為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣?
同時丟兩硬幣觀察正反面的情況,若要求一正一反的機率時,為何兩硬幣要視為不同的兩硬幣? 謝謝!! 實際作試驗，我想丟個兩三百次，應該就會知道了。 我提供一下我上課的情境好了～～瑋岳：一袋中有 \(99\) 顆黑球，一顆白球，從袋中任取一球，請問取到白球的機率是多少？
（附圖～自己畫～ＸＤ）
學生：（（笑～心想～架甘丹(台語)～））\(\displaystyle \frac{1}{100}\)
瑋岳：可是很久以前，老師教過一個學生～跟我說「抽出來不是黑色、就是白色，只有兩種情況，所以抽到白球的機率是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\)。」
學生：（（笑））
瑋岳：我就跟他說～我去買樂透～只看結果也只有兩種～中獎頭獎或不中獎頭獎～
所以機率是 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) 呀！很高耶～大家要趕快去買喔，一不小心就中頭獎了耶！
學生：（（笑得更大聲））
瑋岳：回到取球問題，當我們由袋中取球的時候，袋中是〝實實在在〞存在 \(100\) 顆球，且每一顆球被取到的機會都一樣，
如果我們把這一百顆球編號成～黑球 1 號～黑球 2 號～ ‧‧‧到黑球 99 號，以及白球 1 號，
那可以發現我們可能取到的球～
實際上也只有來自「黑球 1 號～黑球 2 號～ ‧‧‧到黑球 99 號，以及白球 1 號」其中的一顆，
所以，在我們算機率的時候，[color=Red][b]不要只考慮最後呈現的結果[/b][/color]，要考慮實際可能會發生的每一種情況，
[color=Blue][b]要想想到底是哪些情況～有哪些樣本點～發生的機會是要相等的呢？[/b][/color]
（此時突然插題）當然，如果你要把樣本空間定義成｛黑，白｝也可以，但是這樣這兩個樣本點發生的機會就不相等了，
Ｐ（取到黑球）＝\(\displaystyle \frac{99}{100}\)， Ｐ（取到白球）＝\(\displaystyle \frac{1}{100}\)
（轉回原來主題）但是在高中為了計算方便，我比較喜歡把每一種〝實際會發生的情況〞定成〝發生機會相等〞，
在算機率的時候～如果題目說丟三顆骰子～我們就要把它當成[color=Red][b]三顆切切實實就是在地球上佔有不同實體的骰子[/b][/color]，
或是丟一顆骰子丟三次，那就要區分出第一次、第二次、第三次～分別是丟出哪個點數，
所以，丟三個〝實體上〞就是不一樣的骰子～第一顆可能出現 1 到 6，搭配第二顆可能出現 1 到 6 ，搭配第三顆可能出現 1 到 6 ，
總共有 \(6^3=216\) 種實際可能會發生的情況，[color=Red][b]每一種情況發生的機會相等[/b][/color]，
（附圖：如下）
[img]http://img405.imageshack.us/img405/9716/43651080.png[/img]
好啦，那我問你們～丟三個骰子出現的 \(216\) 種，這麼多種情況中～
最後出現的點數是 \(1,1,1\) 的機率是多少？
學生：\(\displaystyle \frac{1}{216}\)。
瑋岳：沒錯，就是當三顆骰子都出現 1 點，這唯一的一種情況，
那～～三顆骰子最後會出現的點數有 \(1\) 、有 \(2\)、 也有 \(3\) ，不限定順序喔，
出現的機率會是多少呢？
學生：是 \(\displaystyle \frac{6}{216}\)
（（此時發現～有些學生懂～有些還不是很懂為什麼，所以繼續解釋～））
瑋岳：聰明，因為把三個實際上就是在地球上佔有不同實體的骰子～對應到 \(1,2,3\) 的點數～貼上去，可能有 \(3!=6\) 種對應的方法。
所以，出現 \(1,2,3\) 的機率會是 \(\displaystyle \frac{6}{216}.\)
＜The end...：Ｐ＞
看到這裡，我想聰明的你應該知道為蝦咪丟兩枚硬幣時，要區分成兩個不同的實體了吧。 ^____^
同時丟跟連續丟
[font=微軟雅黑][size=6][font=新細明體][size=16pt]請問各位老師:[/size][/font][/size][/font][font=微軟雅黑][size=6][font=新細明體][size=16pt]同時丟[/size][/font][size=16pt]3[/size][font=新細明體][size=16pt]個硬幣的樣本空間為何？並求出現[/size][/font][size=16pt]2[/size][font=新細明體][size=16pt]正面[/size][/font][size=16pt]1[/size][font=新細明體][size=16pt]反面機率？[/size][/font][size=16pt][/size][/size][/font]
