分子=>一次微分後，x再代2。
快很多喔!
想請問第3題
想請問第3題為何不能思考成step1:剩4人中取一人 C^4_3
step2:甲乙丙和setp1取到的人排入ABCD中，4!
step3:剩下的3人,任意放入ABCD4組中 H^4_3 [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2011-5-3 11:44 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3011&ptid=1095][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問第3題為何不能思考成
step1:剩4人中取一人 C^4_3
step2:甲乙丙和setp1取到的人排入ABCD中，4!
step3:剩下的3人,任意放入ABCD4組中 H^4_3 [/quote]
用到H的公式就錯了
因為是不同人分不同組
回復 19# chu1976 的帖子
第12題填充limit[(1^5+3^5+...+(2n-1)^5)/n^6]
=limit[(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6-(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6]
limit[(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6]
=∫[0..2]x^5dx
=32/3
limit[(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6]
∫[0..1](2x)^5 dx
=16/3
答案：32/3-16/3=16/3
說明：
(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6是函數x^5在區間[0,2]的一個upper sum
(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6是函數(2x)^5在區間[0,1]的一個upper sum
轉貼自昌爸主要解法全-偶=奇 請問第13題如附件這樣算對嗎??
之後又該如何算下去?? [quote]原帖由 [i]waitpub[/i] 於 2011-5-3 07:45 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3014&ptid=1095][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
請問第13題如附件這樣算對嗎??
之後又該如何算下去?? [/quote]
f(x)為二次多項式,設f(x)=ax^2+bx+c,x=1,2,3求a,b,c [quote]原帖由 [i]nanpolend[/i] 於 2011-5-3 07:35 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3013&ptid=1095][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第12題填充
limit[(1^5+3^5+...+(2n-1)^5)/n^6]
=limit[(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6-(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6]
limit[(1^5+2^5+...+(2n)^5)/n^6]
=∫[0..2]x^5dx
=32/3
limit[(2^5+4^5+...+(2n)^5)/n^6]
∫[0..1](2x) ... [/quote]
我一開始的想法也是用先加再減的想法
不過這題其實可以直接做(老王的做法)
lim[(1^5+3^5+...+(2n-1)^5)/n^6]
=(1/2) lim (2/n){(1/n)^5+(3/n)^5+...+[(2n-1)/n]^5}
=(1/2) ∫ [0 to2] x^5dx (考慮0到2分n等分, 每等分長2/n, 取每一等分中點的函數值)
=(1/2) (32/3)
=16/3
[[i] 本帖最後由 Fermat 於 2011-5-3 10:50 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]chu1976[/i] 於 2011-5-3 07:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3015&ptid=1095][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
f(x)為二次多項式,設f(x)=ax^2+bx+c,x=1,2,3求a,b,c [/quote]
老王說這題題目有問題
題目只說f(x)是連續函數, 沒有說是多項函數
所以答案無窮多組 (原答案加上任一週期為1的函數皆可)
例如f(x)=x^2+x+1/6+ksin2πx [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2011-5-3 11:44 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=3011&ptid=1095][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問第3題為何不能思考成
step1:剩4人中取一人 C^4_3
step2:甲乙丙和setp1取到的人排入ABCD中，4!
step3:剩下的3人,任意放入ABCD4組中 H^4_3 [/quote]
就算step3. 算4^3也錯
因為step1, step3多算了一些情形
(如step1取丁且step3取戊與丁同組, 和step1取戊且step3取丁與戊同組是同一種分法, 但你的算法視為相異分法)
回復 24# nanpolend 的帖子
[url=http://i159.photobucket.com/albums/t145/l421013/MATH2/183.png]填充第4題[/url]轉貼昌爸討論區(PS)解法詳細但有些錯誤
yani 回覆於: 2011/4/30 下午 11:58:10
令a=(x+18)^(1/3)，b=-(x-18)^(1/3)
a+b=3，b=3-a，a^3+b^3=36
(a+b)^3=(a^3+b^3)+3ab(a+b)，27=36+3ab*3，ab=-1
-1=ab=a(3-a)，aa-3a-1=0，a=(3±√13)/2，aa=3a+1
x+18=a^3=3(aa)+a=3(3a+1)+a=10a+3=18±5√13，x=±5√13
解法代數變換漂亮
[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2012-5-18 05:07 PM 編輯 [/i]] 第 12 題小弟提供另一種作法。
第 12 題：
\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (2k-1)^5\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^n (2k)^5 + \sum_{k=1}^n \left(-5(2k)^4+10(2k^3)-10(2k)^2+5(2k)-1\right)\)
\(\displaystyle =32\sum_{k=1}^n k^5+O(n^5)\)
\(\displaystyle =32\left(\frac{1}{6}n^6+O(n^5)\right)+O(n^5)\)
\(\displaystyle =\frac{32}{6}n^6+O(n^5)\) （當 \(n\to\infty\) ）
所以，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n(2k-1)^5}{n^6}=\frac{16}{3}.\)
註：Big-O 定義請見 [url]http://en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation[/url] 請問老師填充的第7,8,9題該怎麼做?謝謝! 第 7,8 題用旋轉跟平移（善用轉軸不變量解題速度較快），
第 7,8,9 題的解法，可見 [url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2469[/url] 當中 nanage 老師的回覆之中的解題。
第 9 題是常見考古題，在 [url]https://math.pro/db/thread-156-1-1.html[/url] 也有用積分的解法（與 thepiano 老師的解題方法一樣）。 謝謝老師!
回復 29# Fermat 的帖子
對吔...了解...感謝^^回復 21# waitpub 的帖子
什麼原理可以用如此快速的方法呢?...真的快很多回復 36# natureling 的帖子
若四次多項式方程式 \(f(x)=0\) 的四個根為 \(a,b,c,d\)，則令 \(\displaystyle f(x)=k\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\)，其中 \(k\neq0\)，
\(\Rightarrow f\, '(x)=k\Bigg[\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)+\left(x-a\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)\)
\(+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-d\right)+\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\Bigg]\)
因此，
\(\displaystyle\frac{f\, '(x)}{f(x)}=\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}+\frac{1}{x-d}\)。
想請問第13題
不知有沒有老師可以解一下第13題，謝謝。回復 1# weiye 的帖子
轉貼自美夢成甄網站詳解2.7.8.9.12[[i] 本帖最後由 nanpolend 於 2011-7-8 12:42 AM 編輯 [/i]]
回復 38# Jacob 的帖子
第 13 題解答：
令 \(\displaystyle h(x)=\int_0^x f(t) dt\)，則
\(h(x)-h(x-1)=x^2\)
所以，
\(\displaystyle h(x)=h(0)+\left(h(1)-h(0)\right)+\left(h(2)-h(1)\right)+\cdots+\left(h(x)-h(x-1)\right)\)
\(\displaystyle =0+1^2+2^2+\cdots+x^2\)
\(\displaystyle =\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}\)
\(\displaystyle =\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+\frac{x}{6}\)
故，
\(\displaystyle f(x)=\frac{d}{dx}h(x)=x^2+x+\frac{1}{6}\)
-------------------
上方解法有 bug（有興趣的可以想想看在哪裡），
用來猜出填充題的答案尚可~但其實有點問題~：Ｐ
小弟目前沒想到更好的解法～：Ｐ