求圓上一動點與圓外兩定點所形成三角形的外心軌跡
有朋友問過的題目，解完就ＰＯ上來紀錄一下。臺灣師大數學系大學部申請入學歷屆考題（連結已失效h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=6）
98筆試一
第 5 題：給定坐標平面上兩點\(A ( 0 , 6 )\)、\(B ( 8 , 6 )\)與一圓 \(\Gamma :x^2+y^2=20\)。對於圓 \(\Gamma \) 上每一點 \(P\) ，令 \(O_P\) 表示 \(\triangle ABP\) 的外心，試寫出全體外心所成的集合。
解答：
設 \(P (2\sqrt{5} \cos\theta, 2\sqrt{5} \sin\theta)\)，
顯然 \(\overline{AB}\) 的中垂線方程式為 \(x=4\)，
令 \(M\) 為 \(\overline{AP}\) 的中點，則 \(M\) 坐標為 \((\sqrt{5} \cos\theta, 3+\sqrt{5} \sin\theta)\)，
\(\overrightarrow{AM}\) 向量為 \((\sqrt{5} \cos\theta, \sqrt{5} \sin\theta-3)\)，
\(\overline{AP}\) 的中垂線方程式為 \(\sqrt{5} \cos\theta \cdot x+\left(\sqrt{5} \sin\theta-3\right) y=\sqrt{5} \cos\theta \cdot \sqrt{5} \cos\theta+\left(\sqrt{5} \sin\theta-3\right) \cdot \left(\sqrt{5} \sin\theta+3\right)\)，
\(\Rightarrow\sqrt{5} \cos\theta \cdot x+\left(\sqrt{5} \sin\theta-3\right) y=-4\)
將 \(x=4\) 帶入，可以找出 \(\triangle ABP\) 的外心的 \(y\) 坐標會滿足 \(4\sqrt{5} \cos\theta+y \sqrt{5} \sin\theta=3y-4\)
所以，利用 \(\left|4\sqrt{5} \cos\theta+y\sqrt{5} \sin\theta\right|\leq\sqrt{(4\sqrt{5})^2+(y\sqrt{5})^2}\) （還是用疊合來說明也一樣），
可得 \(\left|3y-4\right|\leq\sqrt{(4\sqrt{5})^2+(y\sqrt{5})^2}\Rightarrow -2\leq y\leq8\)
故， \(\triangle ABP\) 的全體外心所成的集合為 \(\left\{(x,y)\Big| x=4, -2\leq y\leq8\right\}.\)
[align=center][img]http://img97.imageshack.us/img97/4349/tttttp.png[/img]
[/align] 從外接圓的觀點來看，就是要通過A、B兩點，而且跟圓O有交點，
所以只要找出圓心在x=4上，且與圓O內切外切的圓心坐標，就好了。 [quote]原帖由 [i]老王[/i] 於 2011-3-21 06:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2869&ptid=1082][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
從外接圓的觀點來看，就是要通過A、B兩點，而且跟圓O有交點，
所以只要找出圓心在x=4上，且與圓O內切外切的圓心坐標，就好了。 [/quote]
Follow 老王老師的想法，
設 \(\triangle ABC\) 外接圓的圓心為 \((4,t)\)，可以列出兩個式子
外切時：\(\sqrt{4^2+\left(y-6\right)^2}+2\sqrt{5}=\sqrt{4^2+y^2}\Rightarrow y=8\)
內切時：\(\sqrt{4^2+\left(y-6\right)^2}-2\sqrt{5}=\sqrt{4^2+y^2}\Rightarrow y=-2\)
故，所求\(=\left\{(x,y)\Big| x=4, -2\leq y\leq8\right\}.\)
感謝老王老師。
列完才發現，這兩種情況剛好是~~
以 \((0,0) ,(0,6)\) 為焦點且 \(2\sqrt{5}\) 貫軸長的雙曲線，與 \(x=4\) 的交點。
也就是解聯立方程式 \(\displaystyle\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle-\frac{x^2}{4}+\frac{\left(y-3\right)^2}{5}&=1\\x&=4\end{array}\right.\Rightarrow y=-2,\mbox{ or }8.\)
^^~
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