100師大附中
附上題目和填充題答案 填充題3.設△ABC為等邊三角形，D為△ABC內的點，已知\( \overline{DA}=13 \)，\( \overline{DB}=12 \)，\( \overline{DC}=5 \)，求△ABC的邊長？
設△ABC為正三角形，點P為其內部一點。若\( \overline{PA}=5 \)、\( \overline{PB}=12 \)、\( \overline{PC}=13 \)，則△ABC之面積為？
(97中和高中，h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=47364連結已失效)
若△ABC為一正三角形，且在此三角形內部中有一點P使得\( \overline{AP}=3 \)，\( \overline{BP}=4 \)，\( \overline{CP}=5 \)，試問此正三角形之邊長為何？
(2008TRML團體賽)
計算證明題
3.設x,y為實數，且\( z=\sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}+\sqrt{(x+1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{(x-1)^2+(y+1)^2} \)，求z的最小值
假設直角三角形的三個頂點分別為\( A=(0,0) \)，\( B=(1,0) \)和\( C=(0,4) \)，令\( Q=(x,y) \)為此三角形內部的一個點，試求點Q和點Q到三個頂點距離之和的最小值(即\( |\; Q−A |\; +|\; Q−B |\; +|\; Q−C |\; \) 的最小值)
(99屏北高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=937[/url])
費馬點
填充題
10.在坐標平面上，已知直線\( y=mx \)將區域\( \displaystyle \Bigg\{\; (x,y) |\; \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}\le 1,x \ge 0,y \ge 0 \Bigg\}\; \)的面積二等分，則m=？
[解答]
從圓水平伸縮\( \displaystyle \frac{3}{2} \)倍變成橢圓
原本將圓平分的直線\( y=x \)則變成\( \displaystyle y=\frac{2}{3}x \)
相同概念的題目
通過橢圓\( \displaystyle \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \)上兩點\( (0,-4) \)，\( \displaystyle (\frac{5 \sqrt{3}}{2},2) \)的直線L，將橢圓內部分割成兩個區域，試問較小區域的面積為？
(1)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \) (2)\( \displaystyle \frac{25 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \) (3)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-\frac{25 \sqrt{3}}{4} \) (4)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3}-5 \sqrt{3} \)
(98桃園縣國中聯招，[url]https://math.pro/db/thread-826-1-1.html[/url]) 請問填充第4題：我將它分五部份來算
4R：2*16=32
3R：20*32=640
2R：21*64=1344
1R：8*128=1024
無R：256
與答案不合，請問正確的作法是如何?
填充第5題我將圖座標化去算兩歪斜線距離，結果非常慢。請問有沒有更好的方法?
另外填充第8和第9題我完全沒頭緒??可否請老師們指點一下!
這份考題感覺我很多不會，挫折感很重!
回復 3# waitpub 的帖子
你的方法沒有錯，只是計算上的錯誤而已。^__^第 4 題：籃中有大小相同的紅、黃、白球若干個，欲從中拿出 \(8\) 個球排成一列且此列中紅球不能相鄰，則有_____種不同的排法。
解答：
若紅球有 \(0\) 個，則黃、白色球共有 \(8\) 個，排成一直線有 \(2^8\) 種。
若紅球有 \(1\) 個，則黃、白色球共有 \(7\) 個，排成一直線有 \(2^7\) 種，
再將紅球插空隙，共有 \(2^7C_1^8\) 種。
若紅球有 \(2\) 個，則黃、白色球共有 \(6\) 個，排成一直線有 \(2^6\) 種，
再將紅球插空隙，共有 \(2^6C_2^7\) 種。
若紅球有 \(3\) 個，則黃、白色球共有 \(5\) 個，排成一直線有 \(2^5\) 種，
再將紅球插空隙，共有 \(2^5C_3^6\) 種。
若紅球有 \(4\) 個，則黃、白色球共有 \(4\) 個，排成一直線有 \(2^4\) 種，
再將紅球插空隙，共有 \(2^4C_4^5\) 種。
（如果紅球有五顆以上～則黃白球的空隙就會不夠多了～）
所以，所求共有 \(2^8+2^7C_1^8+2^6C_2^7+2^5C_3^6+2^4C_4^5=3344\) 。
回復 3# waitpub 的帖子
填充五我也是坐標化，但其實還蠻快的我想會不會是你解歪斜線距離的方法不夠快?
