100文華高中
填充題，見附加檔案。計算題
第一題：如圖，設 \(O\) 為原點，在 \(x^2+y^2=1\) 且 \(y>0\) 上半圓的圓周上有動點 \(B\) ，\(A(2,0)\)，\(C\) 為第一象限的點，\(\triangle ABC\) 是等腰三角形，且 \(\angle BAC=90^\circ\)，
試問當 \(B\) 的點坐標為何時， \(\overline{OC}\) 會有最大值。 註：圖床已倒，請看後續回覆有圖。
[/align]
參考答案：\(\displaystyle B(\frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\)
第二題：敘述並證明「微積分基本定理」。
參考答案：詳見～[url=http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%BE%AE%E7%A9%8D%E5%88%86%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86]維基百科[/url]
註：感謝 yungju 老師幫忙補圖！ 計算第一題我來貼個圖 :)
[[i] 本帖最後由 yungju 於 2011-5-1 09:20 PM 編輯 [/i]] 平面上的坐標轉換也有~~~ 1.
已知函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(2)=2011\)，試求\(f(f(2))=\)[u] [/u]。
請問一下填充第一題，F(x)怎麼看出來是週期函數?有沒有相關資料可以參考?? 第一題你就先代簡單的數字進去算看看就知道了
ex:f(1)=2,代進去算看看就會發現它的週期是4 16.平面上有兩個橢圓，其中一個橢圓為\( Γ_1 \)：\( x^2+2y^2=1 \)，另一個橢圓\( Γ_2 \)為\( Γ_1 \)繞原點逆時針旋轉\( 60^o \)。已知這兩個橢圓相交於四個點，逆時鐘順序依次連成一個四邊形，請問該四邊形的面積？
[解答]
畫圖觀察\( ∠AOM=∠A'OM=30^o \)，\( ∠AON=120^o \)
令\( \overline{OM} \)直線方程式為\( \displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{3}}x \)，和原橢圓交點\( \displaystyle M=( \sqrt{\frac{3}{5}},\sqrt{\frac{1}{5}} ) \)
令\( \overline{ON} \)直線方程式為\( \displaystyle y=- \sqrt{3}x \)，和原橢圓交點\( \displaystyle N=( -\sqrt{\frac{1}{7}},\sqrt{\frac{3}{7}} ) \)
算出△MON面積\( \displaystyle \frac{2}{\sqrt{35}} \)，菱形ABCD面積\( \displaystyle \frac{8}{\sqrt{35}} \)
感謝moun9提供資訊
橢圓\( x^2+3y^2=4 \)旋轉\( \theta \)( \( \displaystyle 0<\theta < \frac{\pi}{2} \) )後與原橢圓交於\( \displaystyle A \Bigg(\; \sqrt{2},\sqrt{\frac{2}{3}} \Bigg)\; \)、B、C、D四點，試求\( \theta \)。
(96新竹女中)
以坐標原點為旋轉中心，將橢圓Γ：\( \displaystyle \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 \)反時針旋轉角度\( \theta \)(其中\( 0^o< \theta <90^o \) )得一新橢圓Γ'，則兩橢圓相交於四個點。今將此四點以坐標原點為中心，反時鐘順序依次連成一個四邊形ABCD，請問下列哪些敘述為真？
(A) \( \overline{AB}=\overline{BC} \) (B) \( \overline{AB}=\overline{CD} \) (C) ∠BAD=∠ABC (D) \( \overline{AC} \)和\( \overline{BD} \)互相平分 (E) \( \overline{AC} \)和\( \overline{BD} \)互相垂直
(97中二中期中考) 14.
箱子裡有若干個大小相同的號碼球，其中\(i\)號球有\(i\)個(\(i=2k-1,k=1,2,\ldots,50\))。從箱子裡取出一球，每球被取的機會均等。今計算該球之球號與某數\(a\)之差的絕對值。為使這些差的絕對值之期望值為最小，求\(a\)值為_________。
請問14題的答案真的是36嗎？
應該是要算1,3,5,7,...,99的中位數
我算出來的是[size=4][color=magenta]71[/color][/size]耶？ 第一題用複數解
設A(2), B(cosθ+isinθ) => AB=(cosθ-2+isinθ)
=> OC=2+(cosθ-2+isinθ)(-i)
=> |OC|=9+4sqrt(2)sin(θ-45度)
=> θ=135度時|OC|最大
得B(-sqrt(2)/2, sqrt(2)/2)
回復 4# waitpub 的帖子
1.已知函數\(f(x)\)滿足\(\displaystyle f(x+1)=\frac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，若\(f(2)=2011\)，試求\(f(f(2))=\)[u] [/u]。
\(\displaystyle f(x+2)=\frac{1+f(x+1)}{1-f(x+1)}\)
\(=\frac{\displaystyle 1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{\displaystyle 1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}\)
\(\displaystyle =\frac{1-f(x)+1+f(x)}{1-f(x)-1-f(x)}\)
\(\displaystyle =-\frac{1}{f(x)}\)
\(\displaystyle\Rightarrow f(x+4)=-\frac{1}{f(x+2)}=f(x)\) [quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2011-5-1 09:19 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2992&ptid=1095][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
16.平面上有兩個橢圓，其中一個橢圓為\( Γ_1 \)：\( x^2+2y^2=1 \)，另一個橢圓\( Γ_2 \)為\( Γ_1 \)繞原點逆時針旋轉\( 60^o \)。已知這兩個橢圓相交於四個點，逆時鐘順序依次連成一個四邊形，請問該四邊形的面積？
... [/quote]
91數甲多重選第四題 [quote]原帖由 [i]CingUng[/i] 於 2011-5-1 10:35 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2993&ptid=1095][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問14題的答案真的是36嗎？
應該是要算1,3,5,7,...,99的中位數
我算出來的是71耶？ [/quote]
原球號1~50
中位數不可能為71
答案36沒錯
sorry我錯了
題目真的是1,3,5, ...,99的球號
這題答案給錯了
[[i] 本帖最後由 Fermat 於 2011-5-1 11:11 PM 編輯 [/i]]
回復 1# weiye 的帖子
填充1.f(0)=-1/2011
f(1)=1005/1006
f(2)=2011
[b]f(3)=-1006/1005[/b]
f(4)=-1/2011
....4循環
2011/4=502.....3
f(f(2))=f(2011)=-1006/1005為所求
回復 12# nanpolend 的帖子
2.試求\(\displaystyle \int_0^2 x^2(1-x)^{23}dx=\)[u] [/u]。
[解答]
\(\displaystyle =\int_1^{-1}(1-y)^2y^{23}(-dy)\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1 (1-2y+y^2)y^{23}dy\)
\(\displaystyle =\int_{-1}^1 y^{23}-2y^{24}+y^{25}dy\)
\(\displaystyle =\frac{1}{24}y^{24}-\frac{2}{25}y^{25}+\frac{1}{26}y^{26}\Bigg\vert\;_{-1}^1\)
\(\displaystyle =\left(\frac{1}{24}-\frac{2}{25}+\frac{1}{26} \right)-\left(\frac{1}{24}+\frac{2}{25}+\frac{1}{26}\right)\)
\(\displaystyle =-\frac{4}{25}\) 請問一下填充第六題如何算? 6.