[font=微軟雅黑][size=6][size=16pt]1[/size][font=新細明體][size=16pt]個硬幣丟[/size][/font][size=16pt]3[/size][font=新細明體][size=16pt]次的樣本空間為何？並求出現[/size][/font][size=16pt]2[/size][font=新細明體][size=16pt]正面[/size][/font][size=16pt]1[/size][font=新細明體][size=16pt]反面機率？[/size][/font][/size][/font]
[font=微軟雅黑][size=6][font=新細明體][size=16pt]我搞不清楚,請問有何不同?是不是該把3 個硬幣視為不同才對?[/size][/font][/size][/font] [url=https://math.pro/db/thread-1109-1-1.html]https://math.pro/db/thread-1109-1-1.html[/url]
這跟你之前問的問題一樣
丟三個硬幣，三個硬幣是「不同」的個體
丟三次硬幣，不同的是地方在於「次序」
所以樣本空間的個數都是 \(2^3\)
[[i] 本帖最後由 poemghost 於 2012-4-24 11:08 PM 編輯 [/i]] 順便趁這文章問大家意見
「將6個相同的球，放進甲、乙、丙等3個不同的箱子中，每箱球數不限，則甲箱恰得2球的機率為何？」 樂透的例子好棒XD 我這樣想的
甲剛好兩個，先選兩個給甲，剩下四個球任意分配給乙、丙
[size=12px]分子=\(C^{6}_2*2^{4}\)
[/size]
[size=12px]分母[/size][size=12px]=\(3^{6}\)[/size] 嗯，所以還是必須要視為不同物才行 ^^ 分子：\(H^{2}_4\)
看成是y+z=4的非負整數解
分母：\(H^{3}_6\)
看成是x+y+z=6的非負整數解
請問這跟f大的答案差異
造成出入的原因為何？
[[i] 本帖最後由 shiauy 於 2012-4-27 01:34 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]shiauy[/i] 於 2012-4-27 01:29 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5224&ptid=1330][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
分子：\(H^{2}_4\)
看成是y+z=4的非負整數解
分母：\(H^{3}_6\)
看成是x+y+z=6的非負整數解
請問這跟f大的答案差異
造成出入的原因為何？ [/quote]
有出入的原因是因為你把球視為一樣 ^^
回復 8# tsusy 的帖子
個人認為，真正的問題，在於 #3 所給之問題題意不明「將6個相同的球，放進甲、乙、丙等3個不同的箱子中，每箱球數不限，則甲箱恰得2球的機率為何？」
敘述中，並不任何隨機、機率的敘述，才會造成各個的解讀的不同
舉例來說：丟一枚公正的硬幣，正反出現的機率皆為 \( \frac{1}{2} \)
就是公正二字，告訴了我們隨機、機率的訊息。
如果，今天是丟一枚不公正的硬幣，那又有誰曉得正反的機率是多少呢？
但實際上，在經過做題目的制約作用後，往往我們會習慣，談硬幣、骰子，就是公正、正常的硬幣、骰子
而古典機率中，使用事件集合的元素個數/樣本空間的元素個數
回到硬幣的問題，我們所知「公正」的事是每個硬幣出現正反的機會一樣
而樣本空間本身，是一種人為的定法，我們兩個人可以各自定義不同的樣本空間，
但只要這兩個樣本空間是公平，那計算的機率就相同。
例如在撲克牌的問題，5 張牌，計算 2 pairs 或 三條等的機率
有人覺得，要算機率，不管三七二十一 ，五張視為不一樣，算排列數，算完再除以分母 \( P^{52}_{5} \)
實際上，以前讀書時，某段時間，自己就是這樣。
但實際上，拿到任五張的機率一樣，所以用組合算，算完再除以分母 \( C^{52}_{5} \)，答案也是相同。 老實說，我不太懂TSUSY老師的意思 ^^!!