先找一個平面E包住BH直線且平行FG直線，再算d(F,E)
這樣算還蠻快的 第 8 題～小弟目前想到的是比較暴力的作法～
第 8 題：求級數 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}\) 的和為__________。
解答：
當 \(\left|x\right|<1\) 時，
\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots\) ‧‧‧‧‧‧（第一式）
將上式對 \(x\) 微分，可得
\(\displaystyle \frac{1}{(1-x)^2}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\)
將上式左右同乘上 \(x\) ，可得
\(\displaystyle \frac{x}{(1-x)^2}=x+2x^2+3x^3+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（第二式）
將上式對 \(x\) 微分，可得
\(\displaystyle \frac{1+x}{(1-x)^3}=1+2^2x+3^2x^2+4^2x^3+\cdots\)
將上式左右同乘上 \(x\) ，可得
\(\displaystyle \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}=x+2^2x^2+3^2x^3+4^2x^4+\cdots\)‧‧‧‧‧‧（第三式）
由「（第三式）－（第二式）＋（第一式）」，再將 \(\displaystyle x=-\frac{1}{2}\) 帶入，可得
所求＝ \(\displaystyle \frac{22}{27}\)。
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再補一個另解，原理是把 (n^2-n+1) 利用多項式的階差~~~ 二次式階差會降成一次式，一次式再用一次階差會降成常數。
[attach]4153[/attach] 填充三的連結壞了，想請問這一題怎麼寫，謝謝。
回復 7# RainIced 的帖子
以A為原點，將三角形ABD轉60度(此時AB和AC重合，形成一三角形ACD)此時，三角形ADD'為正三角形
CD=13,CD'=12,DD'=5為一直角三角形
所以角ADC=150度，利用餘弦就可以解出邊長了 另外，想請問填充第七題，謝謝。
回復 9# RainIced 的帖子
先坐標化令C(0,0),B(2a,0),A(0,2b),M(a,0)
接著利用旋轉可以得出G(-√3 b,b),F(a+√3 b,√3 a+b)
利用MG=7以及MF=11即可解出a=6
BC=2a=12 以下解法其實跟 superlori 的解法原理一樣。^__^
第 3 題：設 \(\triangle ABC\) 為等邊三角形， \(D\) 為 \(\triangle ABC\) 內的點。已知 \(\overline{DA}=13\)，\(\overline{DB}=12\)，\(\overline{DC}=5\)，求 \(\triangle ABC\)的邊長為_________。
解答：
設正三角形 \(\triangle ABC\) 的邊長為 \(a\)，
將 \(\triangle DAB\)、\(\triangle DBC\)、\(\triangle DCA\) 分別以 \(A\)、\(B\)、\(C\) 為中心，
逆時針旋轉 \(60^\circ\)，可得如下圖，
[img]http://img696.imageshack.us/img696/963/18863349.png[/img]
此六邊形面積為原來正三角形面積的兩倍，
而且也是由六個小三角形所構成，
這六個小三角形分別是〝邊長為 5 的正三角形〞
〝邊長為 12 的正三角形〞
〝邊長為 13 的正三角形〞
以及三個〝邊長為 5,12,13 的直角三角形〞
因此，
\(\displaystyle 2\cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{4}{a^2} \right)=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {5^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {12^2}+\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot {13^2}+3\cdot \left( \frac{5\times 12}{2} \right)\Rightarrow a=\sqrt{169+60\sqrt{3}}\) 請教瑋岳老師
第八題的方法是如何觀察的
是經驗嗎!?
謝謝!!
回復 12# ejo3vu84 的帖子
觀察 \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(n^2-n+1)}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty \left(n^2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n-n\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^n+\left(-\frac{1}{2}\right)^n\right)\)然後聯想到幾何級數（等比級數） \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{2}\right)^n=\frac{\mbox{首項}}{1-\mbox{公比}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}\)
再想到 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\) （其中當 \(|x|<1\) 時，級數會收歛）
然後開始想～要如何拼出 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot x^n\) 與 \(\displaystyle \sum\limits_{n=0}^\infty n^2\cdot x^n\)，
因為聯想到 [url]https://math.pro/db/thread-62-1-4.html[/url] 這個例子中的另解的情況～^__^
所以想到用「先微分，再乘 \(x\) 」的方法～ ^__^
註：剛剛發現～～ thepiano 老師寫的 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2484[/url] 來自 PTT 網友 a016258 的解法也很棒！！ 謝謝瑋岳老師~~很清楚
又學到了一個厲害的技巧 ^__^ 計算證明題第 4 題是數論會學到的 Wilson 定理～ ^_____^
敘述與證明詳見：1. [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem]http://en.wikipedia.org/wiki/Wilson%27s_theorem[/url]
或 2. [url=http://primes.utm.edu/notes/proofs/Wilsons.html]http://primes.utm.edu/notes/proofs/Wilsons.html[/url]
或 3. [url=http://math.ntnu.edu.tw/%7Eli/ent-html/node18.html]http://math.ntnu.edu.tw/~li/ent-html/node18.html[/url]
回復 5# superlori 的帖子
確實是我算歪斜線的距離方法錯了，謝謝你! 填充7一開始是用餘弦去做，想了幾次也還是看不出什麼特別的感覺，底下用中線定理來寫:
由費馬點結論知道，BG=CF
那麼三角形BCF有:
\(\displaystyle BF^2+CF^2=2(FM^2+BM^2) \)
三角形BCG有
\(\displaystyle BG^2+CG^2=2(GM^2+BM^2) \)
兩式相減即得
回復 3# waitpub 的帖子
第九題ACA +BCB-ACB-BCA=I
整理
\((A-B)^2C=I\)
回復 18# iamcfg 的帖子
寫成 \((A - B) C (A - B)= I\) 會比較好，因為矩陣乘法沒有交換律～
然後 \(C = (A - B)^{-1} I (A - B)^{-1} = \left[(A - B)^{-1}\right]^2\)
註：[url=http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=5777]這裡[/url] 也有 thepiano 老師的寫法，兩位老師都一樣讚，感謝提供這麼棒的解法。^__^ 請問老師填充第2,6該怎麼做?
謝謝!