簡化問題
討論中有個簡化的問題一樣引出不同的意見：將10個相同的球分給甲乙兩人，甲獨得10球的機率是多少？
(a) 使用相異物的觀點，答案會是1/1024
(b) 使用重複組合的觀點，樣本空間裡就11個元素：S={(10,0)、(9,1)、......、(0,10)}
因此答案是1/11
哪一種正確呢？ [quote]原帖由 [i]farewell324[/i] 於 2014-5-23 02:26 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=10636&ptid=1900][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
先前在國中教甄，99年南區遇到一個機率問題：
(b) 這題根本不需要將球編號,一看就要用重複組合方式
假設第一位得x顆,第二位得y顆,第三位得z顆,x+y+z=5
S:樣本空間,A:其中有一個人沒有得到球的事件
n(S)=H(3,5)=C(7,5)=7*6/2=21
n(A)=C(3,1)*[H(2,5)-2]=3*[C(6,5)-2]=3*4=12
(先選沒得到球的人,剩下兩人分5球,要扣掉(0,5) ,(5,0) 情況)
所求p(A)=n(A)/n(S)=12/21=4/7
A包含在S內,並沒有矛盾,答案也沒有錯~
您將球編號去分組作,基本上方向就錯了~
[/quote]
[color=Red]建議網友不要回應~ 回了您就知道....
[/color]請益別人本就應該虛心接受指教
但回應的過程令人很不舒服
先是惹到鋼琴兄,小弟想說幫忙更正一下觀念
可是越回越火...最後連脾氣很好的我都忍不住...
(既然都已經有先入為主的觀念,講了也沒用,那何必問?)
還有:直接"複製貼上"用別人在友版所打的文字,一字不漏
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=46&t=1612&start=60[/url]
也沒說一聲,不尊重他人智慧財產權
這樣您覺得應答之間會有禮貌嗎?
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-23 02:52 PM 編輯 [/i]]
回復 3# Ellipse 的帖子
在友版的確是我與Ellipse老師的想法相左。我在原文中的確完全複製了Ellipse老師的回應過來
因為深怕在轉述中與Ellipse老師的原意有所落差，我也並未將此想法占為己有
如果您認為被冒犯了，我願意重發一篇文章再請益
把您在別處自己產生的情緒帶到這裡影響大家的討論，這是何必呢？ 我先說，我沒有看友版的文章內容，就我所知的來回答
題目中有提到五顆相同的球，所以你分到一顆球，
不管分到哪一顆都是分到一顆球，因為球是相同的（題目中的條件）；
如果把球編號之後再分，也就是把五顆球上面分別寫上1～5號，
你分到一顆球，就會有五種情形（分到1號球、分到2號球...）
如此一來這五顆球就不相同，就與題意不合，
所以把球編號的這個做法在這一題來說是不正確的解法。
回復 5# smartdan 的帖子
真的非常謝謝您的回覆！只是若是如此，
同時投擲3個相同的硬幣，出現2正1反的機率，不就會變成1/4了嗎？
回復 6# farewell324 的帖子
擲硬幣和分球是不同類型的題目，每一顆球都相同，而且每一顆球的本身都不會變化，
每一個硬幣雖然相同，但是他會有變化（出現正面或出現反面）
所以每一個硬幣必須視為獨立個體，也可將硬幣視為不同，
因此擲硬幣和分球不能混為一談。
回復 7# smartdan 的帖子
每一個硬幣都相同，會出現正反不同的情形每一顆球都相同，是否也有分給甲、或是不分給甲的兩種情形呢？
想像一個情景：
把一顆球從上方丟下來，底下有兩個籃子標示甲、乙，假設落入兩個籃子的機率相同
那麼分球跟硬幣不是一模一樣的題目嗎？
[[i] 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-24 04:46 PM 編輯 [/i]]
回復 8# farewell324 的帖子
球掉到甲乙兩個籃子，球「本身」沒有變化，還是那一顆球，掉完之後變成在甲籃裡面的球或在乙籃裡面的球，
球還是原來的那顆球；
擲硬幣之後，它「本身」就變成正面朝上的硬幣或反面朝上的硬幣，
這兩種不同的硬幣了。
球不管怎麼分怎麼掉，都還是原本的那顆球「不會變」，
硬幣在擲完之後就變成正面朝上的硬幣和反面朝上的硬幣，
球「本身」不會變，硬幣「本身」會變，這兩樣物品不同，
所以不能混為一談。
[[i] 本帖最後由 smartdan 於 2014-5-24 05:05 PM 編輯 [/i]]
回復 9# smartdan 的帖子
我不能理解怎麼球會變還是硬幣會變.....不是很懂您的意思就情境想，球在兩個籃子上彈來彈去的時候就是在變，
當落入甲籃子的時候就確定在甲籃子了，不會突然變成在乙籃子裡吧？
同理，硬幣在桌上轉呀轉的時候就是在變，
但停下來了正面朝上就是朝上，不會突然變成反面朝上....
