Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 100豐原高中

八神庵 發表於 2011-5-29 17:55

100豐原高中

感謝PTT實習教師板板友lairabbit分享
請各位享用吧
PS.有參照該分享文底下推文修正檔案了

[[i] 本帖最後由 八神庵 於 2011-5-30 09:31 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2011-5-29 18:34

3.
正方形ABCD中一點P，已知\( \overline{PA}=7 \)、\( \overline{PB}=3 \)、\( \overline{PC}=5 \)，求此正方形的面積。

設正方形ABCD內部有一點P滿足\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \sqrt{2} \)，\( \overline{DP}=5 \sqrt{2} \)，試求正方形ABCD的面積。
(建中通訊解題第17期)


2.
兩島嶼，一島為凸n邊形，另一島為圓形，已知兩島周長一樣，島嶼沿岸d公里內皆為該島的領海，求證此兩島的領海面積一樣大？

一國之領海為由其海岸線向外延伸5浬所成區域，今有甲、乙二島國，甲島國為一圓形，乙島國為一凸六邊形。若甲、乙二島國之海岸線長相等，求證此二島國之領海相等。
(高中數學101　P139)


9.
\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2 (cos \frac{\pi}{2^k}) \)，\( \displaystyle S=\lim_{n \to \infty}S_n \)，求S？

設\( \displaystyle S_n=\sum_{k=2}^n log_2 (cos \frac{\pi}{2^k}) \)，求證：\( -1<S_n<0 \)
(97潮州高中)

aonzoe 發表於 2011-5-29 18:51

回復 1# 八神庵 的帖子

想請教4、7、8題的解法，感恩！

weiye 發表於 2011-5-29 21:32

第 4 題：一曲線 \(\Gamma :y=\sqrt{2ax}\) 上一點 \(P\)，已知 \(\overline{PO}=1\)，\(P\) 對 \(x\) 軸做垂足 \(H\)，求被 \(\Gamma, \overline{PH}, x\) 軸圍住，繞 \(x\) 軸旋轉的旋轉體體積 \(V(a)\) 的最大值。

解答：

令 \(P(2at^2, 2at)\)，其中 \(t>0\)，

則 \(\overline{OP}^2=(2at^2)^2+(2at)^2=1\)

　　\(\Rightarrow 4a^2t^4+4a^2t^2=1\)

\(\displaystyle V(a)=\int_0^{2at^2} \pi \left(\sqrt{2ax}\right)^2 dx\)

　　\(\displaystyle =\pi ax^2\Big|_0^{2at^2}\)

　　\(=4\pi a^3t^4\)

由算幾不等式，可得

　　\(\displaystyle \frac{4a^2t^4+2a^2t^2+2a^2t^2}{3}\geq\sqrt[3]{4a^2t^4\cdot 2a^2t^2\cdot 2a^2t^2}\)

　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{3}\geq\sqrt[3]{16a^6t^8}\)

　　\(\displaystyle \Leftrightarrow \frac{\sqrt{3}\pi}{9}\geq 4\pi a^3t^4\)

所以，\(V(a)\) 的最大值為 \(\displaystyle\frac{\sqrt{3}\pi}{9},\)

且此時解聯立方程式 \(\displaystyle 4a^2t^4=2a^2t^2\) 且 \(4a^2t^4+4a^2t^2=1\)，

可得 \(\displaystyle a=\frac{1}{\sqrt{3}}, t=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

註：如果有誤，希望網友能請不吝告知，感謝。

weiye 發表於 2011-5-29 21:59

第 9 題：

\(\displaystyle S_n=\log_2\left(\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n-1}}\cos\frac{\pi}{2^n}\right)\)

　\(\displaystyle=\log_2\left(\frac{\displaystyle\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n-1}}\cdot 2\cos\frac{\pi}{2^n}\sin\frac{\pi}{2^n}}{\displaystyle2\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)\)

　\(\displaystyle=\log_2\left(\frac{\displaystyle\cos\frac{\pi}{2^2}\cos\frac{\pi}{2^3}\cdots\cos\frac{\pi}{2^{n-1}}\cdot \sin\frac{\pi}{2^{n-1}}}{\displaystyle2\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)\)

　\(=\cdots\)

　\(\displaystyle=\log_2\left(\frac{\displaystyle\sin\frac{\pi}{2}}{\displaystyle2^{n-1}\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)\)

　\(\displaystyle=\log_2\left(\frac{1}{\displaystyle2^{n-1}\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)\)

　\(\displaystyle=\log_2\left(\frac{2}{\pi}\cdot\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2^n}}{\displaystyle\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)\)

因為 \(\log_2 x\) 為連續函數，且 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2^n}}{\displaystyle\sin\frac{\pi}{2^n}}=1\)

