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當最困難的時候,
也就是離成功不遠的時候。

thankyou 發表於 2011-4-18 21:48

請問作法哪個地方出錯?

求最大值最小值,請問作法哪個地方出錯?謝謝!!

weiye 發表於 2011-4-18 22:11

設 \(x,y\) 為實數,且 \(-1\le x\le 3,-3\le y\le 2\),求 \(xy-x+3y+1\) 最大值與最小值?

【錯誤解】\(-9\le xy\le 6\),\(-3\le -x\le 1\),\(-9\le 3y\le 6\)

     \(\Rightarrow -21\le xy-x+3y\le 13\)

     \(\Rightarrow -20\le xy-x+3y+1\le 14\)

請問作法哪個地方不正確?

正確答案:最大值 \(10\)   最小值 \(-20\)



※ 錯誤解法的問題所在:


  觀察 \(xy-x+3y+1\) 的「上界」(14) 的等號要成立的條件,

  在 \(-9\le xy\le 6\) 這一段是當 \(x=3,y=2\) 時,

  在 \(-3\le -x\le 1\) 這一段是當 \(x=-1\) 時,

  在 \(-9\le 3y\le 6\) 這一段是當 \(y=2\) 時,

  可知,這三個條件的[color=Red][b]等號不會同時成立[/b][/color],所以以上面方法找出來的「上界」(14)不會是最大值




正確做法:


  \(xy-x+3y+1=(x+3)(y-1)+4\)


  因為 \(-1\le x\le 3\),所以 \(2\le x+3\le 6\),


  因為 \(-3\le y\le 2\),所以 \(-4\le y-1\le 1\),


  因此,\(-24 \le (x+3)(y-1)\le 6\Rightarrow -20\le (x+3)(y-1)+4\le 10\)

  其中,當 \(x=3,y=2\) 時,\(xy-x+3y+1=10\) 為最大值。

     當 \(x=3,y=-3\) 時,\(xy-x+3y+1=-20\) 為最小值。

Ellipse 發表於 2011-4-18 22:22

[quote]原帖由 [i]thankyou[/i] 於 2011-4-18 09:48 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2934&ptid=1089][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
求最大值最小值,請問作法哪個地方出錯?謝謝!! [/quote]

題目:x,y為實數.-1<=x<=3 ,-3<=y<=2 ,求x*y-x+3y+1的最大值與最小值

您的方法這樣做不太行,先算x*y的最大值與最小值 (-9<=x*y<=6)-----------------(*1)
再算-x的最大值與最小值(-3<= -x<=-1)--------------------(*2)
與3y的最大值與最小值(-9<=3y<=6)---------------------(*3)
先看後來x*y-y+3y的最大值與最小值
仔細觀察(*1)中與(*3)的最大值有可能用的x都不同
例如(*1)中最大值時,x為3
       (*2)中最大值時,x為1
變成有兩個不同的x
可是所求的x*y-x+3y+1有最大值時,此時x為"一個"特定數
所以那樣做會造成,兩個不同的x在控制

如何避免上述情形?
所求要修改一下
x*y-x+3y+1=x*y-x+3y[color=red]-3[/color]+1[color=red]+3[/color]
=x(y-1)+3(y-1)+4
=(x+3)*(y-1)+4   (這樣x與y均只出現一次)
且 -2<=x+3<=6  ,
     -4<=y-1<=1
-24<=(x+3)*(y-1)<=6
-24+4<=(x+3)*(y-1)+4<=6+4
-20<=(x+3)*(y-1)+4<=10
-20<=x*y-x+3y+1<=10
所以最大值=10,最小值=-20


p.s我印象中這題好像是國中題目?

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