空間坐標中，設\(0\le x+2y\le 6\)，\(-1\le x-3y+z \le 3\)，\(1\le x+3y-2z\le 7\)所圍成的平行六面體為\(\Gamma\)，則\(\Gamma\)的體積[u] [/u]。
請參考這一個網頁
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=924&page=1#pid1993[/url] 請問各位前輩[size=4]
填充第12 ------->我知道是積分...但寫不出來>"<[/size]
[size=4]填充第15
感謝先^^
[/size] 我將幾題解法簡單的打一打
第15題
四角錐\(OABCD\)中，\(ABCD\)為正方形，\(\Delta OCD\)為正三角形，平面\(OCD\)垂直平面\(ABCD\)，若兩平面\(OBD\)與\(OBC\)所夾銳角為\(\theta\)，求\(\cos \theta=\)[u] [/u]。
[解答]
將幾個頂點座標化
\(A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), D(0,0,0), O(0,1,\sqrt{3})\)
然後計算兩平面的法向量,再計算夾角即可
第3題
將甲乙丙丁戊己庚七人分成\(A\)、\(B\)、\(C\)、\(D\)四組(每組至少一人)，若甲乙丙三人均不同組，其分法數有[u] [/u]種。
[解答]
先將甲乙丙安排在一、二、三組
然後將另外四人任意排列,扣掉沒人在第四組的可能性,
最後將四組重新排列
即\((4^4-3^4)\times 4!\)
第5題:
設\(x^4-3x^3+5x^2+x+2=0\)的四根為\(a,b,c,d\)，則\(\displaystyle \frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}+\frac{1}{2-d}=\)[u] [/u]。
[解答]
\(x^4-3x^3+5x^2+x+2=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\)
所以\(16=(2-a)(2-b)(2-c)(2-d)\)
所求\(\displaystyle =\frac{1}{16}[(2-b)(2-c)(2-d)+(2-a)(2-c)(2-d)+(2-a)(2-b)(2-d)+(2-a)(2-b)(2-c)]\)
然後利用根與係數硬算,不曉得還有沒有更快方法就是了
第10題
某百貨公司想在周年慶時辦理抽獎遊戲，辦法如下 : 設置 3 個不同的抽獎箱，每個抽獎箱中至少有1 個球且只有 1個紅球，其它皆為白球，而從3個抽獎箱都抽出紅球者即為中獎，百貨公司希望這遊戲中獎的機率是\(\displaystyle \frac{1}{200}\)，試問 3 個抽獎箱內白球球數的配置有[u] [/u]種方法。
[解答]
假設三個抽獎箱的總球數是\(x,y,z\)
計算\(xyz=200\)的正整數解個數即可
\(H(3,3)\times H(3,2)=C(5,3)\times C(4,2)\) 第11題
1-P(四具引擎均故障)-P(3具引擎故障)>1-(2具引擎均故障)
1-(1-p)^4-C(4,1)p(1-p)^3>1-(1-p)^2
=>p(3p-2)(1-p)^2>0
=>p>2/3
故2/3<p<1
填充第3,12題
第3題我是用分組慢慢算～～不曉得其他大大有更快的方法?第12題請看pdf檔
[[i] 本帖最後由 chu1976 於 2011-5-2 06:15 PM 編輯 [/i]]
回復 17# yungju 的帖子
第5題先平移，再用負根，最後用倒根
平移
原式 \(\displaystyle =(x-2)^4+5(x-2)^3+11(x-2)^2+17(x-2)+16\)
推得方程式 \(\displaystyle x^4+5x^3+11x^2+17x+16=0\) 的根為 a-2, b-2, c-2, d-2
負根
推得方程式 \(\displaystyle x^4-5x^3+11x^2-17x+16=0\) 的根為 2-a, 2-b, 2-c, 2-d
倒根
推得方程式 \(\displaystyle 16x^4-17x^3+11x^2-5x+1=0\) 的根為 \(\displaystyle \frac{1}{2-a} , \frac{1}{2-b} , \frac{1}{2-c} , \frac{1}{2-d}\)
故所求為 \(\displaystyle \frac{17}{16}\)
[[i] 本帖最後由 Joy091 於 2011-5-2 07:29 PM 編輯 [/i]]