100中和高中
請問第6題第7題第11題6.a+b=√3,ab=1,求a^100+b^100
7.二項分佈(n,p)=(5,1/2)，x表成功的次數
(1)求P(u-σ<x<u+σ)
(2)結果是否和常態分佈相同
11.A=[a_{ij}],i,j屬於{0,1,2}，A為2*2矩陣，試問可逆的A有幾個?
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第 6 題. a+b=√3,ab=1,求a^100+b^100解答：
解聯立方程式（a+b=√3, ab=1），
可得 \(\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}+i}{2},b=\frac{\sqrt{3}-i}{2}\) 或 \(\displaystyle a=\frac{\sqrt{3}-i}{2},b=\frac{\sqrt{3}+i}{2}\)
則，所求 \(\displaystyle a^{100}+b^{100}=\left(\frac{\sqrt{3}+i}{2}\right)^{100}+\left(\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right)^{100}\)
\(\displaystyle =\left(\cos 30^\circ+i\sin 30^\circ\right)^{100}+\left(\cos \left(-30^\circ\right)+i\sin \left(-30^\circ\right)\right)^{100}\)
＜套用隸美弗定理，可得如下＞
\(\displaystyle =\left(\cos 3000^\circ+i\sin 3000^\circ\right)+\left(\cos \left(-3000^\circ\right)+i\sin \left(-3000^\circ\right)\right)\)
\(=2\cos 3000^\circ\)
\(=2\cos 120^\circ\)
\(=-1\)
（當然有人對公式很熟的話，也可以利用 \(\displaystyle a+\frac{1}{a}=\sqrt{3}=2\cos 30^\circ\Rightarrow a^{100}+\frac{1}{a^{100}}=2\cos3000^\circ\)）
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11.A=[a_{ij}],a_{ij} 屬於{0,1,2}，A為2*2矩陣，試問可逆的A有幾個?解答：
題目等同於 「設 \(a,b,c,d\in\left\{0,1,2\right\}\)，求滿足 〝\(ad\) 不等於 \(bc\)〞 的解 \((a,b,c,d)\) 有多少組？」
先來求 \(ad=bc\) 的有幾組好了～
case i: 等號左右兩邊都是零
\(\left(3\cdot 3 - 2\cdot 2\right)\cdot\left(3\cdot 3 - 2\cdot 2\right)=25\) 組
case ii: 等號左右兩邊都不是零
case a: 等號左右兩邊都是 \(1\)
有 \(1\) 組
case b: 等號左右兩邊都是 \(2\)
\((a,d)=(1,2)\) 或 \((2,1)\)
搭配 \((b,c)=(1,2)\) 或 \((2,1)\)
有 \(2\cdot2=4\) 組
case c: 等號左右兩邊都是 \(4\)
有 \(1\) 組
所以滿足 \(ad=bc\) 的有 \(31\) 組，
那滿足 〝\(ad\) 不等於 \(bc\)〞 的就有 \(3^4-31=50\) 組。
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7.二項分佈(n,p)=(5,1/2)，x表成功的次數(1)求P(u-σ<X<u+σ)
(2)結果是否和常態分佈相同
解答：
※※ 小弟對於統計並不是很擅長，以下敘述如果有錯誤的地方，
或是有在統計上敘述的不妥之處，希望有統計高手能不吝告知。
二項分佈的平均數 \(\displaystyle \mu=np=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\)
標準差 \(\displaystyle \sigma=\sqrt{np\left(1-p\right)}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
（以上兩者的證明請見 [url=http://www.google.com.tw/search?q=%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E9%85%8D+%E6%A8%99%E6%BA%96%E5%B7%AE+%E8%AD%89%E6%98%8E]google[/url]）
（1） 題目所求 \(\displaystyle P(\frac{5-\sqrt{5}}{2}<X<\frac{5+\sqrt{5}}{2})\)
\(=P(1.38...<X<3.61...)\)
\(=P(X=2)+P(X=3)\)
\(\displaystyle =C^5_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3+C^5_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(\displaystyle =\frac{5}{8}=0.625\)
（2）如果是常態分佈的話，P(u-σ<X<u+σ)=68.xxx％\(=0.68...\)，
所以只是近似於常態分佈，而非常態分佈。 補上完整的題目和部分出處
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-6-9 08:43 PM 編輯 [/i]]
回復 2# weiye 的帖子
建議將隨機變數 \(\displaystyle x\) 用 大寫 \(\displaystyle X\) 來表示[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-5-26 10:42 AM 編輯 [/i]]
回復 6# Joy091 的帖子
[quote]原帖由 [i]Joy091[/i] 於 2011-5-26 10:40 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3259&ptid=1112][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]建議將隨機變數 \(\displaystyle x\) 用 大寫 \(\displaystyle X\) 來表示 [/quote]
已修改，感謝！ ^__^
回復 5# bugmens 的帖子
請教第12題兩個小題證明。感謝。回復 8# mathca 的帖子
第12題(1)
\(\begin{align}
& n=3k\ ,\ {{2}^{n}}-1={{8}^{k}}-1\equiv 1-1\equiv 0\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
& n=3k+1\ ,\ {{2}^{n}}-1=2\times {{8}^{k}}-1\equiv 2-1\equiv 1\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
& n=3k+2\ ,\ {{2}^{n}}-1=4\times {{8}^{k}}-1\equiv 4-1\equiv 3\ \left( \bmod \ 7 \right) \\
\end{align}\)
所求為 n = 3k (k 為自然數)
(2) 方法同上
頁:
[1]