100台南二中
以下資料供以後的考生參考：初試最低錄取分數 82分
1名正式教師，取10名參加複試
92,87,86,84,84,84,84,82,82,82
其他，
80分 1人
70~79分 20人
60~69分 25人
50~59分 37人
40~49分 43人
30~39分 23人
20~29分 25人
10~19分 5人
0~ 9分 14人
缺考 3人
共計 206 人 填充題
4.\( a、b、c、x、y、z \in R \)，且\( a^2+b^2+c^2=16 \)，\( x^2+y^2+z^2=25 \)，則\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 2 \cr a & b & c \cr x & y & z \cr} \right|\ \)之絕對值的最大值為？
若\( a^2+b^2+c^2=9 \)，\( x^2+y^2+z^2=14 \)，且\( a,b,c,x,y,z \)均為實數，則
(1)\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 3 \cr a & b & c \cr x & y & z \cr} \right|\ \)之Max？
(2)此時\( ax+by+cz \)之值為？
(96豐原高商，[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=24772[/url])
若\( a^2+b^2+c^2=9 \)，\( x^2+y^2+z^2=14 \)且\( a,b,c,x,y,z \)皆為實數，則\( \left|\ \matrix{1 & 2 & 3 \cr a & b & c \cr x & y & z \cr} \right|\ \)之最大值為？
(96斗南高中，[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=34927[/url])
設\( x,y,a,b,p,q \)皆為實數且\( x^2+y^2=24 \)，\( a^2+b^2=15 \)，\( p^2+q^2=28 \)，試求行列式\( \left|\ \matrix{x & y & -5 \cr a & 1 & b \cr -6 & p & q \cr} \right|\ \)之最小值？
(97淡水商工，[url]http://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=50017[/url])
10.如右圖，△ABC中，\( ∠C=90^o \)，\( \overline{AD}=\overline{DE}=\overline{EB} \)，\( ∠ACD=\alpha \)，\( ∠DCE=\beta \)，\( ∠ECB=\gamma \)，求\( \displaystyle \frac{sin \alpha \cdot sin \gamma}{sin \beta} \)？
(解答出自徐氏規劃2A P2.5-8)
令\( \overline{AC}=b \)，\( \overline{BC}=a \)，\( \overline{CD}=x \)，\( \overline{CE}=y \)
\( \displaystyle \frac{1}{2}bx sin \alpha=\frac{1}{2}xy sin \beta=\frac{1}{2}ya sin \gamma=\frac{1}{3}△ABC=\frac{\frac{1}{2}ab}{3} \)
∴\( \displaystyle sin \alpha=\frac{2△}{3bx}=\frac{a}{3x} \)，\( \displaystyle sin \beta=\frac{2△}{3xy}=\frac{ab}{3xy} \)，\( \displaystyle sin \gamma=\frac{2△}{3ay}=\frac{b}{3y} \)
\( \displaystyle \frac{sin \alpha sin \gamma}{sin \beta}=\frac{\frac{a}{3x}\times \frac{b}{3y}}{\frac{ab}{3xy}}=\frac{1}{3} \)
這裡還有三題圖形類似的題目，請一併準備
面積法，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1112[/url]
證明題
1.
設非零實數\( x,y,z \)滿足\( \displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \)，試證：\( x,y,z \)中至少有一個為1。
有三個正數它們的乘積為1，且此三數的和大於它們的倒數和。試證明：這三個正數中恰有一數大於1。
(建中通訊解題第5期)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-5-31 07:43 PM 編輯 [/i]] 計算二
\(\displaystyle \frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi}{2} \)
\(\displaystyle tan \frac{A}{2} tan \frac{B}{2} + tan \frac{A}{2} tan \frac{C}{2}+ tan \frac{B}{2} tan \frac{C}{2}=1 \)
\(\displaystyle tan \frac{A}{2} tan \frac{B}{2} + tan \frac{B}{2} tan \frac{C}{2}=\frac{2}{3}=2 tan \frac{A}{2} tan \frac{C}{2} \)
\(\displaystyle cot \frac{C}{2}+cot \frac{A}{2}=2 cot \frac{B}{2} \)
\(\displaystyle \frac{s-c}{r}+\frac{s-a}{r}=2 \frac{s-b}{r} \)
\(\displaystyle a+c=2b \)
第10題另解
可利用面積與和角公式來解此題\( \displaystyle \frac{a \Delta ACD}{a \Delta ACE}=\frac{1}{2}=\frac{\overline{CA}\overline{CD}sin \alpha}{\overline{CA}\overline{CE}sin(\alpha+\beta)} \)，\( \displaystyle \frac{a \Delta BCE}{a \Delta BCD}=\frac{1}{2}=\frac{\overline{CB}\overline{CE}sin \gamma}{\overline{CB}\overline{CD}sin(\gamma+\beta)} \)
\( \displaystyle \Rightarrow \frac{1}{4}=\frac{sin \alpha sin \gamma}{sin(\alpha+\beta)sin(\gamma+\beta)}=\frac{sin \alpha sin \gamma}{cos \gamma cos \alpha} \)
\( sin \beta=cos(\alpha+\gamma)=cos \alpha cos \gamma-sin \alpha sin \gamma \)
∵\( \displaystyle \frac{sin \beta}{sin \alpha sin \gamma}=\frac{cos \alpha cos \gamma-sin \alpha sin \gamma}{sin \alpha sin \gamma}=\frac{cos \alpha cos \gamma}{sin \alpha sin \gamma}-1=4-1=3 \)
∴\( \displaystyle \frac{sin \alpha sin \gamma}{sin \beta}=\frac{1}{3} \)
請教填充6.8的答案...
