100彰化女中
如附件請各位用力享用
有去考的可以分享計算題嗎? 以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 68分
78,77,75,70,69,68,68
(68分有2人增額錄取參加複試)
60~63分 3人
50~59分 15人
40~49分 29人
30~39分 32人
20~29分 25人
10~19分 15人
0~ 9分 8人
缺考 2人
共計 136 人 1.
化簡\( \displaystyle \frac{1}{sin 10^o}-4sin70^o \)
(奧數教程 高一卷 第11講三角恆等變形)
5.
設\( a_n=7^n+8^n+9^n \)，其中\( n=1,2,3,... \)，試求\( a_{100} \)除以512的餘數為？
設\( a_n=7^n+8^n+9^n \)，其中\( n=1,2,3,... \)，試求\( a_{99} \)除以729的餘數為？
(98高中數學能力競賽 台北市筆試一試題)
[url]https://math.pro/temp/hs_math_98.rar[/url]
13.
已知\( x,y,z \)為正實數，且滿足\( xyz(x+y+z)=8 \)，則\( (x+z)(y+z) \)的最小值為？
若三正數\( x,y,z \)滿足\( xyz(x+y+z)=25 \)，則\( (x+y)(y+z) \)的最小值為？
(97高中數學能力競賽第四區筆試二)
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=919[/url]
已知\( x,y,z \)是正数，且满足\( xyz(x+y+z)=1 \)，则\( (x+y)(x+z) \)的最小值为？
(新奧數教程高二卷第2講 平均不等式和科西不等式，高中數學101 P353)
[img]https://math.pro/db/attachment.php?aid=167&k=d4776f93557441eb1fa4b9b35545670e&t=1306484791&noupdate=yes[/img] 能否請問一下老師們
第12 15 17嗎，感謝 第 15 題
編號1，2，3，……，9的卡片9張，甲從其中任選3張，乙再從剩下的卡片任選3張，並且依下列規則比大小：
第一回合：兩人手中最大號碼的卡片比較數字大小；
第二回合：兩人手中第二大號碼的卡片比較數字大小；
第三回合：兩人手中最小號碼的卡片比較數字大小；
每回合數字大者該回合獲勝，三回合獲勝較多者為贏家。請問甲有兩回合獲勝的情形有幾種？
[解答]
由 9 個號碼中選出 6 個，
這六個號碼由小到大，分配給甲乙兩人的情況只有可能為
乙乙甲甲[color=red]甲乙[/color]，乙甲乙甲[color=red]甲乙[/color]（←甲輸了最大數）
乙甲[color=red]甲乙[/color]乙甲（←甲輸了中間數）
[color=red]甲乙[/color]乙甲乙甲，[color=red]甲乙[/color]乙乙甲甲（←甲輸了最小數）
所以，所求為 \(C^9_6\cdot5=420\) 種。 12.