所以 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=\log_2\left(\frac{2}{\pi}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\frac{\pi}{2^n}}{\displaystyle\sin\frac{\pi}{2^n}}\right)\)

　　　　　　\(\displaystyle=\log_2\left(\frac{2}{\pi}\cdot1\right)\)

　　　　　　\(=1-\log_2\pi.\)


註：如果有錯誤的地方，希望網友能請不吝告知，感謝。 ^__^

weiye 發表於 2011-5-29 22:29

第 7 題：

若 \(n\) 為偶數，則 \(\displaystyle a_n=\left(1^2-2^2\right)+\left(3^2-4^2\right)+\cdots+\left((n-1)^2-n^2\right)\)

　　　　　　　　　　　\(=(-3)+(-7)+\cdots+(-2n+1)\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =-\left(\frac{\frac{n}{2}\cdot(2n+2)}{2}\right)\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =-\frac{n(n+1)}{2}\)

若 \(n\) 為奇數，則 \(\displaystyle a_n=\left(1^2-2^2\right)+\left(3^2-4^2\right)+\cdots+\left((n-2)^2-(n-1)^2\right)+n^2\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =-\frac{(n-1)n}{2}+n^2\)

　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{n(n+1)}{2}\)

所以 \(\displaystyle a_n=(-1)^{n+1}\cdot\frac{n(n+1)}{2}\)

故，

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{a_n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}\)

　　　　　　　\(\displaystyle =2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)

　　　　　　　\(=2.\)

註：如果有錯誤的地方，希望網友能請不吝告知，感謝。 ^__^

iamcfg 發表於 2011-5-29 23:20

第8題提供一點idea  我沒有詳細作出來

假設 \(\displaystyle{z= \frac{1}{2}( \cos(x)+i \sin(x))}\)

此題會是 \(z\) 的無窮等比級數的虛部

所以 \(\displaystyle{a=\frac{z}{1-z}}\)  算完再找虛部

weiye 發表於 2011-5-29 23:43

第 8 題：

[quote]原帖由 [i]iamcfg[/i] 於 2011-5-29 11:20 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3289&ptid=1118][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第8題提供一點idea  我沒有詳細作出來

假設 \(\displaystyle{z= \frac{1}{2}( \cos(x)+i \sin(x))}\)

此題會是 \(z\) 的無窮等比級數的虛部

所以 \(\displaystyle{a=\frac{z}{1-z}}\)  算完再找虛部 ... [/quote]

令 \(\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)\)，

則 \(\displaystyle z+z^2+z^3+\cdots=\frac{z}{1-z}=\frac{\frac{1}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)}{1-\frac{1}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)}\)

　　　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{\left(\cos x+i\sin x\right)}{2-\cos x-i \sin x}\)

　　　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{\left(\cos x+i\sin x\right)}{\left(2-\cos x\right)^2+\sin^2 x}\cdot\left(2-\cos x+i\sin x\right)\)


題目所求即為 \(z+z^2+z^3+\cdots\) 的虛部 \(\displaystyle =\frac{\cos x\sin x+\sin x\left(2-\cos x\right)}{\left(2-\cos x\right)^2+\sin^2 x}\)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　\(\displaystyle =\frac{2\sin x}{5-4\cos x}.\)


註：感謝 iamcfg 提供這個超讚的方法！

aonzoe 發表於 2011-5-30 14:36

回復 8# weiye 的帖子

感謝兩位老師的快速解答：)
另外補充一下:
第8題好像還有第二小題，要解出An的範圍(0<=x<=2π)

weiye 發表於 2011-5-30 16:01

回復 9# aonzoe 的帖子

令 \(\displaystyle k=\frac{2\sin x}{5-4\cos x}\)

則 \(\displaystyle 2\sin x+4k\cos x=5k\)

　\(\displaystyle \Rightarrow \left|5k\right|\leq\sqrt{2^2+\left(4k\right)^2}\)

　 \(\displaystyle \Rightarrow \frac{-2}{3}\leq k\leq\frac{2}{3}\)

所以 \(\displaystyle \frac{-2}{3}\leq \lim_{n\to\infty} a_n\leq\frac{2}{3}\)

cally0119 發表於 2011-5-30 22:48

請教一下1,5,6三題的想法?

JOE 發表於 2011-5-31 03:33

請問類似第一題的內切球問題

之前有看過板上的討論

邊長a的正四面體內切若干個(忘了題目)相同大小的球,求球半徑?

