請益 高中數學101, P244,例3,橢圓
如下的過程看不懂,要找a與b,不是要解聯立方程式嗎, 懇請老師協助,謝謝\(\displaystyle \frac{{a^2 }}{{b^2 }} = 27 \cdot \frac{b}{a},\frac{a}{b} = 27 \cdot \frac{{b^2 }}{{a^2 }} \Leftrightarrow a = 3b\) 該解法中並沒有要求出 a, b 之值，
只是找出 (a+b)^2 的下界為 64，
然後檢查兩個算幾不等式有沒有可能同時成立，
發現兩個算幾不等式成立的條件都是 a=3b，
所以 64 不只是 (a+b)^2 的下界，也是最小值。
當然該題還有第二小題，此時就需要求出 a 與 b 的值，
該解答並沒有做完。 第1小題若是從廣義的科西不等式著手(這個方法好像比較省時,來自 筆記note1),
則a與b的關係該如何導求,
如何避開難解的a,b聯立方程式?
或者廣義的科西不等式,"="成立的條件要怎麼寫
好像要寫成連比例?
懇請解惑 利用廣義柯西不等式的[b]另解[/b]：
題目：已知 \(\displaystyle \Gamma_{-}: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>0, b>0)\)，過 \((3\sqrt{3},1)\)，
則 \(a+b\) 之最小值為？此時，\(\Gamma_{-}\) 的方程式為？
解答：
因為 \(\displaystyle \Gamma_{-}: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)，過 \((3\sqrt{3},1)\)，
帶入可得 \(\displaystyle \frac{27}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1\)，
由廣義柯西不等式，可得
\(\displaystyle \left(\left(\frac{3}{\sqrt[3]{a^2}}\right)^3+\left(\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}\right)^3\right) \left(\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3\right) \left(\left(\sqrt[3]{a}\right)^3+\left(\sqrt[3]{b}\right)^3\right)\)
\(\displaystyle\geq\left(\frac{3}{\sqrt[3]{a^2}}\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a}+\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}\cdot\sqrt[3]{b}\cdot\sqrt[3]{b}\right)^3\)
\(\displaystyle \Leftrightarrow \left(a+b\right)^2\geq 64\)
且因為 \(a>0,b>0\)，所以 \(a+b\geq 8\)
且當等號成立時，若且唯若 \(\displaystyle \frac{3}{\sqrt[3]{a^2}}:\frac{1}{\sqrt[3]{b^2}}=\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a}:\sqrt[3]{b}\Leftrightarrow a=3b\)
帶入 \(a+b=8\)，可得 \(a=6,b=2\)
亦即，此時 \(\Gamma_{-}\) 的方程式為 \(\displaystyle \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1.\)
111.7.15補充
95台中一中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=987&page=2#pid22591[/url] 謝謝老師 終於懂了
我會繼續閱讀廣義的科西不等式與應用
新年快樂
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