坐標平面上，已知點\( A(4,0) \)和\( B(3,3) \)，P是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1 \)上的動點，則\( \overline{PA}+\overline{PB} \)的最小值為？
[解答]
取\( F(-4,0) \)，作射線\( \overline{FB} \)交橢圓於P
P即為所求
證明：
在橢圓上任取一點Q
\( F(-4,0)，A(4,0) \)為橢圓的兩焦點，\( 2a=12 \)
由橢圓定義可知
\( \overline{PA}+\overline{PB}=2a-\overline{BF} \)
\( \overline{QA}+\overline{QF}=2a \)
△A'BP'的三角不等式
\( \overline{QB}+\overline{BF} \ge \overline{QF} \)
\( \overline{QB}-\overline{QF} \ge -\overline{BF} \)
\( 2a-\overline{QF}+\overline{QB} \ge 2a-\overline{BF} \)
\( \overline{QA}+\overline{QB} \ge \overline{PA}+\overline{PB} \)
當\( P=Q \)時等號成立
給定\( A(-2,2) \)，已知B是橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上的動點，F是左焦點，當\( \displaystyle \overline{AB}+\frac{5}{3}\overline{BF} \)取最小值時，求B的坐標？
(1999大陸高中數學競賽)
雖然這題看起來和上一題有點類似，但多乘了\( \displaystyle \frac{5}{3} \)倍，整個解法就完全不同。 [quote]原帖由 [i]hua77825[/i] 於 2011-5-27 04:38 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3272&ptid=1113][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
能否請問一下老師們
第12 15 17嗎，感謝 [/quote]
第17題
夜市裡流行著一個遊戲。
遊戲規則是：參賽者必須先付10元再擲一粒公正的骰子，若出現1點或6點，則進入甲套玩法，否則選擇乙套玩法。
甲套玩法：同時取5枚銅板丟擲一次，每出現一個正面可贏得獎金2元。
乙套玩法：只取一枚銅板丟擲5次，在丟擲過程中，出現第\(k\)個正面可贏得獎金\(k\)元，\(0\le k \le 5\)。
試求：玩一次這個遊戲，得獎金期望值為[u] [/u]元。
請見
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519[/url]
回復 7# 八神庵 的帖子
看了附件仍然不懂為何:\(\displaystyle arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\ldots\)
可以請老師再說明一下嗎？
回復 8# aonzoe 的帖子
泰勒展開式. 想請教第16題，感謝 第16題設聯立不等式\(\cases{\displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}\le 1\cr |\;y|\;\le 2}\)在坐標平面上所圍成的區域為\(R\)，求此區域\(R\)繞\(x\)軸旋轉所得旋轉體體積為[u] [/u]。
[解答]
[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2519[/url] 可否請教第11題的解題方向
以及第18題始終算不出所公佈的答案
回復 12# loui315 的帖子
11題四邊形\(ABCD\)為圓內四邊形，\(\overline{AC}\)為直徑且\(\overline{AC}=2\)，又\(\displaystyle \vec{AC}=\frac{3}{2}\vec{AB}+\frac{5}{2}\vec{AD}\)，\(\overline{AC}\)與\(\overline{BD}\)相交於\(E\)點，則\(\overline{BD}\)長度為[u] [/u]。
[解答]
假設\(\displaystyle \vec{AE}=k\vec{AC}=\frac{3k}{2}\vec{AB}+\frac{5k}{2}\vec{AD} \)
\(\displaystyle \frac{3k}{2}+\frac{5k}{2}=1 \)
\(\displaystyle k=\frac{1}{4} \)
所以\(\displaystyle AE=\frac{1}{2} \)
以及\(\displaystyle \vec{AE}=\frac{3}{8}\vec{AB}+\frac{5}{8}\vec{AD} \)
那就知道\(\displaystyle BE : DE=5:3 \)
設為\(\displaystyle BE=5t,DE=3t \)
由圓冪定理\(\displaystyle AE \times EC=BE \times ED \)
解出\(\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{20}} \)
那麼\(\displaystyle BD=8t=\frac{4\sqrt{5}}{5} \)
回復 12# loui315 的帖子
18題設雙曲線\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{3}=1\)的右頂點為\(A\)，右焦點為\(F\)，過點\(F\)平行於雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交於\(B\)點，則\(\Delta AFB\)的外接圓半徑長為[u] [/u]。
[解答]
\(A(1,0)\)，\(F(2,0)\)
計算B
選一條漸近線就好(因為對稱)，選斜率為\(\displaystyle \sqrt3 \)
直線\(\displaystyle y=\sqrt3(x-2) \)代入雙曲線求交點得到
\(\displaystyle B(\frac{5}{4},-\frac{3\sqrt3}{4}) \)
\(\displaystyle AB=\frac{\sqrt7}{2} \)
\(\displaystyle \angle{AFB}=60^o \)
\(\displaystyle 2R=\frac{AB}{\sin60^o}=\frac{\sqrt{21}}{3} \)
\(\displaystyle R=\frac{\sqrt{21}}{6} \) 計算題有兩題，我是憑印象記下來的
我只記得第一題，有一些敘述我記不太清楚，可能有所遺漏1. a,b 屬於實數， lim f(x) / (x-1) =a , lim f(x) / (x-2) = b ,
x->1 x->2
(1) 求 f(1) +f(2)
(2) ab>0 , 證明: f(x) =0 在 1<= x <= 2 至少有三個實根
想請教填充一.3和填充二 3.6
想請教填充一.3和填充二 3.6謝謝大家!!