請問有大大記得是哪校考題嗎

dream10 發表於 2011-6-2 22:48

內切球~~97台中二中有考~~

JOE 發表於 2011-6-5 14:12

請問第1,5,6有大大可以指點一下嗎  謝謝

weiye 發表於 2011-6-5 22:07

第 6 題：

設拋物線方程式為 \(y=ax^2+bx+c\)

拋物線通過 \((-1,-1), (2,2)\)  帶入，

可得 \(-1=a-b+c, 2=4a+2b+c\)

\(\Rightarrow b=1-a, c=-2a\)

「拋物線與 \(x\) 軸所截長度」的平方 \(\displaystyle = \left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\left(\frac{c}{a}\right)\)

　　　　　　　　　　　　　　　　 \(\displaystyle = \left(1-\frac{1}{a}\right)^2 +8\)

　　　　　　　　　　　　　　　　 \(\geq 8\)

當 \(a=1\) 時，拋物線與 \(x\) 軸所截長度有最小值為 \(2\sqrt{2}\)

且此時 \(b=0,c=-2\)，拋物線方程式為 \(y=x^2-2\)

weiye 發表於 2011-6-5 22:29

第 5 題：

設 \(\Gamma\) 上的動點 \(\displaystyle P(t,t^2-\frac{1}{2})\)

則過 \(P\) 點的法線方程式為

　　　　　　\(\displaystyle y-\left(t^2-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2t}\left(x-t\right)\)

通過 \((a,3)\) 帶入，可得 \(t\) 的一元三次方程式 \(2t^3-6t-a=0\)

依題意此 \(t\) 的一元三次方程式應該有三實根，

令 \(f(t)=2t^3-6t-a\)

則 \(f'(t)=0\Rightarrow t=\pm 1\)

因為 \(f(t)=0\) 有三實根，

所以

[align=center][img]http://img847.imageshack.us/img847/1295/qqqu.png[/img]
[/align]

\(\Rightarrow f(-1)>0\) 且 \(f(1)<0\)

\(\Rightarrow -4<a<4.\)

weiye 發表於 2011-6-5 23:14

第 1 題：

設球半徑為 \(r\)

則 \(r\cdot\sqrt{3} + 4r+r\cdot\sqrt{3}=10\cdot\sqrt{3}\)

\(\displaystyle\Rightarrow r=10\sqrt{3}-15.\)




（（我不太會畫立體圖，所以我用文字說明好了！））

設上面四顆球為 \(A,B,C,D\)，

　對應下面的四顆球為 \(E,F,G,H\)，

　最中間球為 \(I\)，

則因為 \(A,I,G\) 的球心與此正立方體對角線上的頂點會共線，

　且 \(A\) 的球心到它最接近的正立方體頂點的距離＝\(G\) 的球心到它最接近的正立方體頂點的距離＝\(r\sqrt{3}\)，

　 以及 \(\overline{AG}=4r\)，

　所以此正立方體的對角線長為 \(r\cdot\sqrt{3} + 4r+r\cdot\sqrt{3}.\)



註：如果以上想法有錯誤的地方，希望高手可以不吝告知，感謝！

wbyeombd 發表於 2011-6-7 13:47

回復 17# weiye 的帖子

[attach]465[/attach]
真的不好畫耶...
我用Cabri 3D
不知道畫得對不對，不過我很確定很多步驟是多餘的...
Cabri 3D 外行的…  囧

[[i] 本帖最後由 wbyeombd 於 2011-6-9 12:10 PM 編輯 [/i]]

bugmens 發表於 2011-6-10 18:42

1.一個邊長10cm的正立方體內塞九個大小相同的球，中心球的球心在正立方體的中心，其他球皆與三個相鄰面以及中心球相切，求球的半徑？

9個相同的球被包裝在一個邊長為1的正立方體內，其中一個球的球心位於正立方體的中心點上，而其他的球均與中心球相切且與正立方體的三各面相切，則每一個球的半徑為[u]　　[/u]單位長。
(A)\( \displaystyle 1-\frac{\sqrt{3}}{2} \)　(B) \( \displaystyle \frac{2 \sqrt{3}-3}{2} \)　(B) \( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} \)　(D) \( \displaystyle \frac{1}{4} \)　(E) \( \displaystyle \frac{2\sqrt{3}-\sqrt{6}}{4} \)
(97全國高中聯招)

101.10.16補充
將一個半徑為5公分的鐵球，放入一個邊長10公分的正方體容器，再放入另一個小鉛球，然後蓋上正方體容器的蓋子，使蓋子與正方體完全密合，則這個鉛球的最大半徑為[u]　　[/u]公分
(100高中數學能力競賽　第一區筆試(二)試題，[url]https://math.pro/db/thread-1349-1-1.html[/url])

waitpub 發表於 2012-3-13 11:52

回復 15# weiye 的帖子

請問一下老師式子中所說的拋物線與 \(x\) 軸所截長度的平方
為何不是(b^2-4ac)/(4a)?
我的a跟老師一樣都是等於1，
但拋物線與 x 軸所截長度最小值算出來卻是根號2。

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