回復 20# rdrank 的帖子
填充六:先由孟式定理求出 CF : FD = 2 : 1
所以 AF = 1/3 AC + 2/3 AD
又 AD向量為 1/2 (BD + AC)
整理一下為 AF = 1/3 AC + 1/3 BD +1/3 AC
= 2/3 AC +1/3 BD
= 2/3 r + 1/3 s
第二題的話我是假設點P為 ( a , 2/3 (45-a^2) ^1/2)
然後用P跟兩個焦點(5.0) (-5.0)去做內積
因為要為鈍角 所以cosine 要小於0 不知道正不正確=o=
回復 21# hua77825 的帖子
第二題我也是用內積做不過我的P點是用極座標
會比較好做~~ 請教計算1如何做
我是用暴力法 也不知道答案對不對
有比較漂亮的方法嗎!? 填充2
與(5,0),(-5,0)成直角的點在以這兩點為直徑的圓上，
內部的點就與這兩點成鈍角
計算1
\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^9 (-1)^k \cos \frac{k\pi}{19}=\Sigma_{k=1}^9 \cos \frac{2k\pi}{19} \)
而\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^{19} \cos \frac{2k\pi}{19}=0 \)......(*)
且\(\displaystyle \cos \frac{2k\pi}{19}=\cos \frac{(38-2k)\pi}{19} \)
所以從(*)式可以變成
\(\displaystyle 1+2\Sigma_{k=1}^9 \cos \frac{2k\pi}{19}=0 \)
故\(\displaystyle \Sigma_{k=1}^9 (-1)^k \cos \frac{k\pi}{19}=-\frac{1}{2} \) 可以解釋一下為什麼角ADC=150度嗎?
[quote]原帖由 [i]superlori[/i] 於 2011-5-9 03:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3056&ptid=1100][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
以A為原點，將三角形ABD轉60度(此時AB和AC重合，形成一三角形ACD)
此時，三角形ADD'為正三角形
CD=13,CD'=12,DD'=5為一直角三角形
所以[color=red]角ADC=150度[/color]，利用餘弦就可以解出邊長了 ... [/quote] [quote]原帖由 [i]waitpub[/i] 於 2011-5-10 06:50 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3083&ptid=1100][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可以解釋一下為什麼角ADC=150度嗎?
[/quote]
你可以看一下第二頁最上面那個圖呀
顏色都分個很清楚~~~綠色的就是60度~~下面是90度
相加就是150度了 請問老師填充第十題的原理為何?
為何伸縮以後仍然可以保持面積二等分?
謝謝! 計算第 1 題（暴力解ＸＤ）
所求 \(\displaystyle=\left(\cos\frac{2\pi}{19}+\cos\frac{4\pi}{19}+\cos\frac{6\pi}{19}+\cos\frac{8\pi}{19}\right)-\left(\cos\frac{\pi}{19}+\cos\frac{3\pi}{19}+\cos\frac{5\pi}{19}+\cos\frac{7\pi}{19}+\cos\frac{9\pi}{19}\right)\)
\(\displaystyle = \frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\Bigg[\left(2\cos\frac{2\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{4\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{6\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{8\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}\right)\)
\(\displaystyle-\left(2\cos\frac{\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{3\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{5\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{7\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}+2\cos\frac{9\pi}{19}\sin\frac{\pi}{19}\right)\Bigg]\)
（再用積化和差）
\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\left[\left((\sin\frac{3\pi}{19}-\sin\frac{\pi}{19})+\cdots+(\sin\frac{9\pi}{19}-\sin\frac{7\pi}{19})\right)-\left((\sin\frac{2\pi}{19}-\sin 0)+\cdots+(\sin\frac{10\pi}{19}-\sin\frac{8\pi}{19})\right)\right]\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2\sin\frac{\pi}{19}}\left[\left(\sin\frac{9\pi}{19}-\sin\frac{\pi}{19}\right)-\left(\sin\frac{10\pi}{19}-\sin 0\right)\right]\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\)
回復 28# weiye 的帖子
原式=cos2PI/19 +....+cos18PI/19=cos36PI/19 +....+cos20PI/19
又 cos0+cos2PI/19+......+cos36PI/19=0
所以 原式=-1/2
回復 17# 老王 的帖子
請問一下老王老師相減完應該是
BF^2 - CG^2 = 2(FM^2 -GM^2)
= 2 * 18 * 4
接下來該怎麼繼續做呢，感謝。 [quote]原帖由 [i]hua77825[/i] 於 2011-5-11 11:15 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3096&ptid=1100][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問一下老王老師
相減完應該是
BF^2 - CG^2 = 2(FM^2 -GM^2)
= 2 * 18 * 4
接下來該怎麼繼續做呢，感謝。 [/quote]
BF=BA，CG=CA
所以BF^2-CG^2=BA^2-CA^2=BC^2
接著開根號就可以了 再請教一下王老師，對費馬點我查了一下google還是不太懂。
可否指點一下紅色那部份是怎麼來的?
