回復 13# weiye 的帖子
不好意思我想請教一下
填充12題。
我先經過平移後舊原點變為(-1,-1)
再旋轉後舊原點變為(-根號2,0)
所以應該變成(x+根號2)^2+y^2
請問是我平移的觀念有錯嗎？還是？
先謝謝了！
回復 22# johncai 的帖子
你沒有錯，是我筆誤把 \(\displaystyle\left(x+\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 打成 \(\displaystyle\left(x-\sqrt{2}\right)^2+y^2\) 了，看後面配方還原回去就可以知道我打錯正負號了。立馬修正，感謝。 :)
回復 21# frombemask 的帖子
第 12 題（第七次合作杯數學有獎徵答所提供的參考解答的方法）令 \(x+y=u, xy=v\)，則
\(x^2+xy+y^2=3x+3y+9\Rightarrow \left(x+y\right)^2-xy=3\left(x+y\right)+9\)
\(\Rightarrow u^2-v=3u+9\Rightarrow v=u^2-3u-9\)
所求＝\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=u^2-2v=u^2-2\left(u^2-3u-9\right)\)
\(=-u^2+6u+18=-\left(u-3\right)^2+27\)
因為 \(x,y\) 為方程式 \(t^2-ut+v=0\) 的實根
所以判別式 \(D=u^2-4v\geq0\)
再將 \(v=u^2-3u-9\) 帶入上式，
可得 \(u^2-4\left(u^2-3u-9\right)\geq0\Rightarrow u^2-4u-12\leq0\)
\(\Rightarrow \left(u+2\right)\left(u-6\right)\leq0\Rightarrow -2\leq u\leq6\)
由 所求 \(x^2+y^2=-\left(u-3\right)^2+27\) 搭配 \(u\) 的範圍 \(-2\leq u\leq6\)
（畫出頂點在 \((3,27)\) 且開口向下拋物線的圖形）
可得當 \(u=3\) 的時候，\(x^2+y^2\) 有最大值為 \(27\)；
當 \(u=-2\) 的時候，\(x^2+y^2\) 有最小值為 \(2\)。
填充7
填充7考慮一個正四面體與其內切球與外接球。今在正四面體之四個面，均有一個最大球與其相切也和外接球相切(此球在正四面體外部)。若在外接球的內部任取一個點\(P\)，則\(P\)不落在內切球內部也不落在正四面體外圍的四個球內之機率為何？
[解答]
（幫朋友解完順便ＰＯ上來～）
111.1.15補充
已知一正四面體有一個外接球與一個內切球，今知在四面體中之四個面，均有一個最大的球(在正四面體外)與其相切且與外接球也相切，若在外接球內任選一點\(P\)，則\(P\)落在內切球或正四面體外圍的四個球內之機率的近似值為 。
(A) 0 (B) 0.1 (C) 0.2 (D) 0.3 (E) 0.4
(1999ASHME，[url]https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1999_AHSME_Problems/Problem_29[/url])
[attach]2021[/attach]
回復 1# bugmens 的帖子
請教填充第5題，感謝。回復 26# mathca 的帖子
第5題\(x\)分別用1和\(\omega =\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)代進去做做看
回復 27# thepiano 的帖子
感謝!!頁:
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