令\( F_1,F_2 \)為橢圓的兩焦點，P為橢圓外一點
求作過P作此橢圓的切線
作法:
先作橢圓的長軸AB
以 \( F_2 \) 為圓心，AB為半徑作圓
以P為圓心， \( PF_1 \)為半徑作圓，交上圓於C、D
分別作 \( F_1C \)和 \( F_1D \) 的中垂線即為所求
證明
留作習題
[[i] 本帖最後由 老王 於 2011-6-11 10:46 AM 編輯 [/i]]
謝謝
謝謝你的回覆！再一題填充題
y=1/(1+x^2)上相異兩點P,Q，求直線PQ的斜率之最大值？回復 5# rudin 的帖子
猜測是反曲點的切線斜率 [quote]原帖由 [i]rudin[/i] 於 2011-6-11 11:03 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3485&ptid=1127][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]y=1/(1+x^2)上相異兩點P,Q，求直線PQ的斜率之最大值？ [/quote]
我覺得這題出得有點問題，均值定理告訴我們必有一點切線斜率會等於\( \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \)
但可沒說對每一點都存在兩點使得\( \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=f'(c) \)
舉例來說
\(\displaystyle Let f(x)=x^3 \)
\(\displaystyle f'(x)=3x^2 \ge 0 \)
\(\displaystyle but \forall a \ne b , \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=\frac{a^3-b^3}{a-b}=a^2+ab+b^2=(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3}{4}b^2 \)
只有在\(\displaystyle a=b=0 \)的時候才會等於0
所以這有問題，只能說是最小上界和最大下界。
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