2010TRML
a b c d 成等差數列 x y z w 為實數a+b+c+d=50
x+y+z+w=10
ax+by+cz+dw=100
求 aw+bz+cy+dw=?
解:
我錯在哪
a+d=b+c=25 a=25-d b=25-c
aw+bz+cy+dw=(25-d)w+(25-c)z+(25-b)y+(25-a)x
=100-(ax+by+cz+dw)=0
那正確解是多少?如何解
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[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-2-26 08:58 PM 編輯 [/i]] 若\( a,b,c,d \)為等差數列，且實數\( x,y,z,w \)滿足\( \cases{a+b+c+d=50 \cr x+y+z+w=10 \cr ax+by+cz+dw=100} \)，則\( aw+bz+cy+dx= \)？(2010TRML團體賽)
[解答]
假設\( a_1 \)為首項，\( t \)為公差，\( a=a_1-3t \)，\( b=a_1-t \)，\( c=a_1+t \)，\( d=a_1+3t \)
\( a+b+c+d=50 \)，\( (a_1-3t)+(a_1-t)+(a_1+t)+(a_1+3t)=50 \)，\( \displaystyle a_1=\frac{25}{2} \)
\( ax+by+cz+dw=100 \)，\( (a_1-3t)x+(a_1-t)y+(a_1+t)z+(a_1+3t)w=100 \)，
\( a_1(x+y+z+w)+(-3tx-ty+tz+3tw)=100 \) ， \( \displaystyle a_1=\frac{25}{2} \)代入得\( 3tx+ty-tz-3tw=25 \)
\( aw+bz+cy+dx=(a_1-3t)w+(a_1-t)z+(a_1+t)y+(a_1+3t)x=(3tx+ty-tz-3tw)+a_1(w+z+y+x)=150 \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2011-2-26 09:16 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]YAG[/i] 於 2011-2-26 06:36 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=2834&ptid=1075][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
a b c d 成等差數列 x y z w 為實數
a+b+c+d=50
x+y+z+w=10
ax+by+cz+dw=100
求 aw+bz+cy+dw=?
解:
我錯在哪
a+d=b+c=25 a=25-d b=25-c
aw+bz+cy+dw=(25-d)w+(25-c)z+(25-b)y+(25-a)x
=100-(ax+ ... [/quote]
倒數第二行
aw+bz+cy+dw=(25-d)w+(25-c)z+(25-b)y+(25-a)x
=25*(w+z+y+x)-(dw+cz+by+ax)
=[color=red]25*10[/color]-100=150
回復 2# bugmens 的帖子
謝謝! 可以在問一下接力賽第二回第二棒，我不太懂題意擲一骰子6次，當1點出現在5、6點前為勝利，5、6點出現在1點前為失敗，其餘情形為平手，可以請問一下如果下列情形為勝利還是失敗呢?
例1. 1,5,1,3,3,3,
例2. 3,1,4,5,2,2 接力賽第二回第二棒
若擲一個骰子6次，當1點[color=Red][b]先於[/b][/color]5及6點出現為勝利，當5點或6點[color=Red][b]先於[/b][/color]1點出現為失敗，其餘情形為平局。若勝利的機率為\(\displaystyle \frac{q}{p}\)，\(p\)、\(q\)互質，則\(q=\)？
[解答]
例1. [color=Red]1[/color],[color=Blue][b]5[/b][/color],1,3,3,3 → 勝利
例2. 3,[color=Red]1[/color],4,[color=Blue][b]5[/b][/color],2,2 → 勝利
例3. 3,[color=Red]1[/color],4,2,2,3 → 勝利
例4. 3,2,4,[color=Blue][b]5[/b][/color],2,[color=Red]1[/color] → 失敗
例5. 3,2,4,[color=Blue][b]5[/b][/color],2,3 → 失敗
例6. 3,2,4,2,3,3 → 平局
勝利的機率 \(\displaystyle=\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)^2\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)^3\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)^4\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{3}{6}\right)^5\cdot\frac{1}{6}=\frac{21}{64}\)
回復 7# weiye 的帖子
謝謝您詳細的回覆，有時候排列組合的題目要附一下例子，不然有時很難體會到題意為何，像例3和例5很容易忽略到。可以問團體賽的第九題嗎?
三角形abc三中線分別是5, 根號73 ,2根號13 ,則三角形面積?答24回復 9# kaline 的帖子
先以海龍公式計算出由三中線圍成三角形的面積\(\sqrt{\displaystyle \frac{5+\sqrt{37}+2\sqrt{13}}{2}\times \frac{5+\sqrt{37}-2\sqrt{13}}{2}\times \frac{5-\sqrt{37}+2\sqrt{13}}{2}\times \frac{-5+\sqrt{37}+2\sqrt{13}}{2}}=18\)將每一條中線放大 \(\displaystyle \frac{4}{3} \) 倍，再拉動其中兩條放大後的中線，將形成一三角形
此三角形的面積為三中線所成三角形面積的 \(\displaystyle \frac{16}{9} \) 倍
又原三角形面積為此三角形面積的 \(\displaystyle \frac{3}{4} \) 倍
所以原三角形面積為 \(\displaystyle 18\times \frac{16}{9} \times \frac{3}{4}=24\) 想請教個人賽第3和11題
以及接力賽最後一題
感謝
回復 11# ilikemath 的帖子
請參考謝謝
請教一題幾何
若在\(\Delta ABC\)中，\(∠ABM=∠CBN\)，\(\overline{BC}=15\)，\(M\)和\(N\)是\(\overline{AC}\)上兩點使得\(\overline{AM}=9\)，\(\overline{MN}=11\)和\(\overline{CN}=5\)，則\(\overline{AB}=\)？麻煩各位了
回復 1# ppbartack 的帖子
2010 TRML 個人賽回復 2# thepiano 的帖子
謝謝老師點出出處後來有找到網路參考解法
找出盲點了
再次感謝 \(\displaystyle \frac{\Delta BAM}{\Delta BCN}=\frac{\overline{AM}}{\overline{CN}}=\frac{9}{5}\)，\(\displaystyle \frac{\overline{BA}\cdot \overline{BM}}{\overline{BC}\cdot \overline{BN}}=\frac{9}{5}\)
\(\displaystyle \frac{\Delta BAN}{\Delta BCM}=\frac{\overline{AN}}{\overline{CM}}=\frac{20}{16}\)，\(\displaystyle \frac{\overline{BA}\cdot \overline{BN}}{\overline{BC}\cdot \overline{BM}}=\frac{20}{16}\)
\(\displaystyle \frac{\overline{BA}\cdot \overline{BM}}{\overline{BC}\cdot \overline{BN}}\cdot \frac{\overline{BA}\cdot \overline{BN}}{\overline{BC}\cdot \overline{BM}}=\frac{9}{5}\cdot \frac{20}{16}\)
\(\displaystyle \left(\frac{\overline{BA}}{\overline{BC}}\right)^2=\frac{9}{4}\)，\(\displaystyle \frac{\overline{BA}}{\overline{BC}}=\frac{3}{2}\)，\(\displaystyle \frac{\overline{BA}}{15}=\frac{3}{2}\)
\(\displaystyle \overline{AB}=\frac{45}{2}\)
分享解法，共有需要的人參考^^
再次謝謝 thepiano老師 的協助
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