回復 16# milkie1013 的帖子
填充一3求\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-x)=\)[u] [/u]。
[提示]
前後都趨近正無限大
填充二3
袋中有55個顏色及大小均相同的球，僅編號不同，分別是1號球1個，2號球2個，3號球3個，…，10號球10個，今自袋中任取4球，則取出的情形有[u] [/u]種。
[解答]
只看取出情況，意即只看取到的號碼狀況，分成
4:C(7,1)=7
3+1:C(8,1)*C(9,1)=72
2+2:C(9,2)=36
2+1+1:C(9,1)*C(9,2)=324
1+1+1+1:C(10,4)=210
全部相加得到649
填充二6
\(n\)為自然數，已知\(1\le n \le 2011\)，若\(a_n=log_9 n\)為有理數，則所有\(a_n\)的總和為[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle a_n=\log_9 n=\frac{1}{2}\log_3 n \)
所以n要為3的指數，有1,3,9,27,81,243,729
總和為\(\displaystyle \frac{1}{2}(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{2} \)
sorry~~我發現我是要問填充二.2
[quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2011-6-1 02:53 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3359&ptid=1113][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]填充一3
前後都趨近正無限大
我的想法是:上下同乘(x^2-x+1)^(1/2)+x
如此一來分子變成1-x
分母變成(x^2-x+1)^(1/2)+x
再上下同除x
那就變成-1/2
那A安捏??
... [/quote]
回復 18# milkie1013 的帖子
填充一3求\(\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^2-x+1}-x)=\)[u] [/u]。
[提示]
如果用反有理化，問題出在同除以x的時候，
因為x是負值，所以拿到根號裡面時，外面要留一個負號，這樣分母就是0了。
填充二2
對實數\(a\)和\(b\)，定義\(a*b=a^b+b^a\)。如果實數\(x\)滿足\(2*x=2011\)，則\([\;x]\;\)的值為[u] [/u]。
(其中\([\;x]\;\)不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
意思就是要解2^x+x^2=2011
分成x>0和x<0來看
在x>0，2^x和x^2都嚴格遞增，所以只有一解，然後就代數字
x=10，2^10+10^2<2011
x=11，2^11+11^2>2011
所以這邊的解的高斯值為10
當x<0，0<2^x<1，所以不大需要去管他
(-44)^2=1936，(-45)^2=2025
所以解介於-44,-45之間，所以高斯值為-45
回復 18# milkie1013 的帖子
填充二.2對實數\(a\)和\(b\)，定義\(a*b=a^b+b^a\)。如果實數\(x\)滿足\(2*x=2011\)，則\([\;x]\;\)的值為[u] [/u]。
(其中\([\;x]\;\)不大於\(x\)的最大整數)
[解答]
2*x=2^x+x^2=2011
令f(x)=2^x+x^2-2011
因f(10)=2^10+10^2-2011<0且f(11)=2^11+11^2-2011>0
由勘根定理得在10~11間至少有一實根x使得f(x)=0
所以x=10. ... ,[x]=10
又因f(-44)=2^(-44)+(-44)^2-2011<0且f(-45)=2^(-45)+(-45)^2-2011>0
由勘根定理得在-45~-44間至少有一實根x使得f(x)=0
所以x=-44. ... ,[x]=-45
所求=10或-45