謝謝!
[quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2011-5-9 09:20 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3069&ptid=1100][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充7
一開始是用餘弦去做，想了幾次也還是看不出什麼特別的感覺，底下用中線定理來寫:
[color=red]由費馬點結論知道，BG=CF
[/color]那麼三角形BCF有:
\(\displaystyle BF^2+CF^2=2(FM^2+BM^2) \)
三角形BCG有... [/quote] [quote]原帖由 [i]waitpub[/i] 於 2011-5-11 08:17 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3105&ptid=1100][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
再請教一下王老師，對費馬點我查了一下google還是不太懂。
可否指點一下紅色那部份是怎麼來的?
謝謝!
[/quote]
解釋BG=CF
看圖吧
回復 33# 老王 的帖子
一個圖就讓我豁然開朗了，謝謝老師。常常看到老師們利用費馬點旋轉三角形，只是不知道自己算數學的時候能不能跟著會運用! 請問老王: 計算第1: (-1)^k*cos[(k*pi/19]如何等於cos[2k*pi/19] ?
sigma {cos[2k*pi/19]} 為何等於0 ? [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&p=5807#p5807[/url]
其實費馬點到三頂點的距離和是有公式的,既然ellipse已經將公式寫出來,那我就補充證明
△ABC三邊長為\( a,b,c \)，F為△ABC的費馬點，則\( \displaystyle \overline{FA}+\overline{FB}+\overline{FC}=\sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{2}+2 \sqrt{3}S} \)
S為△ABC的面積 [quote]原帖由 [i]mandy[/i] 於 2011-5-11 11:04 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3108&ptid=1100][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問老王: 計算第1: (-1)^k*cos[(k*pi/19]如何等於cos[2k*pi/19] ?
sigma {cos[2k*pi/19]} 為何等於0 ? [/quote]
由\(\displaystyle \cos(\pi-\theta)=-\cos\theta \)
\(\displaystyle -\cos \frac{\pi}{19}=\cos \frac{18\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{3\pi}{19}=\cos \frac{16\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{5\pi}{19}=\cos \frac{14\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{7\pi}{19}=\cos \frac{12\pi}{19} \)
\(\displaystyle -\cos \frac{9\pi}{19}=\cos \frac{10\pi}{19} \)
另外
考慮\(\displaystyle z^{19}=1 \)的19個根，
由根與係數關係知道這19個根之和為0，
那麼實部之和也是0 請問計算第二如何求?
回復 38# mandy 的帖子
先解出 P 點坐標 \(\displaystyle (\sqrt{\frac{1}{1-a}}, \frac{a}{1-a})\)，然後求出 \(OP\) 直線方程式為 \(\displaystyle y=\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\)，
再來算出體積為 \(\displaystyle \int_0^{\sqrt{\frac{1}{1-a}}} \pi\left[\left(\frac{a}{\sqrt{1-a}}x\right)^2-\left(ax^2\right)^2\right]dx\)
\(\displaystyle =\frac{2\pi a^2}{15\left(1-a\right)^{\frac{5}{2}}}\)
[b][color=red]（再來是有點醜陋的暴力解，不知道有沒有人可以提供其他作法，感謝！！）[/color][/b]
將 \(\displaystyle \frac{2\pi a^2}{15\left(1-a\right)^{\frac{5}{2}}}\) 對 \(a\) 微分可得 \(\displaystyle \frac{\pi a\left(a+4\right)}{15\left(1-a\right)^{\frac{7}{2}}}\)，
解 \(\displaystyle \frac{\pi a\left(a+4\right)}{15\left(1-a\right)^{\frac{7}{2}}}=0\)，得 \(a=0\) 或 \(a=-4\)，
再稍微討論一下，可得當 \(a=-4\) 時，
所求體積有最大值為 \(\displaystyle \frac{32\pi}{375\sqrt{5}}\)。
回復 39# weiye 的帖子
跟瑋岳大的做法相同!!!也想知道有沒有別的作法?
這題這樣做計算過程真的挺繁雜的