第6題 我算155 ??第8題 我算(27+1)*111*45*2!=279720
請問這樣正確嗎? @@
沒有正確解答心慌慌...
麻煩各位高手指點...謝謝大家!!
來互對一下答案吧
第1題 0<=x<=2或x>=4第2題 [color=Red]8/5[/color]
第3題 2x+y+2z=3或2x+y-2z=-1
第4題 60
第5題 3
第6題 [color=Red]155[/color]
第7題 [color=Red]2或(-12+2根號13i)/7或(-12-2根號13i)/7[/color]
第8題 99900
第9題[color=Red] 2+根號3[/color]
第10題 1/3
以上的答案根據美夢成真版thepiano老師的答案修正
[[i] 本帖最後由 waitpub 於 2011-5-11 01:10 PM 編輯 [/i]]
回復 6# waitpub 的帖子
第6題 應該是155請問一下W大
第8題我算是54945 不知道對不對@_@
回復 6# waitpub 的帖子
第二題似乎是 8/5 ?第七題複數根不需要寫嗎(題目沒說"實根"
第九題 2+根號3
請問第八題怎麼寫呢? 第8題
請參考這，版上老師跟我都算出99900
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2483[/url]
[quote]原帖由 [i]hua77825[/i] 於 2011-5-11 10:25 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3095&ptid=1101][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第6題 應該是155
請問一下W大
第8題我算是54945 不知道對不對@_@ [/quote] 感謝您~
回復 3# 老王 的帖子
請問這一步驟是怎麼來的?\(\displaystyle cot \frac{C}{2}+cot \frac{A}{2}=2 cot \frac{B}{2} \) [quote]原帖由 [i]waitpub[/i] 於 2011-5-11 07:05 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3103&ptid=1101][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問這一步驟是怎麼來的?
\(\displaystyle cot \frac{C}{2}+cot \frac{A}{2}=2 cot \frac{B}{2} \) [/quote]
就上一式同乘以
\(\displaystyle cot \frac{A}{2} cot \frac{B}{2} cot \frac{C}{2} \)
想請問填充第一題、證明題第一題，謝謝。
想請問填充第一題、證明題第一題，請大家幫幫忙，謝謝。 填充第 1 題：若 \(f(x)=\left(x-3\right)^2-1\)，求 \(f(|x|)=|f(x)|\) 的實數 \(x\) 的解。解答提示：
先畫 \(y=(x-3)^2-1\)
[img]http://img710.imageshack.us/img710/5353/qq1n.png[/img]
再畫 \(y=f(|x|)\)
[img]http://img51.imageshack.us/img51/7647/qq2w.png[/img]
最後畫 \(y=|f(x)|\)
[img]http://img691.imageshack.us/img691/2972/qq3p.png[/img]
這樣應該就可以看出當 \(x\) 為何的時候 \(f(|x|)=|f(x)|\) 了！ 證明題第 1 題：設非零實數 \(x,y,z\) 滿足 \(\displaystyle x+y+z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)，試証：\(x,y,z\) 中至少有一個為 \(1\)。
證明提示：
題目要証 \(x,y,z\) 至少有一個為 \(1\)，
[color=red]也就是要證 \((x-1)(y-1)(z-1)=0\) [/color]
所以，就讓我們把 \((x-1)(y-1)(z-1)\) 乘開來看看，
就會發現～～～～
\(\displaystyle (x-1)(y-1)(z-1)=xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1=xyz\left[1-\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\right]+(x+y+z)-1=0\)
阿....好吧，把它倒著寫回來，重新描述一下，就是一個完整的証明了。＝＝
回復 13# Jacob 的帖子
填充1.weiye老師已經給了很好的方法，
我來用個純代數的解法好了
f(x)=(x-3)^2-1=(x-2)(x-4)
f(│x│)=(│x│-2)(│x│-4)以及│f(x)│=│(x-2)(x-4)│=│x-2││x-4│
題目所求即為(│x│-2)(│x│-4)=│x-2││x-4│
現在開始考慮其值的正負，因此我們x=0,2,4這三個點，分4個區間討論
(1)x>=4
(2)2=<x<4
(3)0=<x<2
(4)x<0
討論一下就可以得到答案了 請教各位老師
第七題解x有比較快一點的方法嗎!?
我是硬解可以解出
但感覺真的超容易出錯~~
謝謝
回復 17# ejo3vu84 的帖子
第 7 題可以參考 thepiano 老師的漂亮解法：[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=2483#p5782[/url]感謝
感謝瑋岳老師 以及 superlori 老師的解說，我想我該好好念點書了。回復 15# weiye 的帖子
數學板上有老師利用根與係數來證，也很漂亮!頁:
[1]
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