那TSUSY老師覺得那一題的題目該如何改比較不要造成誤會？
應該這麼說，為什麼有的題目視為相同或相異的結果會一樣，
原因是視為相同時，每一情況在樣本空間出現的機會一樣，
視為相異時，若剛好每一情況的排列數是相同的話，那麼它們在樣本空間出現的機會也會剛好一樣，
所以視為相同與相異的結果都一樣，就如同你舉的撲克牌的例子，
但有的題目將物品視為相同時，每一情況在樣本空間出現的機會並不一樣，
所以不能直接套用古典機率，那會違背古典機率的前提，
通常這個都是題目中的物品是「實際的物體」時才會發生的情形。
[[i] 本帖最後由 poemghost 於 2012-5-10 09:04 PM 編輯 [/i]]
回復 9# poemghost 的帖子
也許是我的回答，模糊了焦點，其實我想說的是有沒有自明的隨機性而當題目沒有自明隨機性的時候，自然會產生誤會
而自明的隨機性，來自哪了？通常是應該是來自實際操作的經驗，這樣說應該還是很模糊，而且也許不對，
舉例來說：箱子中有 6 紅球 5 黃球 3 白球，任取一球，是紅色的機率是 \( \frac{6}{11} \)
問題可以繼續延伸，如問取後不放回，紅球先取完的機率是多？
這個問題中，隱含自明的是：每次取球箱中任一顆球被取到的機率一樣
再一個例子，據說是台大某年的微積分考題
在圓上任取一弦，求弦長的期望值
據說，當時學生算出來多種不同的答案，原因何在？
就是我所說的，缺少自明的「隨機性」，所以不同的人用不同的抽樣方式計算。
如可能這樣計算，選定某一方向的弦算就好了，反正方向對稱，然以架坐標(設半徑 1)
列出這樣的 \( \frac{\int_{-1}^{1} 2\sqrt{1-x^2}dx}{2} \) 或是 \( \frac{\int_{0}^{\pi} 2 \sin \theta d \theta}{\pi} \)
不知道這個例子，是否能表達出我要說的事了
另外，突然想起來以前考試的時代，也許那時候還沒被制約...
不知道大家是否也有這樣經驗，題目明明是問機率，但敘述中卻是一件確切的事，只是不知道結果而已(好像是一個普查問題...本來抽樣的平均值有隨機性，但一普查，就變母群體的真平均值，是固定的數，沒有隨機性)
然後，在答案欄裡填上 1 或 0，但顯然答案一定不是這樣，之後再跑去找老師說題目敘述的疑義
所以，回到 # 3 的問題，個人的看法是，不是隨機的東西，就不應該亂問機率才是
如果真的要問，可能改成「將6個相同的球，[color=#FF0000]任意[/color]放進甲、乙、丙 3個不同的箱子中，[color=#FF0000]每球放入每箱的機率相同，並且互不影響[/color]。則甲箱恰得2球的機率為何？」
本來應該是獨立的說法，但用獨立事件敘述，好像有點麻煩 (其實是想用獨立變數，但高中沒有...)
再翻了一下手邊全華第二冊的課本，在習題 3-1 有一個這樣問題，其敘述如下：
將 6 個相同的球，放入甲、乙、丙三個不同的箱子中，S 表甲、乙、丙三箱分別放置球數之樣空本空間，A 表甲箱球數大於乙箱球數之事件，B 表甲、丙兩箱球數和為 5 的事件，
1. 試求 n(S)。
2. 以列舉法表 A 與 B 的積事件。
附帶一提，3-1 的標題是「樣本空間與事件」，之後這個問題在第三章的就沒有再出現過了。
也許編者也有注意到相同的事，所以之後第三章都沒有問這個機率的題目，並把它放在古典機率之前，所以只是單純的樣本空間，並不一定公平
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-5-29 08:38 AM 編輯 [/i]]
回復 10# tsusy 的帖子
不知道為什麼，小弟突然聯想到了張海潮教授寫的一篇《審書趣談》[url=http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/eArticleDetail.aspx?id=f76d2298-36fa-4a61-a8c4-4dcaa163d2a3]http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/R ... 1-a8c4-4dcaa163d2a3[/url]
要點連結中的＂詳全文＂喔！
樣本空間的疑問
袋中有三黑四白 自袋中隨機抽取一球 取後不放回 有一種色球取完就停止 全部洽取五球的機率解1
慮第五顆球是黑球或白球兩種情況
1.第五顆是黑球，前四顆是2黑2白，所以共有4! / (2!2!)=6種
2.第五顆是白球，前四顆是1黑3白，所以共有4!/3!=4種
[ (3*2*1*4*3) / (7*6*5*4*3) ] *6 + [ (4*3*2*1*3) / (7*6*5*4*3) ] *4 = 2/7
解2
