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除非太陽不再升起,
否則不能不達到目標。

weiye 發表於 2011-3-20 21:28

已知x≧0,y≧0,x^2+y^2>0,求 (3x+4y)/(x+2y) 的最大、最小值

有朋友問過的題目,解完就PO上來紀錄一下。

臺灣師大數學系大學部申請入學歷屆考題([url=http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=6]http://www.math.ntnu.edu.tw/admiss/recruit.php?Sn=6[/url])
98筆試一

第一題:設 \(x\ge 0\),\(y\ge 0\) 且 \(x^2+y^2>0\)。

(1) 試求 \(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最大值。並說明 \(x\) 與 \(y\) 分別為何值時會發生最大值?

(2) 試求 \(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最小值。並說明 \(x\) 與 \(y\) 分別為何值時會發生最小值?




解答:

因為 \(x^2+y^2>0\),所以 \(x,y\) 不能同時為 \(0\),

令 \(\displaystyle k=\frac{3x+4y}{x+2y}\Rightarrow (3-k)x=(2k-4)y\)

 因為 \(x\) 與 \(y\) 為非異號的實數,所以 \((3-k)(2k-4)\ge 0\Rightarrow 2\leq k\leq3\)

 其中,

 當 \(k=2\) 時,帶入 \((3-k)x=(2k-4)y\),可得 \(x=0,y>0\)(因為 \(x,y\) 不能同時為零)

 當 \(k=3\) 時,帶入 \((3-k)x=(2k-4)y\),可得 \(y=0,x>0\)(因為 \(x,y\) 不能同時為零)

 所以,\(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最大值為 \(3\),且此時 \(y=0,x>0\)。

    \(\displaystyle\frac{3x+4y}{x+2y}\) 的最小值為 \(2\),且此時 \(x=0,y>0\)。

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