突然覺得這個說法很趣味XD 5顆球有點多，換成3顆球舉例原理一樣
給小朋友編號1、2、3，球編號A、B、C
直接把它列出來
------------------
1 ABC 此表ABC三顆球都給1號小朋友
2 有三個小朋友，所以此狀況共3種
3
------------------
1 AB
2 C 此狀況6種
3
------------------
1 AC
2 B 此狀況6種
3
------------------
1 BC
2 A 此狀況6種
3
------------------
1 A
2 B 此狀況3!=6種
3 C
------------------
總合27種也就是3^3種
以原PO的算法只有中間三種符合，所以 = (6*3) / (3+6*3+1*6) = [3*(2^3-2)] / 3^3
這是在球有編號的情形下
若是球沒有編號
則上列第一項情形有3種
第二、三、四項共6種
第五項1種，總合為10種
符合的為第二、三、四項，所以=6 / (3+6+1) = 3*[H(2,3)-2] / H(3,3)
比較這個式子 (6*3) / (3+6*3+1*6) 和 6 / (3+6+1)
雖然都是b / (a+b+c) 的形式但是明顯不同
不知道這樣的解釋會不會比較好理解一點 在下不才，也來試試，我實在不明白相同物為何要改用相異物觀點。
以簡單例子來說：將2白球分給甲乙兩人，恰一人沒有拿到球的機率。
以相同物觀點是：樣本空間 (甲，乙)=(2，0)、(1，1)、(0，2)，故所求機率為 2/3。
以farewell324的觀點，上述樣本空間中(1，1)含有兩種情況：
若將球編號為白1白2，則可分成(白1，白2)、(白2、白1)
另外兩個(2，0)、(0，2)則不可再分，
所以樣本空間應為： (甲，乙)=(白1白2，0)、(白1，白2)、(白2，白1)、(0，白1白2)，所求機率為2/4。
以上兩個樣本空間，在各自的討論範圍(相同物或相異物)中，都是正確的。
在相同物中，若硬是要將球編號，則哪顆球先分出去是不同的情況，
所以樣本空間應為： (甲，乙)=(白1白2，0)、(白2白1，0)、(白1，白2)、(白2，白1)、(0，白1白2)、(0，白2白1)
所求機率為4/6=2/3是一樣的。
這時一定會問，那若是相異物該如何，例如1紅1黃球分給甲乙兩人，恰一人沒有拿到球的機率，
樣本空間為(紅黃，0)、(黃紅，0)、(先拿紅，後拿黃)、(後拿紅，先拿黃)、(先拿黃，後拿紅)、(後拿黃，先拿紅)、
(0，紅黃)、(0，黃紅)
所求機率為4/8=2/4，與前述相異物分球機率一樣。
因此，在這問題：將10個相同的球分給甲乙兩人，甲獨得10球的機率是多少？
(10，0)可分成 10! 種不同情況
(9，1)也可分成 10! 種不同情況
所以機率仍是1/11無誤。
以上只是自己觀點，試著回答看看而已。
回復 12# andydison 的帖子
謝謝您的回饋，不僅將球視為相異物，再依不同順序分球事實上，
andydison認為"將球編號，則哪顆球先分出去是不同的情況"
這是明顯的不合理。
如果每個球是公平的分配，那麼哪顆先分怎麼可能會有差異呢？
由於每顆球分配時均為獨立事件，因此您將球衣不同順序分出
不過是將整個樣本空間等比例放大而已(如同您後面所述10!、9!)，但機率不可能會改變
but，那麼為何依照andydison所列，樣本空間不是4*2!=8 種呢？
因為andydison除了
(甲，乙)=(白1白2，0)、(白2白1，0)、(白1，白2)、(白2，白1)、(0，白1白2)、(0，白2白1)外
您少列了兩種： (白1，白2)、(白2，白1)
既然甲獨得兩白球有(先分到白1、再分到白2)或是(先分到白2、再分到白1)兩種狀況
那麼(白1，白2)自然也有(甲先分到白1、乙再分到白二)＆(乙先分到白2、甲再分到白1)
同理，(白2，白1)也有(乙先分到白1、甲再分到白二)＆(甲先分到白2、乙再分到白1)各兩種狀況
因此，因為您漏掉了這兩種，否則答案仍為4/8=1/2
即便乘了9!、10!後，答案仍然以相異物的觀點為符合
如此，您明白相同物為何要改用相異物觀點切入了嗎？
回復 13# farewell324 的帖子
我還是不明白為何相同物問題要改用相異物觀點，明明結果不一樣。您有說到「將球編號，則哪顆球先分出去是不同的情況，這是明顯的不合理。如果每個球是公平的分配，那麼哪顆先分怎麼可能會有差異呢？」
我也認為多此一舉，就像原問題是說相同球，甲乙各拿一球就是一種情況，怎麼還要分成兩種呢?