[size=3][font=Times New Roman](1) [/font]第[font=Times New Roman] 5 [/font]球是黑球，前[font=Times New Roman] 4 [/font]球[font=Times New Roman] 2 [/font]黑[font=Times New Roman] 2 [/font]白：[font=Times New Roman]4! / (2!2!) = 6[/font][/size]
[size=3][font=Times New Roman](2) [/font]第[font=Times New Roman] 5 [/font]球是白球，前[font=Times New Roman] 4 [/font]球[font=Times New Roman] 1 [/font]黑[font=Times New Roman] 3 [/font]白：[font=Times New Roman]4! / 3! = 4[/font][/size]
[size=3]所求[font=Times New Roman] = (6 + 4) / [7! / (3!4!)][/font][/size]
Q
請問此題的樣本空間是 7*6*5*4*3 還是 [font=Times New Roman][size=3]7! / (3!4!)[/size][/font]
[font=Times New Roman][size=3][/size][/font]
[font=Times New Roman][size=3]還有像這種有一樣的色球 在考慮樣本空間 到底是將每個同色球視為相異還是視為相同[/size][/font]
[font=Times New Roman][size=3]如三黑四白 逐一取球 樣本空間是 7! 還是 7!/3!4! 如何跟學生解釋[/size][/font]
樣本空間的問題
袋子中有三顆黑球 四顆白球 每次取出一球取後不放回 而在有一種色球被取完時就停止 則全部取五球的機率是解1
慮第五顆球是黑球或白球兩種情況
1.第五顆是黑球，前四顆是2黑2白，所以共有4! / (2!2!)=6種
2.第五顆是白球，前四顆是1黑3白，所以共有4!/3!=4種
[ (3*2*1*4*3) / (7*6*5*4*3) ] *6 + [ (4*3*2*1*3) / (7*6*5*4*3) ] *4 = 2/7
解2
(1) 第 5 球是黑球，前 4 球 2 黑 2 白：4! / (2!2!) = 6
(2) 第 5 球是白球，前 4 球 1 黑 3 白：4! / 3! = 4
所求 = (6 + 4) / [7! / (3!4!)]
請問這個問題的樣本空間是 7*6*5*4*3 還是 7! / (3!4!)
這類逐一取球問題在考慮時 樣本空間到底要怎麼考慮 是要本同色球看成相異 還是相同(不盡相異物排列)
如何跟學生說
回復 17# YAG 的帖子
這問題延續本討論串，因此合併主題。回復 17# YAG 的帖子
在這個問題裡，當成相同球與相異球時，所列樣本空間雖然不同，但是兩個樣本空間裡的樣本點出現的機會是均等，計算起來是事都可以的，另外注意一件事情，兩種計算
方式分子與分母差別在於是否同乘3!4!，也就是說每一個當成相同物的樣本點會對應
對應4!3!個當成相異物的樣本點。
跟學生解釋時，我會跟學生說，現在你是閉著眼睛取球，沒有球相不相同問題。
但是要強調的事，依照古典機率的定義，所列出的樣本空間裡的樣本點出現的機會
需均等。
分相同物品的機率問題
先前在國中教甄，99年南區遇到一個機率問題：36.(Ｂ) 將5個相同的球分給三個小朋友，則其中有一個小朋友沒有分到球的機率是多少？
(A)2/7 (B)4/7 (C)5/21 (D)7/21
在友板與人討論，有兩種不同的說法，想向大家請教一下哪一種才是正確的想法：
(a) 把相同的球編號視為相異物，則所有的可能有3^5=243種
一個小朋友沒有拿到球：球全部分給另外兩個小朋友 3*(2^5-2)=90
因此機率為90/243＝10/27 .....沒有正確答案
(b) 這題根本不需要將球編號,一看就要用重複組合方式
假設第一位得x顆,第二位得y顆,第三位得z顆,x+y+z=5
S:樣本空間,A:其中有一個人沒有得到球的事件
n(S)=H(3,5)=C(7,5)=7*6/2=21
n(A)=C(3,1)*[H(2,5)-2]=3*[C(6,5)-2]=3*4=12
(先選沒得到球的人,剩下兩人分5球,要扣掉(0,5) ,(5,0) 情況)
所求p(A)=n(A)/n(S)=12/21=4/7
A包含在S內,並沒有矛盾,答案也沒有錯~
您將球編號去分組作,基本上方向就錯了~ 此想法由Ellipse老師提供，原文轉述，一開始沒有標註是我的疏忽，非常抱歉！
兩個說法在友版有非常激烈的爭論，這裡討論的人比較多，想知道更多人的想法，謝謝！
[[i] 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-23 06:50 PM 編輯 [/i]]