球是公平的分配，那麼甲乙拿哪顆白球怎麼可能會有差異呢？
因此，將相同球編號以相異物觀點討論，本就是不合理的事。
回復 14# andydison 的帖子
古典機率的定義，需要先滿足「樣本空間中每個樣本點的發生機會均等」。可以先看看以前討論過的 [url]https://math.pro/db/thread-1109-1-1.html[/url] 這篇。 成大統計劉應興副教授在 PTT 關於本問題的說法
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-29 09:14 AM 編輯 [/i]]
回復 16# thepiano 的帖子
我的看法相同，在 weiye 老師的連結，已經是2年前的回文了[quote]原帖由 [i]tsusy[/i] 於 2012-4-30 10:46 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=5283&ptid=1109][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
個人認為，真正的問題，在於 #3 所給之問題題意不明
「將6個相同的球，放進甲、乙、丙等3個不同的箱子中，每箱球數不限，則甲箱恰得2球的機率為何？」
敘述中，並不任何隨機、機率的敘述，才會造成各個的解讀的不同
舉例來說：丟一 ... [/quote]
回復 16# thepiano 的帖子
是的，在與這裡、及美夢成真論壇的老師討論後(似乎認同我想法的並不多)，我廣泛地尋求各種意見，而在PTT 發表文章詢問的也是小弟我，
除了yhliu留言之外，也尚有更多人回覆指教。
也提供另外一個答覆給各位，我請教的是前中一中的賴瑞楓老師，我想由他來做教甄的試教委員是最適合不過了
[url]http://gb.tovery.net/jflai/[/url] 第#594則留言
如果說不以相異物的觀點視之，我比較能夠接受題意沒有敘述清楚這種說法。
如果將分球改為擲公平的硬幣，則較不會有各自表述的問題發生(除非老師仍存有迷思，堅持使用重複組合)
只是就分球原題的敘述，也許嚴格一點看來並不夠完整，
但正如同版上兩年前的這篇討論中，詳細的命題有時會讓人有畫蛇添足的感覺
如此地敘述應該還是可以讓人知道就是"公正的分球"
若要用重複組合來分，就必須在分球前先看到樣本空間中所有分球的可能性
再令每種可能發生的機會均等，重複組合的作法才會正確(但要在題目中如此敘述將更加複雜)
謝謝各位的悉心指教，
我想來這裡討論數學是開心的，但問問題並不是就是要"虛心接受指教"，而是在討論中傾聽不同的說法
有既定的想法很好，可以互相討論，就此認定沒有討論的空間就很難再溝通下去
就像若學生來問問題，老師的回應是武斷而沒有傾聽空間的
或是直接請你去鑽研其他題目，別再問了。這樣的回覆實在讓人感覺很糟糕。
由於先前在美夢成真論壇的討論並不那麼令人開心，因此態度上若有讓各位覺得不舒服的地方，請多見諒！
謝謝各位在這裡奉獻想法，營造了一個討論數學的優良環境，非常感謝！
[[i] 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 10:16 AM 編輯 [/i]] 你是來指教我們，不是來傾聽不同的說法
你是來告訴我們，你的觀點才是對的，而我們某些人的觀點是錯的
我可以很簡單的舉出一種分法，證明用重複組合來做是對的，不過懶得寫了
回復 19# thepiano 的帖子
其實這些討論過程與數學、甚至這裡都沒有關係，把紛爭帶來這裡相信不是大家所樂見的，我只想講我請益的想法，信不信...就在您了
感謝piano老師的熱心，在板上幫忙解了這一題，(且選的到正確答案)
而我在數年後一樣寫到這一題，有不同的想法但因為沒有答案可以選，
因此留言請教piano老師當時解題的想法。
在此一階段，我的本意就是請教想法，而我也留下了我的想法供piano老師參考。
而在piano老師明確的告知解題想法後，
我查閱了各方資料(包含mathpro幾年前的討論)，確定我的作法應該並沒有錯誤的時候
我才有了自己的意見，並主張自己的想法。
如果讓piano老師有種跳入陷阱的感覺，我實在非常抱歉。
畢竟您的熱心實在幫助我非常多，而我由衷的感激。
接著有其他人要加入討論，主張他的意見當然是好事，
若是想要跳出來"指教別人"的也歡迎，但至少要先能提出正確的觀點說服人才行
[[i] 本帖最後由 farewell324 於 2014-5-29 11:33 AM 編輯 [/i]] 你確定你的做法正確，那是你的事，犯不著對跟你想法不同的人說三道四
我很後悔幫助到你，以後看到你的帖子，我會略過